培优02 有理数的运算及其应用（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-运算技巧-实际应用”为逻辑主线，系统整合科学记数法、混合运算、自定义运算等核心题型，提炼简便算法与符号判断策略，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|8题|科学记数法的a×10ⁿ规范、近似数精确度判定|从数的表示到误差分析，构建概念认知基础| |有理数混合运算|8题|运算律（交换/结合）、拆项法、倒数法|从常规运算到技巧优化，提升运算效率| |运算的应用|20题|符号判断法则、自定义运算转化、数轴动点方程思想|从静态计算到动态问题，培养应用意识与模型观念|

专题02 有理数的运算及其应用 常考题型·精准突破 考点一 概念辨析 题型1科学记数法 题型2 近似数与有效数字 考点二 有理数的混合运算 题型3有理数的混合运算（重） 题型4 有理数的简便运算 考点三 有理数运算的应用 题型5 确定字母或式子的符号（难） 题型6自定义运算的应用（高频） 题型7二进制运算的应用 题型8流程图与有理数的混合运算（高频） 题型9数轴上的动点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 概念辨析 ◆题型1科学记数法 1．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富国家，用科学记数法表示为（　　） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（　　） A． B． C． D． 4．如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（　　） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 ◆题型2近似数与有效数字 5．我国著名数学家刘徽是第一个用割圆术找到计算圆周率方法的人，他求出的近似值为3.1416．用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到千分位的是（　　） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 6．下列说法中正确的是（　　） A．2.46万精确到万位 B．近似数6千和6000精确度是相同的 C．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为 D．近似数8.4和0.8的精确度不相同 7．一个三位小数，四舍五入到十分位是，这个数最小是（　　） A． B． C． D． 8．用四舍五入法按要求对0.72785分别取近似值，其中错误的是（　　） A．精确到千分位得到0.727 B．精确到百分位得到0.73 C．精确到0.1得到0.7 D．精确到0.0001得到0.7279 考点二 有理数的混合运算 ◆题型3有理数的混合运算 9．下列选项中，结果小于的是（　　） A． B． C． D． 10．计算： （1）； （2）． 11．计算： （1）； （2）． ◆题型4有理数的简便运算 12．下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务： （1）计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的　　 律和　　 律． （2）她从第　　 步开始出现错误． （3）请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 13．学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， （1）对于上述两种解法，你认为　　 （填李明或张华）的解法计算简便． （2）请你尝试用张华的方法计算：． 14．请你仔细阅读下列材料，并解答后面的问题．计算． 解法一（按常规方法计算） 原式． 解法二（简便计算，先求其倒数） 原式的倒数为． 故． 根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法计算： 15．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． ．乘法交换律 ．乘法结合律 ．乘法对加法的分配律 ．加法结合律 16．用较为简便的方法计算下列各题： （1）； （2）； （3） （4） 考点三 有理数运算的应用 ◆题型5确定字母或式子的符号 16．已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③④ 17．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 18．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 　　 ．（填序号） ◆题型6自定义运算的应用 20．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 21．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 22．现定义一种新运算：※，如2※，则※※等于（　　） A．15 B． C．3 D． 23．定义的运算为，则　　 ． ◆题型7二进制运算的应用 24．我们常用的十进制，如；，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 25．在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么，的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 26．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可． 如为二进制下的5位数，则十进制数2004是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 ◆题型8流程图与有理数的混合运算 27．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，则第9次输出的结果为（　　） A．27 B．1 C．3 D．9 28．如图是一个运算程序，若输入，则输出的结果为（　　） A．10 B．15 C．17 D．19 29．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 若输入的值为，则的值为（　　） A． B． C． D． 30．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，按照图示程序进行运算，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，若在终止程序前，计算程序被启动了次，则整个程序最终会输出这个次数．若输入自然数，则　　 ． ◆题型8有理数的运算与实际应用 31．《中华人民共和国个人所得税法》附有下表年适用） 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过3000元 3 2 超过3000元且不超过12000元 10 3 超过12000元且不超过25000元 20 4 超过25000元且不超过35000元 25 上表中“全月应纳税所得额”是月工资减去5000元起征点后的余额，采用“超额累进税率”的计税方式（即不同级数的应纳税所得额按对应税率分别计税）．张先生2026年3月缴纳个人所得税为1990元，若无其他扣除，他的3月税前工资是　　 元． 32．据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽1.22米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差 米．（结果保留 33．某学校有块荒地2.5公顷，为进行劳动教育，学校委托学生生物兴趣小组规划实施种植．生物小组经过调研，计划种黄瓜和西红柿．根据土质、水利条件，这些土地可分为三类（如表所示）：一类地0.8公顷，二类地1.2公顷，三类地0.5公顷，要求黄瓜的产量至少12000千克，西红柿产量不限． 土地每公顷产量作物 一类土地 二类土地 三类土地 黄瓜 西红柿 （1）若三类土地都种黄瓜，那么黄瓜的产量为　　 ； （2）若要使得西红柿的产量最多，则在第二类土地中种植西红柿的面积为　　 公顷． ◆题型9数轴上的动点问题 34．对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若，是正整数），则称点为点的“倍关联点”．已知数轴上点表示的数为2，点表示的数为．例如，当，时，若点表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为 　　； （2）已知点在点右侧，点的“6倍关联点” 表示的数为11，则点表示的数为 　　； （3）若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“倍关联点”，直接写出的值． 35．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10；动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是　　 ，点表示的数是　　 （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点与点间的距离为8个单位长度时，请直接写出点的运动时间． 36．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 37．【综合与探究】 已知数轴上有不重合的三个点，，，点表示的数为，点表示的数为4，点表示的数为7，是数轴上的一个动点． （1）表示点与点之间的距离，则　　 ． （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为11秒时，求此时点在数轴上所表示的数． （3）若点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点，之间的距离恰好为点，之间的距离的． 综合攻坚·知能拔高 1．已知算式□的值为1，则“□”内应填入的运算符号为（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 3．计算的值是（　　） A． B． C． D． 4．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1表示，运算结果为33102，图2表示一个三位数与一个两位数相乘．根据图1的提示，下列关于图2的说法，错误的是（　　） A． B． C．三位数大于500 D．运算结果为15232 5．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【解答】解：根据题意可知，，， ，，，． 选项计算正确，符合题意． 故选：． 6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（　　） A． B． C． D． 7．定义※，例如3※，则※4的结果为（　　） A． B．3 C． D． 8．马上过年了，如何用我们收到的压岁钱进行理财呢．在《综合实践活动》的“理财小课堂”上，老师介绍了两种增值计划供大家分析．从收益率的角度看，你最认同的观点是（　　） 项目 投入（元 一年后返还（元 两年后返还（元 甲 2000 1200 1000 乙 1600 1000 760 A．因为甲、乙两个项目的收益都是，所以投资这两个项目一样 B．因为甲项目的总收益为200元，高于乙项目的总收益160元，所以投资甲项目更优 C．虽然甲、乙两个项目的收益都是，但因为甲、乙两个项目的初始投入不一样，所以无法判断投资哪个项目更优 D．虽然甲、乙两个项目的收益都是，但因为一年后甲项目先返回，乙项目先返回，乙先返回的更多，所以投资乙项目更优 9．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 　　 个单位． 10．计算： （1）； （2）． 11．计算： （1）； （2）． 12．用简便方法计算． （1）　　； （2）　　； （3）　　； （4）　　． 13．一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 14．我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　　 ，　　 ． （2）　　 ． （3）若，试求的所有可能的值． 15．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义⊕运算： ⊕，⊕； ⊕，⊕，⊕； 0⊕，⊕． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳⊕运算法则： 两数进行⊕运算时：同号两数运算　 　 ， 异号两数运算　　 ， 特别地，0与任何数进行⊕运算，或任何数与0进行⊕运算，仍　　 ． 【用数学的思维思考】 （2）计算： ①⊕　　 ； ②⊕⊕　　 ． （3）若⊕，1⊕，求的值． 16．观察下列两个等式：，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． （1）数对，中是“挽手数对”的是 ． （2）若是“挽手数对”，则的值为　　 ． （3）若4是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 17．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有，，，四点，其中点在点的左侧，点在原点处，点，分别与5和8对应，，之间的距离与，之间的距离相等． （1）点表示的数为 ． （2）小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点之间的距离． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是　　，此时表示数的点与表示数　　的点重合（用的代数式表示）； （2）操作2：若点、表示的数分别是、6，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为2； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为，求出的所有可能值． 19．数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是 　　 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 　　 ． （2）可理解为与 　　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 　　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 　　 ． （3）在数轴上，点表示，点表示9，点与点始终保持距离为2在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算及其应用 常考题型·精准突破 考点一 概念辨析 题型1科学记数法 题型2 近似数与有效数字 考点二 有理数的混合运算 题型3有理数的混合运算（重） 题型4 有理数的简便运算 考点三 有理数运算的应用 题型5 确定字母或式子的符号（难） 题型6自定义运算的应用（高频） 题型7二进制运算的应用 题型8流程图与有理数的混合运算（高频） 题型9数轴上的动点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 概念辨析 ◆题型1科学记数法 1．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富国家，用科学记数法表示为（　　） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：10.5亿， 2．天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：根据科学记数法的表现形式可得：， 故选： 3．人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据题意，海豚能听到的最高频率为人类最高频率的7.5倍，计算出计算海豚的最高频率，再按科学记数法表示． 【解答】解：海豚能听到的声音的频率为． 4．如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（　　） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：由题意可知，， ， ， 即， 则破损处“0”的个数为4， 故选：． ◆题型2近似数与有效数字 5．我国著名数学家刘徽是第一个用割圆术找到计算圆周率方法的人，他求出的近似值为3.1416．用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到千分位的是（　　） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】． 【分析】近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【解答】解：由题意用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到千分位可得： （精确到千分位）． 6．下列说法中正确的是（　　） A．2.46万精确到万位 B．近似数6千和6000精确度是相同的 C．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为 D．近似数8.4和0.8的精确度不相同 【答案】． 【分析】精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：根据近似数和有效数字逐项分析判断如下： ．2.46万精确到百位，所以选项错误； ．近似数6千精确度到千位，近似数6000精确到个位，所以选项错误； ．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可以表示为，所以选项正确； ．近似数8.4和0.8都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 7．一个三位小数，四舍五入到十分位是，这个数最小是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：四舍五入到十分位是，这个数最小是． 故选：． 8．用四舍五入法按要求对0.72785分别取近似值，其中错误的是（　　） A．精确到千分位得到0.727 B．精确到百分位得到0.73 C．精确到0.1得到0.7 D．精确到0.0001得到0.7279 【答案】． 【分析】根据四舍五入的方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：根据四舍五入的方法对各选项分析判断后利用排除法判断如下： 、精确到千分位是0.728，故本选项符合题意； 、精确到百分位是0.73，故本选项不符合题意； 、精确到0.1是0.7，故本选项不符合题意； 、精确到0.0001是0.7279，故本选不项符合题意． 故选：． 考点二 有理数的混合运算 ◆题型3有理数的混合运算 9．下列选项中，结果小于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：．，故不符合题意； ．故不符合题意； ．，，，，故不符合题意； ．，，，，，故符合题意； 故选：． 10．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）23（2）-25 【分析】（1）运用有理数减法法则将减法转化为加法后，进行有理数的加减运算即可； （2）按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方，有理数乘法分配律进行简便运算，再算有理数乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 11．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）-4（2）0 【分析】（1）按照运算顺序，先计算乘方、乘除，最后加减即可； （2）运用乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． ◆题型4有理数的简便运算 12．下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务： （1）计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的　　 律和　　 律． （2）她从第　　 步开始出现错误． （3）请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 【答案】（1）交换；结合；（2）三；（3）0． 【分析】（1）根据加法的交换律和结合律解答即可； （2）根据有理数的运算法则解答即可； （3）根据有理数的运算法则解答即可． 【解答】解：（1）计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的交换律和结合律． 故答案为：交换；结合； （2）她从第三步开始出现错误． 故答案为：三； （3）原式， ， ， ， 所以，正确的运算结果是0；建议：计算有理数加减法时要细心，要将减法转化为加法，确保每一步计算准确． 13．学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， （1）对于上述两种解法，你认为　　 （填李明或张华）的解法计算简便． （2）请你尝试用张华的方法计算：． 【答案】（1）张华；（2） 【分析】（1）比较两种解法可得答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，上述两种解法，张华的解法计算简便． 故答案为：张华； （2）原式 ． 14．请你仔细阅读下列材料，并解答后面的问题．计算． 解法一（按常规方法计算） 原式． 解法二（简便计算，先求其倒数） 原式的倒数为． 故． 根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法计算： 【答案】． 【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解； 观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可． 【解答】解：解法1， ； 解法2，原式的倒数为： ， 故． 15．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． ．乘法交换律 ．乘法结合律 ．乘法对加法的分配律 ．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【解答】解：（1）她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：； （2）原式 ． 53．用较为简便的方法计算下列各题： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）（2）（3）（4）49 【分析】（1）先化简，再根据加法结合律简便计算； （2）根据加法交换律和结合律简便计算； （3）（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． ． 考点三 有理数运算的应用 ◆题型5确定字母或式子的符号 16．已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】． 【分析】原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【解答】解：在原点的左侧，在原点的右侧，并且离原点近， ，，， ①，原来的计算错误； ②，原来的计算错误； ③，原来的计算正确； ④，，所以，原来的计算正确． 故选：． 17．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】由题意，，，由此判断即可． 【解答】解：由题意，，， ，，， 故选：． 18．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】． 【分析】针对每一选项逐一判断． 【解答】解：对于①： 当时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ， 同号， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 对于③： 若， 则有四种情况， 如数轴所示， ， 此时， ，， ； 如数轴所示， ， 此时， ，， ； 如数轴所示， ， 此时， ，， ； 如数轴所示， ， 此时， ，， ； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ， 、、中至少有一个负数， ， 同号， ， 和均为负数， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④． 故选：． 19．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 　　 ．（填序号） 【答案】②③④． 【分析】针对每一选项逐一判断． 【解答】解：对于①： 当时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ， 同号， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 对于③： 若， 则有四种情况， 如数轴所示， 此时， ，， ； 如数轴所示， 此时， ，， ； 如数轴所示， 此时， ，， ； 如数轴所示， 此时， ，， ； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ， 、、中至少有一个负数， ， 同号， ， 和均为负数， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． ◆题型6自定义运算的应用 20．把“”定义为一种运算符号，其意义是：，那么（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】． 【分析】根据新定义及有理数混合运算法则计算即可． 【解答】解：由新定义运算可知： 原式 ． 故选：． 21．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】． 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【解答】解：根据新定义运算法则列出方程可得： ①当时，则有， 解得； ②当时，， 解得， 综上所述，的值是或． 故选：． 22．现定义一种新运算：※，如2※，则※※等于（　　） A．15 B． C．3 D． 【答案】． 【分析】利用新定义转化为数的混合运算，进行计算即可． 【解答】解：由条件可知1※， ※※※． 故选：． 23．定义的运算为，则　　 ． 【答案】16． 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【解答】解：根据新定义的运算规则可知：； ，满足的运算规则， ； ， ； 原式． 故答案为：16． ◆题型7二进制运算的应用 24．我们常用的十进制，如；，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 【答案】． 【分析】根据十进制中的25相当于二进制中的即可解答． 【解答】解：根据二进制的表示方法可知，， 故十进制中的25相当于二进制中的11001． 故选：． 25．在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么，的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】． 【分析】先把，表示的数写成十进制的数，比较其大小即可． 【解答】解： ， ， ， ， 故选：． 26．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可． 如为二进制下的5位数，则十进制数2004是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】． 【分析】先求出，，2004值2048与1024之间，2004的最高位应是，从而求得十进制2004是二进制下的几位数． 【解答】解：． 故选：． ◆题型8流程图与有理数的混合运算 27．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，则第9次输出的结果为（　　） A．27 B．1 C．3 D．9 【答案】． 【分析】根据程序框图依次计算即可． 【解答】解：根据运算程序的示意图可知， 当输入的值为81时， 第一次结果为：； 第二次结果为：； 第三次结果为：； 第四次结果为：； 第五次结果为：； 第六次结果为：； 第七次结果为：； 第八次结果为：； 第九次结果为：． 故选：． 28．如图是一个运算程序，若输入，则输出的结果为（　　） A．10 B．15 C．17 D．19 【答案】． 【分析】将代入程序图计算，若结果输出，若结果小于等于10，将结果再次代入程序图计算即可． 【解答】解：由题意可得， 当时，计算结果为， 当时，计算结果为， 当时，计算结果为， 即当时，最后的输出结果为19， 故选：． 29．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 若输入的值为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据计算程序中的运算归纳总结得到一般性规律，写出即可． 【解答】解：把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 归纳总结得：， 则． 故选：． 30．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，按照图示程序进行运算，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，若在终止程序前，计算程序被启动了次，则整个程序最终会输出这个次数．若输入自然数，则　　 ． 【答案】7． 【分析】根据流程图的计算方法，把代入计算，并判定每次计算结果，最终确定输出的正整数，由此即可求解． 【解答】解：根据流程图的计算方法，把代入计算可知： 是奇数， 第一次：， 第二次：10为偶数， ， 第三次：5为奇数， ， 第四次：16为偶数， ， 第五次：8为偶数， ， 第六次：4为偶数， ， 第七次：2为偶数， ，结果为1， 输出正整数， 故答案为：7． ◆题型8有理数的运算与实际应用 31．《中华人民共和国个人所得税法》附有下表年适用） 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过3000元 3 2 超过3000元且不超过12000元 10 3 超过12000元且不超过25000元 20 4 超过25000元且不超过35000元 25 上表中“全月应纳税所得额”是月工资减去5000元起征点后的余额，采用“超额累进税率”的计税方式（即不同级数的应纳税所得额按对应税率分别计税）．张先生2026年3月缴纳个人所得税为1990元，若无其他扣除，他的3月税前工资是　　 元． 【答案】22000． 【分析】先计算每一级的最大应纳税额，确定张先生应纳税所得额所在级数，再根据总税额计算出全月应纳税所得额，最后加上个税起征点得到税前工资． 【解答】解：首先计算各级最大应纳税额， 第1级最大应纳税额：（元， 第2级最大应纳税额：（元， 第3级最大应纳税额：（元， 前两级最大应纳税额为（元，前三级最大应纳税额为（元， 因为， 所以张先生的应纳税所得额属于第3级， 第3级应纳税额为（元， 第3级对应的应纳税所得额为（元， 因此全月应纳税所得额为（元， 税前工资为（元． 故答案为：22000． 32．据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第跑道的弯道半径弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽1.22米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差 米．（结果保留 【答案】． 【分析】根据题意可知，跑道周长由两条直道和两个半圆弯道组成，直道长度相等，故起跑线的差值等于弯道周长之差；两个半圆弯道合起来即为一个圆，根据题目给出的第跑道弯道半径计算公式，分别表示出第1跑道和第4跑道的弯道半径，求出半径之差，再利用圆周长公式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，跑道周长由两条直道和两个半圆弯道组成，直道长度相等，故起跑线的差值等于弯道周长之差；两个半圆弯道合起来即为一个圆可知： （米， 第1跑道的弯道半径为：（米， 第4跑道的弯道半径为：（米， 直道长度相等， 第4跑道与第1跑道的起跑线差值等于两跑道弯道周长之差， 差值． 故答案为：． 33．某学校有块荒地2.5公顷，为进行劳动教育，学校委托学生生物兴趣小组规划实施种植．生物小组经过调研，计划种黄瓜和西红柿．根据土质、水利条件，这些土地可分为三类（如表所示）：一类地0.8公顷，二类地1.2公顷，三类地0.5公顷，要求黄瓜的产量至少12000千克，西红柿产量不限． 土地每公顷产量作物 一类土地 二类土地 三类土地 黄瓜 西红柿 （1）若三类土地都种黄瓜，那么黄瓜的产量为　　 ； （2）若要使得西红柿的产量最多，则在第二类土地中种植西红柿的面积为　　 公顷． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意列出算式计算即可求解； （2）先求出黄瓜的产量12000千克中第二类土地需要的面积，进一步得到第二类土地中种植西红柿的面积． 【解答】解：（1） ． 故黄瓜的产量为． 故答案为：19200； （2） （公顷）， （公顷）． 故在第二类土地中种植西红柿的面积为公顷． 故答案为：． ◆题型9数轴上的动点问题 34．对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若，是正整数），则称点为点的“倍关联点”．已知数轴上点表示的数为2，点表示的数为．例如，当，时，若点表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为 　　； （2）已知点在点右侧，点的“6倍关联点” 表示的数为11，则点表示的数为 　　； （3）若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“倍关联点”，直接写出的值． 【答案】（1）1（2）或5．（3） 【分析】（1）设表示的数为，利用“被关联点”的定义列出方程即可解决问题； （2）由于没有给出具体，的值，，为正整数，所以“6被关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出表示的数，然后根据已知得到满足条件的值即可； （3）分别用运动时间表示，对应的数，根据“被关联点”的定义列出方程列出方程，再根据的取值与无关即可确定对应的，的值，进而确定的值． 【解答】解：（1）设表示的数为，则有：， ， 即表示的数为1． 故答案为：1． （2）设表示的数为，在的右侧，则， 的正因数有1、2、3、6， ①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得：，符合题意； ④当，时，则有，解得：，符合题意； 综上所述，为或5，即表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为秒，则表示的数为，点表示的数为， 点始终为点的“倍关联点”， ， ， 对于任意都成立 ，， 解得：，， ． 35．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10；动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是　　 ，点表示的数是　　 （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点与点间的距离为8个单位长度时，请直接写出点的运动时间． 【答案】（1）6，；（2）①5②1秒或9秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）①先表示出点表示的数是，根据相遇可得，表示的是同一个数，据此列方程，解方程即可求解； ②根据两点距离公式列出绝对值方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10； 数轴上点表示的数是， 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 点表示的数是 故答案为：6，； （2）由题意可得：点表示的数是 ①当点与点相遇时， 解得：， 答：当点运动5秒时，点与点相遇； ②依题意， 解得：或9 答：当点与点间的距离为8个单位长度时，点的运动时间为1秒或9秒 36．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 【答案】（1）表示的数是，点表示的数是14．（2）1（3）． 【分析】（1）数轴上点右边的点表示的数是点表示的数加上这两个点的距离，数轴上点左边的点表示的数是点表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点和点表示的数； （2）根据点和点运动的速度，用表示出点和点表示的数，把时代入点和点表示的数，再根据两点间距离公式求出结果即可； （3）先用分别表示出、、、，再分别表示，的值，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15， 根据题意可知，，， 所以点表示的数是，点表示的数是14． （2）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点、点表示的数分别为，， 所以此时、两点间的距离为个单位长度． （3）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为． 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 当时，所以、两点间的距离为， 、两点间的距离为， 所以、两点间的距离与、两点间距离的差为． 37．【综合与探究】 已知数轴上有不重合的三个点，，，点表示的数为，点表示的数为4，点表示的数为7，是数轴上的一个动点． （1）表示点与点之间的距离，则　　 ． （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为11秒时，求此时点在数轴上所表示的数． （3）若点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点，之间的距离恰好为点，之间的距离的． 【答案】（1）10（2）（3）． 【分析】（1）根据数轴上两点之间求解即可； （2）根据点运动的速度和时间求出点运动的路程是22个单位长度，而点和点之间的距离为13个单位长度，所以点从点运动到点后又向左运动了9个单位长度，求出点所在位置表示的数； （3）首先根据点、所表示的数得到，所以点、之间的距离的是2个单位长度，而点、之间的距离为2个单位长度分为两种情况：①点、相遇前两点之间的距离为2个单位长度；②点、相遇后继续运动两点之间的距离为2个单位长度； 【解答】解：（1）由条件可知， 故答案为：10； （2）点运动的路程为个单位长度． ，两点之间的距离为个单位长度， 点到达点后，又继续向左运动了个单位长度， 此时点表示的数为； （3）由条件可知点，之间的距离为个单位长度， ①当点与点还没有相遇时，在点的左边：； ②当点与点相遇后继续运动，点在点的右边时，（秒； 综上所述，当经过5秒或秒时，点，之间的距离恰好为点，之间的距离的． 综合攻坚·知能拔高 1．已知算式□的值为1，则“□”内应填入的运算符号为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】将各个选项中的运算符号代入计算，观察结果，即可解答本题． 【解答】解：，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项符合题意； 故选：． 2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】通过提取简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【解答】解： ． 故选：． 3．计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】利用平方差公式对每个因式分解，分解后通过约分消去中间项，即可计算得到最终结果． 【解答】解： ， 故选：． 4．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1表示，运算结果为33102，图2表示一个三位数与一个两位数相乘．根据图1的提示，下列关于图2的说法，错误的是（　　） A． B． C．三位数大于500 D．运算结果为15232 【答案】． 【分析】根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【解答】解：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算． 由题知，，， 则或3或6， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又，， ，，， 由得，，． ，， ，故正确； ， ， ， ， ，故正确； ，，， 三位数是，故错误， 所以运算结果为15232．故正确． 故选：． 5．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【解答】解：根据题意可知，，， ，，，． 选项计算正确，符合题意． 故选：． 6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【解答】解：根据题意可知，对应的序号为4， 的余数是4， 为1， 对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， “”解密后对应的明文是． 故选：． 7．定义※，例如3※，则※4的结果为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】． 【分析】根据※，可以求得所求式子的值． 【解答】解：※， ※4 ， 故选：． 8．马上过年了，如何用我们收到的压岁钱进行理财呢．在《综合实践活动》的“理财小课堂”上，老师介绍了两种增值计划供大家分析．从收益率的角度看，你最认同的观点是（　　） 项目 投入（元 一年后返还（元 两年后返还（元 甲 2000 1200 1000 乙 1600 1000 760 A．因为甲、乙两个项目的收益都是，所以投资这两个项目一样 B．因为甲项目的总收益为200元，高于乙项目的总收益160元，所以投资甲项目更优 C．虽然甲、乙两个项目的收益都是，但因为甲、乙两个项目的初始投入不一样，所以无法判断投资哪个项目更优 D．虽然甲、乙两个项目的收益都是，但因为一年后甲项目先返回，乙项目先返回，乙先返回的更多，所以投资乙项目更优 【答案】． 【分析】比较甲、乙两个理财项目的收益率，需考虑资金返还的时间价值．甲和乙的总收益率均为，但乙项目一年后返还的比例更高，意味着资金更早回流，可用于再投资，因此乙项目更优． 【解答】解：比较甲、乙两个理财项目的收益率可知： 甲项目投入2000元，一年后返还1200元，返还比例； 两年后总返还2200（元，总收益200元，总收益率； 乙项目投入1600元，一年后返还1000元，返还比例； 两年后总返还（元，总收益160元，总收益率； 甲、乙总收益率相同，但乙项目一年后返还比例更高，资金更早回流，利于再投资， 故选：． 9．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 　　 个单位． 【答案】50． 【分析】观察发现第奇数次移动为向左移动，第偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【解答】解：观察发现第奇数次移动为向左移动，第偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位长度，第二次向右平移两个单位长度，实际向右平移个单位长度； 第三次向左平移三个单位长度，第四次向右平移四个单位长度，实际向右平移个单位长度； 第99次向左平移一个单位长度，第100次向右平移两个单位长度，实际向右平移个单位长度；则第100次点距原点距离为：． 即当个时，点与原点的距离是50个单位长度． 故答案为：50． 10．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据四则混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 11．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）（2）0 【分析】（1）先计算小括号内的值，再用乘法法则计算即可； （2）先用幂的乘方和有理数的乘法法则计算，最后再根据有理数的加减运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 12．用简便方法计算． （1）　　； （2）　　； （3）　　； （4）　　． 【答案】（1）（2）9（3）（4） 【分析】（1）由于，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算； （2）由于，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算； （3）先逆用同底数幂的运算性质，将改写成，再逆用积的乘方的运算性质求解； （4）由于，，再逆用同底数幂、积的乘方的运算性质，并且结合乘法的交换律、结合律简便计算． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【答案】（1）（2）（3）（4）122640． 【分析】根据题意，按照要求，列式计算：（1）一粒大米重量粒数总量；（2）每人每餐节约的质量天数总量；（3）单价数量总价；（4）人数总价每人每年的学费． 【解答】解：（1）（克， 答：一粒大米重约0.02克； （2）（千克）（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）（元， 答：可卖元； （4）（名， 答：可供122640名失学儿童上一年学． 14．我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． （1）　　 ，　　 ． （2）　　 ． （3）若，试求的所有可能的值． 【答案】（1）1；；（2）1或；（3）2或0或． 【分析】（1）先计算绝对值，再计算除法； （2）分类讨论求解即可； （3）分三种情况讨论，即，；，；，或，，然后化简绝对值求解即可． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：1；； （2）当时，原式， 当时，原式． 故答案为：1或； （3）当，时，， 当，时，， 当，或，时，， 综上所述，的为2或0或． 15．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义⊕运算： ⊕，⊕； ⊕，⊕，⊕； 0⊕，⊕． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳⊕运算法则： 两数进行⊕运算时：同号两数运算　 　 ， 异号两数运算　　 ， 特别地，0与任何数进行⊕运算，或任何数与0进行⊕运算，仍　　 ． 【用数学的思维思考】 （2）计算： ①⊕　　 ； ②⊕⊕　　 ． （3）若⊕，1⊕，求的值． 【答案】（1）为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数．（2）①43②-16（3）2． 【分析】（1）根据已知等式归纳运算法则即可； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律即可解答． 【解答】解：（1）两数进行⊕运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行⊕运算，或任何数和0进行⊕运算，仍得这个数． 故答案为：得这个数； （2）①⊕ ； ②⊕⊕ ⊕ ． 故答案为：①43；②； （3）由条件可知与同号，即， ． 由条件可知与1异号，即， ． ． 16．观察下列两个等式：，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． （1）数对，中是“挽手数对”的是 ． （2）若是“挽手数对”，则的值为　　 ． （3）若4是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 【答案】（1）（2）3（1）或，． 【分析】（1）根据题意逐个判断即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）设这个数为，分两种情况列方程式求解即可． 【解答】解：（1），， 数对不是“挽手数对”， ，， 数对不是“挽手数对”． 故答案为：． （2）是“挽手数对”， ， ． 故答案为：3． （3）设这个数为， 若是“挽手数对”， 则， 解得：， 若是“挽手数对”， 则， 解得：， 这个数对为或，． 17．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有，，，四点，其中点在点的左侧，点在原点处，点，分别与5和8对应，，之间的距离与，之间的距离相等． （1）点表示的数为 ． （2）小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点之间的距离． 【答案】（1）；（2）①第3次跳动后落在原点处；②108． 【分析】（1）先计算出，之间的距离，再根据点表示的数及点与点的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知， 点在点的左侧，点在原点处， 点表示的数为：， 故答案为：； （2）①根据题意可知，电子蟋蟀从点处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第次时跳个单位长度，点表示的数为， 第5次后落点所对应的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处； ②第100次后落点所对应的数为： ， 点表示的数为5， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点之间的距离为108． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是　　，此时表示数的点与表示数　　的点重合（用的代数式表示）； （2）操作2：若点、表示的数分别是、6，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为2； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为，求出的所有可能值． 【答案】（1），；（2）秒或4.5秒（3）．或1.5或2.5或3 【分析】（1）首先求出折痕点表示的数，然后列式求解即可； （2）根据题意分两种情况，分别列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：折痕点是， 表示数7的点与它重合的点重表示的数为：， 表示数的点与它重合的点表示的数为：， 故答案为：，； （2）当点在点左边时，则，解得， 当点在点的右边时，则，解得， 综上，当秒或4.5秒时，点与点之间的距离为2； （3）设表示的点是，表示5的是， ． ， 当比值为时，，，则； 当比值为时，，，则； 当比值为时，，，则； 当比值为时，，，则； 当比值为时，，，则； 当比值为时，，，则； 故答案为：或1.5或2.5或3． 19．数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是 　　 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 　　 ． （2）可理解为与 　　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 　　 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 　　 ． （3）在数轴上，点表示，点表示9，点与点始终保持距离为2在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 【答案】（1）4，；（2），4，7；（3）或． 【分析】（1）根据阅读材料中数轴上两点间的距离公式求出3和的距离，表示出与两点间的距离即可； （2）根据表示数轴上与的距离得到与表示的意义，并求出的最小值即可； （3）根据在的右边，对应的数为，表示出表示的数为，进而表示出与的距离，到、的距离之和，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【解答】解：（1）根据题意得：数轴上表示3和的两点之间的距离是，表示与两点之间的距离为； 故答案为：4，； （2）可理解为与两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与4两数在数轴上所对应两点之间的距离； 所以的最小值为7； 故答案为：，4，7； （3）根据题意得：点对应的数为，点对应的数为， 因为表示的数为，表示的数为9，，点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和， 所以，即， 整理得：， 当时，，解得； 当时，，解得（舍； 当时，，解得； 综上所述：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $