25.1 比例线段 课件 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦比例线段概念、性质及黄金分割，通过邮票、照片等现实问题导入，引导学生观察形状与大小关系，从线段的比逐步过渡到成比例线段、比例性质及黄金分割，构建知识递进支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过比例性质严谨证明发展数学思维，结合黄金分割作图与分类讨论强化数学语言表达。采用归纳总结、例题解析及错误分析，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段 侵权必究 名校课堂 1 学习目标 1.学习并掌握成比例线段的相关概念及性质 1.掌握比例的基本性质并会运用. (重点) 2.了解并掌握黄金分割的相关知识并会简单运用.（难点） 低阶目标： 高阶目标： 侵权必究 名校课堂 新课导入 问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 侵权必究 名校课堂 3 问题2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 侵权必究 名校课堂 4 讲授新课 一 线段的比 　　观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 　　两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比 是否相等有关.为此，需要研究线段的比. 1.学习并掌握成比例线段的相关概念及性质 侵权必究 名校课堂 5 　　一般地，如果选用同一度量单位，线段a和b的长度分 别为m和n，我们把m和n的比叫作线段a和b的比，记作 a∶b＝m ∶ n， 或 　　 例如，如果 a＝2 cm，b＝3 cm，那么，a∶ b＝2∶3. 归纳 侵权必究 名校课堂 1.线段的比没有单位； 2.线段的比是一个正数； 3.线段的比与所采用的长度单位无关； 4.线段的比必须是在同一长度单位下进行的． 注意： 侵权必究 名校课堂 7 若a＝0.2 m，b＝8 cm，则a∶ b＝________. 例1 导引： a＝0.2 m＝20 cm，a∶b＝20∶8＝5∶2. 5∶2 侵权必究 名校课堂 8 总 结 　　求线段的比时，两条线段的长度单位应该统一． 侵权必究 名校课堂 9 成比例线段 二 由下面的格点图可知， ＝_________， ＝________，这样 与 之间的关系是什么？ 探究归纳 2 2 1.学习并掌握成比例线段的相关概念及性质 侵权必究 名校课堂 10 归纳 1.定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于 c与d的比，即 我们就把这四条线段叫作成比 例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 2.要点精析：定义中四条线段a，b，c，d是有先后顺序的． 3.易错提示：计算线段的比时切记不要忽略统一单位． 侵权必究 名校课堂 11 例2 判断下列线段a、b、c、d是不是成比例线段：　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 解：（1）∵　 ∴线段a、b、c、d 不是成比例线段． ∴　 ， ， 侵权必究 名校课堂 12 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）　∵　 ∴　 ∴　线段a、b、c、d是成比例线段． ． ， 侵权必究 名校课堂 (1)在判断是否为成比例线段时，长度单位必须相同，若长度单位不同，应先统一单位再判断； (2)在判断是否为成比例线段时，应首先将四条线段按长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是． 归 纳 侵权必究 名校课堂 注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比是一个没有单位的正数； 4.除了a=b外,a:b≠b:a, 互为倒数. 侵权必究 名校课堂 比例的基本性质 三 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果 ，那么ad＝bc． 如果ad＝bc （b、d≠0），那么 . 你还可以得到其他的等比例式吗？ 特别地，如果 ，即 ，就把b叫作a,c的比例中项. 2.掌握比例的基本性质并会运用. (重点) 侵权必究 名校课堂 求证：（1）如果 ，那么 ； 证明（1）∵ 在等式两边同加上1，　 ∴　 ∴ 侵权必究 名校课堂 ∴　ad＝bc， ∴　 － ad＝ － bc， 在等式两边同加上ac， ∴　ac－ad＝ac－bc， ∴　a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， 　 （2）　如果 ，那么 证明：　∵ ． ∴ 侵权必究 名校课堂 合比性质： 等比性质： （b+d+···+m≠0） 拓展归纳 侵权必究 名校课堂 若5x－4y＝0，则 例3 从比例线段的性质入手. 根据比例的基本性质把5x－ 4y＝0变形为： 然后利用合比性质变形即得. 也可使用“设参数”的方式，代入后约分即可. 分析： 侵权必究 名校课堂 ∵5x－4y＝0， ∴ ∴ 令x＝4k，y＝5k， 则 解： 侵权必究 名校课堂 总 结 当有连等式时常用设参数的方法，实际上，当出 现比例时，设参数也是非常奏效的方法. 侵权必究 名校课堂 黄金分割 四 问题1 五角星是我们常见的图形.在图中,度量点C到点A,B的距离， A C B 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割,C叫作线段AB的黄金分割点, 叫作黄金比. 3.了解并掌握黄金分割的相关知识并会简单运用.（难点） 侵权必究 名校课堂 问题2 为什么叫作黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美;其二是黄金分割的应用价值不可估量,故冠以黄金二字. 其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC. 侵权必究 名校课堂 拓展归纳 确定黄金分割点的一个方法 采用如下的方法也可以得到黄金分割点:如图 任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点. 你能说说这种作法的道理吗? 设AB是已知线段. 在AB上作正方形ABCD. 取AD的中点E,连接EB. 延长DA至F,使EF=EB. 以线段AF为边作正方形AFGH. 点H就是AB的黄金分割点. A B C D E F G H 侵权必究 名校课堂 侵权必究 名校课堂 已知线段AB＝6 cm，点P为线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为___________________________． 例4 一条线段有两个黄金分割点，∴要分两种情况计算． 当AP＞PB时， ∵AB＝6cm， ∴AP＝ 当AP＜PB时，PB＝ ∴AP＝AB－PB＝(9－3 )cm. 错误答案： 错解分析： 侵权必究 名校课堂 总 结 　　本题运用了分类讨论思想，分AP是较短线段和较 长线段两种情况计算． 侵权必究 名校课堂 课堂小结 注意 1.成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比， 如 （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 侵权必究 名校课堂 29 2. 比例的基本性质： a ：b=c：d 侵权必究 名校课堂 30 3.黄金分割 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点, AC与AB的比称为黄金比. 侵权必究 名校课堂 31 当堂练习 1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于 . 2.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d= . 3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4cm ，3，12 5∶1 低阶目标1 高阶目标1 侵权必究 名校课堂 4.判断下列各组线段是不是成比例线段，为什么？ 是成比例线段 不是成比例线段 5.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 低阶目标1 侵权必究 名校课堂 　6.如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法正确的是(　　 ) A．如果 那么线段AB被点C黄金分割 B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么线段AC与AB的比叫作黄金比 D．如果线段AB被点C黄金分割，那么 ≈0.618 ABCD 高阶目标2 侵权必究 名校课堂 $