25.1 比例线段 课件 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕比例线段展开，涵盖线段的比、成比例线段、比例基本性质及黄金分割。通过窗户框架实例计算矩形长宽比导入，结合“谈一谈”引导思考比例关系，经归纳总结形成知识脉络，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，如东方明珠塔黄金分割点分析；通过设k法证明等比性质发展推理意识；结合建筑、艺术实例强化应用意识。采用实例探究与归纳总结结合的教学方法，学生能提升抽象与运算能力，教师可借助丰富资源高效教学。

第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段 冀教版九年级上册 图(1)所示的窗户,通透明亮,协调美观.图(2)是此窗户主体框架的结构示意图. 已知AB=2.8 m，AD=2 m，AE=0.8 m，AH=NB=0.6 m.矩形 AHOE 和矩形OPMG 的长和宽的比值相等吗?请说明理由. 新知引入 事实上， , 所以 , 即矩形AHOE 和矩形OPMG 的长和宽的比值相等. 一般地，如果选用同一度量单位，线段a和b的长度分别为m和n，我们把m和n的比叫作线段a和b的比，记作a:b=m:n，或 注意： (1)单位要统一; (2)两条线段的比值是一个没有单位的正数; (3)明确两条线段的先后顺序. 知识点1 线段的比 在四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，我们就把这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 知识点2 成比例线段 谈一谈 如果线段a, b, c, d成比例，即那么ad和bc相等吗？为什么？ 反之，如果线段a,b,c,d满足ad=bc，那么线段a, b, c, d成比例吗？为什么？ 归纳总结 知识点3 比例的基本性质 在等式两边同时加上1，得 , 由此可得比例的合比性质： 如果 (b,d ≠ 0)，那么 . 思考：还有别的性质吗？ 知识拓展 证明：设 ，则 . 如果 ,且 ，那么 . 设k法，用k作为“桥梁”将问题转化.当有等比形式时常用此方法. 比例的等比性质 例 如图，点C在线段AB上，且AC是AB与BC的比例中项. （1）当AB=1时，求线段AC的长. （2）当AB=a时，线段AC= ≈ . 例题解读 A C B 解:设AC=x，则BC=1－x，∵AC是AB与BC的比例中项， ∴AC2=AB·BC，即x2=1×（1－x）. 整理，得x2+x－1=0.解得x=. ∵线段的长度为正数，∴AC=. a 0.618a 知识点4 黄金分割 每条线段上的黄金分割点都有两个. 黄金分割具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，在建筑、艺术等领域有着广泛的应用. 谈一谈 如图，上海东方明珠塔的高为468 m，在塔上装置了下球体、中球体和上球体（太空舱），分别位于塔的68~118 m，250~295 m，335~349 m，使塔显得非常协调美观. 塔的黄金分割点位于哪个球体内？请说明理由. 解：塔的黄金分割点位于中球体内. 理由：黄金分割点高度为468×0.618≈289.224（m）， 该高度落在中球体的区间（250~295 m）内. 比例线段 线段的比 成比例线段 比例的基本性质 黄金分割 课堂小结 1.已知线段，，则与 的比为( ) C A. B. C. D. 随堂练习 14 2.点在线段上，若，则 __. 15 3.下列四组长度的线段中（单位: ），是成比例线段的是( ) C A.4，5，6，7 B.3，4，5，8 C.5，15，3，9 D.8，4，1，3 16 4.已知线段，，，是成比例线段，，，，那么 的 长是___. 8 17 5.如图，有甲、乙、丙3个已知长和宽的矩形. （1）长与宽成比例的两个矩形为____和____； 甲 丙 18 （2）改变（1）中未被选择的矩形的一边长，使之与（1）中另外两个 矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由. 解：方案：将矩形乙的长减少7.理由如下： 设矩形乙的长减少 时，与（1）中另外两个矩形的长与宽成比例， 则，解得 ， 当矩形乙的长减少7时，与（1）中另外两个矩形的长与宽成比例. （答案不唯一） 19 6.若，则 ( ) A A.12 B. C.1 D. 20 7.若 ，则下列式子正确的是( ) C A. B. C. D.以上均不正确 21 8.已知，，则， 的比例中项为( ) A A. B.4 C.2 D. 22 9.若，则__， __. 23 10.已知，若，则 ___. 9 24 11. 某校开展了“我心绘版图”手绘地图活动，嘉嘉所在班级绘制了一张比例尺为 的石家庄城区游览图，湾里庙步行街在图上长度约为，则湾里庙步行街的实际长度约为_______ . 1080 25 12.已知 . （1）求 的值； 解：设 ， 则，， . . 26 （2）求 的值. 解：设 ， 则，， . . 27 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律. 如图汉字“十”，横竖笔画交接处点恰好是线段 的黄 金分割点，则________，若 ， 则_________ .（结果保留根号） 28 14.如果，那么 的值为( ) B A. B. C. D. 29 15. 题目：“已知数，，， 满足 ，求的值.”对于其答案，甲答： ；乙答： ；丙答： .则正确的是( ) D A.甲的答案正确 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.甲、丙的答案合在一起才完整 30 16. 已知1， ，2三个数，请再添一个数，与这三个数构成比例 式，那么这个数可以是_ _____________. 或或 31 17. 如图，乐器上的一根弦，两个端点， 固定在乐器 面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点 的黄金分 割点，则支撑点，之间的距离为______________ .（结果保留根号） 32 18.已知，且，则 的值为__. 33 19.已知的周长为24，三边长，， 满足 . （1）求，， 的值； 解：设，则，， ， ，，即 . ，，即 ， 联立解得 ，, . 34 （2）一线段长为，若是和的比例中项，求 的值. 解：是和 的比例中项， ， . 由题可知，的值为 . 35 20. 人们把宽与长的比是（或长与宽的比为 ） 的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给人以协调、匀称的美感.下面给出两种 得到黄金矩形的方案. （1）方案一：如图①，在矩形中， ， 连接对角线，以为圆心，长为半径画弧交 延长线于点，过作交延长线于点 ，请 直接写出图中得到的黄金矩形是___________； 矩形 36 （2）方案二：如图②，已知正方形，以 为边向外作矩形 ，为中点，连接.过作交延长线于点 ，当 时，可猜想矩形 是黄金矩形，请你证明这个猜想. 37 证明： 四边形是正方形， ， . 设，为 中点， . 在中， . ，， 四边形 是平行四边形，又 ， 四边形 是菱形， 38 ， ， ， 矩形 是黄金矩形. $