专题07 整式与数轴、绝对值综合压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

专题07 整式与数轴、绝对值综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴位置判定+绝对值化简+整式加减（填空压轴） 题型二、数轴动点+整式定值问题（重难点压轴） 题型三、绝对值非负性+整式加减化简求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：数轴动点+绝对值化简大题（期末压轴必考） 六步解题法 1.设元列式：用含的代数式表示所有动点在数轴上对应的数； 2.距离转式：两点间距离统一写成绝对值形式； 3.寻找零点：令绝对值内部代数式=0，求出分段临界点； 4.分段讨论：根据零点划分取值范围，判断式子正负，去掉绝对值符号； 5.整式化简：规范去括号、合并同类项，化简式子； 6.验证求解：根据题干条件求值、求参数，舍去不符合范围的解。 通法2：绝对值几何意义求最值 ：最小值为，当在之间（含端点）时取到最小值； 偶数个绝对值相加：中间区间任意点可取最小值； 奇数个绝对值相加：中间零点处可取最小值。 通法3：数轴+整式定值/求值问题 1.根据数轴上点的位置，判断字母正负、大小关系； 2.判断绝对值内式子正负，正确去绝对值； 3.通过整式加减化简式子； 4.定值核心：式子与参数无关 →含参数项系数为0。 核心解题思想：数形结合、零点分段、分类讨论、整体思想 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴位置判定+绝对值化简+整式加减（填空压轴） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 典例3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 题型模版 1.典型例题：已知有理数a、b、c在数轴上满足c<a<0<b，且|b|<|a|，化简|a−c|−|a+b|+|b−c|。 2.解题技巧：数轴右侧数恒大于左侧数；负数去绝对值需整体变号；多项式去绝对值后必须加括号，再去括号合并同类项，杜绝符号错误。 【变式1-1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上，点分别表示数． (1)判断下列各式的符号：_________0，_________0；(填“>”“<”或“=”) (2)化简． 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 【变式1-3】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 题型二、数轴动点+整式定值问题（重难点压轴） 【典例4】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【典例5】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c．    (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与某数表示的点重合，求出此数； (3)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， ①当点C在点B右侧时，______，______（用含t的代数式表示） ②小明同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 题型模版 1.核心设问：化简后代数式的值与运动时间t无关，求参数或定值。 2.解题核心：式子与参数无关 ⇨ 所有含参数的项的系数全部为0，仅保留常数项。 3.解题步骤：写出动点表达式→化简绝对值与整式→合并同类项→令含t项系数为0→求解参数。 【变式2-1】．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【变式2-2】．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 题型三、绝对值非负性+整式加减化简求值 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中 【典例7】．先化简，再求值：，其中，满足：． 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 题型模版 解题技巧：严格遵循先化简、后代值；必考非负模型：|A|+B2=0⇒A=0、B=0。 【变式3-1】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，． (1)求； (2)若，满足，求（1）中代数式的值． 【变式3-2】．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块长方形场地作为劳动基地．如图，长方形的长是米，宽比长短米． (1)求长方形的周长（用含的式子表示）． (2)当满足时，求长方形的周长． 【变式3-3】据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车身遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生对货车（如图1）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的分布图（如图2），盲区1，2的面积相同，都是，盲区3的面积是，盲区4的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）； (2)若满足，求图中盲区的总面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．（24-25七年级上·安徽·期中）已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：_________． 2．已知三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为______． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1）___________； （2）___________． 二、解答题 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 6．先化简，再求值：已知，求的值． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，求的值． 8．a、b所表示的有理数如图所示，化简． 9．（2024七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，数轴上的点、、分别表示有理数、、． (1)点、之间的距离为________；点、之间的距离为______；点、之间的距离为_______； (2)若以点B为原点，化简：． 10．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 11．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知多项式，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知有理数x，y，z在数轴上的位置如图所示． (1)若，则________，________； (2)化简：． 13．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 14．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3) 化简：． 15．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 16．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： ___________，___________，___________； (2)化简：； (3)若数轴上存在两点，，且，则的值是多少？ 17．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 18．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并：； (2)拓展运用：若，求代数式的值：； (3)迁移运用：已知．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5．一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式与数轴、绝对值综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴位置判定+绝对值化简+整式加减（填空压轴） 题型二、数轴动点+整式定值问题（重难点压轴） 题型三、绝对值非负性+整式加减化简求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：数轴动点+绝对值化简大题（期末压轴必考） 六步解题法 1.设元列式：用含的代数式表示所有动点在数轴上对应的数； 2.距离转式：两点间距离统一写成绝对值形式； 3.寻找零点：令绝对值内部代数式=0，求出分段临界点； 4.分段讨论：根据零点划分取值范围，判断式子正负，去掉绝对值符号； 5.整式化简：规范去括号、合并同类项，化简式子； 6.验证求解：根据题干条件求值、求参数，舍去不符合范围的解。 通法2：绝对值几何意义求最值 ：最小值为，当在之间（含端点）时取到最小值； 偶数个绝对值相加：中间区间任意点可取最小值； 奇数个绝对值相加：中间零点处可取最小值。 通法3：数轴+整式定值/求值问题 1.根据数轴上点的位置，判断字母正负、大小关系； 2.判断绝对值内式子正负，正确去绝对值； 3.通过整式加减化简式子； 4.定值核心：式子与参数无关 →含参数项系数为0。 核心解题思想：数形结合、零点分段、分类讨论、整体思想 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴位置判定+绝对值化简+整式加减（填空压轴） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，关键是熟练应用运算法则进行化简；根据代数式的正负进行绝对值的化简后进行整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知：且， ∴，，， ∴原式    ， 故答案为：． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，整式的加减混合运算，正确从数轴可得的大小关系以及符号是解题的关键． 由数轴可得，，则，，再化简绝对值，进行整式的加减混合运算． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 典例3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，关键是熟练应用运算法则进行化简；根据代数式的正负进行绝对值的化简后进行整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知：且， ∴，，， ∴原式    ， 故答案为：． 题型模版 1.典型例题：已知有理数a、b、c在数轴上满足c<a<0<b，且|b|<|a|，化简|a−c|−|a+b|+|b−c|。 2.解题技巧：数轴右侧数恒大于左侧数；负数去绝对值需整体变号；多项式去绝对值后必须加括号，再去括号合并同类项，杜绝符号错误。 【变式1-1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在数轴上，点分别表示数． (1)判断下列各式的符号：_________0，_________0；(填“>”“<”或“=”) (2)化简． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴可得，，进而判断式子的符号，即可求解； （2）根据数轴可得，化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵ ∴． 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 【答案】(1)， (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题考查的是数轴的概念，相反数的性质，利用绝对值的性质去掉绝对值符号是解题的关键． （1）利用数轴的定义和加减法法则即可判断； （2）利用数轴判断绝对值里的式子的正负性，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、B分别在原点的两侧，且点A、B到原点的距离相等， ∴a、b互为相反数， ∴， ∵，， ∴为的长，为的长， ∵， ∴； （2）由图中各点的位置可知， ． 【变式1-3】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 【答案】(1)27 (2)8或44 【分析】（1）由绝对值的非负性及完全平方数的非负性可得，，解方程即可求出、的值，然后利用数轴上两点之间的距离公式即可求出的值； （2）设C点表示的数为c，然后分三种情况讨论：①当点C在点A、B之间时；②当点C在点B右边时；③当点C在点A左边时；分别根据求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ； （2）解：设C点表示的数为c， 分三种情况讨论： ①当点C在点A、B之间时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， ， 点表示的数为； ②当点C在点B右边时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， 点表示的数为； ③当点C在点A左边时， 此种情况显然不成立； 综上，C点表示的数为8或44． 题型二、数轴动点+整式定值问题（重难点压轴） 【典例4】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变 【知识点】有理数的分类、数轴上两点之间的距离、单项式的系数、次数、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴上的数、单项式的次数及数轴上点运动的距离计算，解题的关键是确定各点初始值，根据运动方向与速度表示出t秒后点的位置，进而计算距离． （1）根据最大负整数的定义得b，根据单项式次数的定义得c； （2）①表示出t秒后A、B的位置，作差得； ②表示出，代入式子分两种情况讨论判断即可． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：； ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ， 将、代入得：， 当，即时： ， 此时的值不随t的变化而变化； 当，即时： ， 此时的值会随着时间t的变化而改变； 综上，当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【典例5】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c．    (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与某数表示的点重合，求出此数； (3)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， ①当点C在点B右侧时，______，______（用含t的代数式表示） ②小明同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①，；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、多项式的项、项数或次数、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）最小的正整数为1，多项式的最高次项是，常数项是9，由此即可得到答案； （2）先根据（1）所求得到A、B、C表示的数，再根折叠后点A与点C重合求出折叠点为2，再根据与点B重合的点到折叠点的距离等于点B到折叠点的距离进行求解即可； （3）①分别表示出运动t秒后点A，点B，点C表示的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据数轴上两点距离计算公式和整式的加减计算法则求出或，由的值是一个定值，得到的结果与t无关，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c， ∴， 故答案为：； （2）解：∵将数轴折叠，使得点A与点C重合， ∴折叠点为， ∴与点B重合的点表示的数为； （3）解：①由题意得，运动t秒后点A，点B，点C分别表示的数为， ∵点C在点B右侧， ∴， 故答案为：，； ②∵，， 当时， ∴ ， ∵的值是一个定值， ∴的结果与t无关， ∴ ∴； 当时， ∴ ， ∵的值是一个定值， ∴的结果与t无关， ∴ ∴； 综上所述，m的值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，数轴上两点的距离计算，最小的正整数，多项式的项和次数，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 题型模版 1.核心设问：化简后代数式的值与运动时间t无关，求参数或定值。 2.解题核心：式子与参数无关 ⇨ 所有含参数的项的系数全部为0，仅保留常数项。 3.解题步骤：写出动点表达式→化简绝对值与整式→合并同类项→令含t项系数为0→求解参数。 【变式2-1】．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变 【知识点】有理数的分类、数轴上两点之间的距离、单项式的系数、次数、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴上的数、单项式的次数及数轴上点运动的距离计算，解题的关键是确定各点初始值，根据运动方向与速度表示出t秒后点的位置，进而计算距离． （1）根据最大负整数的定义得b，根据单项式次数的定义得c； （2）①表示出t秒后A、B的位置，作差得； ②表示出，代入式子分两种情况讨论判断即可． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：； ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ， 将、代入得：， 当，即时： ， 此时的值不随t的变化而变化； 当，即时： ， 此时的值会随着时间t的变化而改变； 综上，当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【变式2-2】．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4 (2)①秒或秒； ②不存在，理由： 设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为， ∴，， ∴当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； ∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式加减中的无关型问题、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点． （1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答； （2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可； ②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点， ∴A点表示的数为， ∵再向右移7个单位到达C点， ∴C点表示的数为， ∴A、C两点间距离为7， ∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B， ∴B点表示的数为； （2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为， ∴， ∵M与Q相距1个单位长度， ∴，即或， 解得或， ∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度； ②略 【变式2-3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 【答案】（1）A，B两点表示的数分别是和；（2）①A，B两点之间的距离是个单位长度；②x可取的整数共有22个；（3）点表示的数为，点表示的数为1013 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用两点之间的距离公式结合相反数的定义即可求解； （2）①先求得运动的时间，再求得A，B两点之间的距离； ②先判断当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值，据此求解即可； （3）先找到规律，求得表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数），据此求解即可． 【详解】解：（1）因为A，B两点分别表示互为相反数的两个数， 所以A，B两点在原点异侧. 因为A，B两点之间的距离是5， 所以， 因为点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是和； （2）①因为（秒）， ， ， 所以此时A，B两点之间的距离是个单位长度； ②由题意，当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值， 此时，x可取的整数共有22个； （3）点，分别表示的数为，1013. 因为点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为2， 所以点表示的数是1， 因为点在点的左边，且，两点之间的距离为3， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为4， 所以点表示的数是2， …… 所以表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数）， 所以点表示的数为，点表示的数为1013． 题型三、绝对值非负性+整式加减化简求值 【典例6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值和非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 先去括号，合并同类项，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式． 【典例7】．先化简，再求值：，其中，满足：． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，绝对值和偶次方的非负性，先去括号、合并同类项进行化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，代入求解即可． 【详解】解：原式 ． ∵，， ∴，， 解得：，， ∴当，时， 原式． 【典例8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】（）把与代入中，去括号合并即可得到结果； （）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出结论； 本题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 题型模版 解题技巧：严格遵循先化简、后代值；必考非负模型：|A|+B2=0⇒A=0、B=0。 【变式3-1】．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，． (1)求； (2)若，满足，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的非负性和偶次方的非负性，关键是知识点的应用； （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，代入即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴且， ∴，， ∴． 【变式3-2】．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块长方形场地作为劳动基地．如图，长方形的长是米，宽比长短米． (1)求长方形的周长（用含的式子表示）． (2)当满足时，求长方形的周长． 【答案】(1)米 (2)72米 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，绝对值的非负性，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式代入求解即可得到答案； （2）根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵长方形的宽为： 米， ∴长方形的周长为： 米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ (米)， ∴长方形的周长为米． 【变式3-3】据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车身遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生对货车（如图1）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的分布图（如图2），盲区1，2的面积相同，都是，盲区3的面积是，盲区4的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）； (2)若满足，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)36 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减的实际应用，代数式的值，绝对值的非负性，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （）根据题意列出算式，进而计算即可； （）根据非负数的性质，求出，，把代入（）所得的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴图中盲区的总面积为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．（24-25七年级上·安徽·期中）已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：_________． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴上点的意义，绝对值的意义，整式的加减，根据数轴上点的位置，判断出绝对值内的式子的符号是解题关键． 根据数轴判断出a、b、c的符号和绝对值的大小，根据绝对值的意义去绝对值，去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 2．已知三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】先由三个有理数在数轴上的对应位置得到，且，进而确定，再由绝对值代数意义去绝对值，然后去括号、合并同类项化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，且， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值化简，涉及去括号、合并同类项运算、由数轴上点的位置比较大小及确定式子符号、绝对值代数式意义等知识，熟记绝对值代数式意义及整式加减运算是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1）___________； （2）___________． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、整式的加减运算 【分析】（1）先根据数轴确定a的正负，再根据绝对值的性质即可解答； （2）先根据数轴确定a、b、c的大小，再确定的正负，再根据绝对值的性质即可解答， 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为． （2）由数轴可得：， ∴， ∴ ． 故答案为． 二、解答题 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴与有理数的大小关系，绝对值的化简，整式的加减运算，根据数轴上点的位置判断数的正负、绝对值的大小是解题关键． 根据数轴上点的位置判断绝对值号内式子的正负，去掉绝对值符号，然后去括号、合并同类项得到最终结果． 【详解】解：由数轴上点的位置，得，， 可得： ：，，负数减正数结果为负； ：、都是负数，两个负数相加结果为负； ：由，可得，负数的绝对值和大于正数的绝对值，结果为负， 故原式 ． 答：． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 6．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】，2 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是数的性质，整式的加减混合运算与化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再利用非负数的性质求解，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， 当，时， 原式 ． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算．先根据非负数的性质求出，，然后根据去括号，合并同类项法则进行化简，最后代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ， ． 8．a、b所表示的有理数如图所示，化简． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】根据数轴可以得出，，根据绝对值的意义取绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ 9．（2024七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，数轴上的点、、分别表示有理数、、． (1)点、之间的距离为________；点、之间的距离为______；点、之间的距离为_______； (2)若以点B为原点，化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】（1）根据数轴上点的位置表示出结果即可； （2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； 【详解】（1）解：根据题意得：点、之间的距离为； 点、之间的距离为； 点、之间的距离为； 故答案为：，，； （2）解：∵点B为原点， ，，，， ，，， 原式= ． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． 10．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 11．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知多项式，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，整式加减中的无关型问题，绝对值的非负性质，掌握整式的加减法则是关键； （1）先化简代数式，再根据非负数的性质求得x与y的值，代入求解即可； （2）化简，根据题意即可求解． 【详解】（1）解： ， 由于，， 所以， 则， ； （2）解： ， 由于的值与的值无关， 则， 得：． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知有理数x，y，z在数轴上的位置如图所示． (1)若，则________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，0 (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查有理数的运算、整式的加减运算、化简绝对值、数轴： （1）先根据有理数x、y在数轴上的位置得到，进而利用绝对值性质和有理数相关运算求解即可； （2）根据各数在数轴上的位置判断各式的符号，再去化简绝对值，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； ， 故答案为：，0； （2）解：由图知，， ∴，， ∴ ． 13．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的减法运算、整式的加减运算 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 14．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较，，，的大小，并用连接起来． ____________________________________________________________； (2)用“”或“”填空． ____________；____________；____________； (3)化简：． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较、整式的加减运算 【详解】（1）解：由图可得，，， ，， ， ． （2）解：， ． ， ，， ，． （3）解：， ， ． 原式． 15．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 16．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： ___________，___________，___________； (2)化简：； (3)若数轴上存在两点，，且，则的值是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3)或 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由数轴得，，进而判断出式子的符号即可； （2）先判断出式子的符号，再化简绝对值即可； （3）分两种情况讨论：当，时；当，时，根据绝对值的性质化简求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ，，； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知，，，， 原式 ； （3）解：， 、同号，即，或，， 当，时， ； 当，时， ． 综上所述：的值是或． 17．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】(1)，6；10 (2) (3)D点运动的方向：向左， 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算、整式加减的应用、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 【详解】（1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2025次运动P点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 当点D从原点向左运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 18．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并：； (2)拓展运用：若，求代数式的值：； (3)迁移运用：已知．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是5．一动点从点出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查代数式求值和整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握整体代入法是解题的关键． （1）利用整体的思想进行合并即可； （2）先利用整体的思想进行合并，然后整体代入计算即可； （3）先求出，，，然后分两种情况讨论：点在数轴上向右运动；点在数轴上向左运动． 根据题意将原式进行变形，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 当时，原式； （3）解：因为， 所以， 所以点表示的数是2，点表示的数是－6， 因为点从点出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动，运动时间为秒， 所以点表示的数是，则． ①当点在数轴上向右运动时，点表示的数是， 则． 若，即，解得（不合题意，舍去）或． ②当点在数轴上向左运动时，点表示的数是， 则． 若，即， 解得（不合题意，舍去）或． 综上：当时，或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $