专题三 三角形和多边形的内角和【（挑战压轴题）导图知识卡片+十二大考点讲练+思维拓展训练 共58题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三培优系列

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“三角形和多边形内角和”知识体系，梳理三角形内角和计算、三边关系、多边形内角和等核心内容，以十二大考点讲练呈现从基础计算到实际应用的递进脉络，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题”设计，如折叠梯安全角度判断（数学眼光）、剪绳子围特殊三角形（数学思维），结合典例精讲与分层练习，培养学生推理能力和应用意识，助力教师实施精准复习与分层教学。

2026-2027学年北师大版数学五年级上册挑战压轴题举一反三系列「新教材」 专题三 三角形和多边形的内角和 【思维导图+十二大考点讲练+思维拓展训练 共58题〔原卷版〕】 目 录 2 【压轴考点01】三角形内角和的计算 2 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用 3 【压轴考点03】判断三角形形状 5 【压轴考点04】用尺规画线段 5 【压轴考点05】三角形三边关系 6 【压轴考点06】三角形三边关系的应用 7 3【压轴考点07】三角形三边关系-剪绳子围成特殊三角形 7 【压轴考点08】多边形内角和的计算 8 【压轴考点09】多边形内角和的探索 10 【压轴考点10】多边形内角和的应用 11 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题 12 【压轴考点12】密铺问题 13 15 【压轴考点01】三角形内角和的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）求下面各角的度数。            【对应练习1】（25-26五年级上·湖北随州·阶段检测）下图是正方形折成的，已知，等于多少度？ 【对应练习2】（25-26五年级上·湖北随州·阶段检测）。求的度数？ 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一角被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【对应练习1】（2026五年级上·全国·专题练习）王伯伯在采摘树顶的杏子时需要使用折叠梯，现在梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。请通过计算，判断这时梯子是否符合安全使用条件。 安全使用条件 使用折叠梯时上部夹角应控制在35度至45度范围内，这样有助于保持稳定性和折叠部分的牢固性。 【对应练习2】（24-25四年级下·陕西渭南·期末）在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组的同学们正在进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花坛，被巧妙地划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得，，还发现了花坛内部一条分割线与边形成的。求∠2的度数。 【压轴考点03】判断三角形形状 【典例精讲】（24-25四年级下·河南郑州·期末）下图中的线段表示0°到180°，把它平均分成4段（如下图）。一个三角形中两个内角度数之和在点处，这个三角形是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【对应练习1】（24-25四年级下·湖南娄底·期末）在一个直角三角形中，其中一个锐角是45°，那么它同时也是一个（    ）。 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【对应练习2】（25-26四年级下·四川阿坝·期末）张明制作了一个等腰三角形的风筝，其中底角为，这个风筝另外的两个内角分别是( )和( )，这个三角形按角分是( )三角形。 【对应练习3】（25-26四年级下·河北邢台·期末）一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【压轴考点04】用尺规画线段 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）哪个三角形是以右侧的三条线段为边画出来的？借助尺规判断，画“√”。 【对应练习1】（2026五年级上·辽宁·专题练习）把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角形，请在方格图中已有边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“”。 【对应练习2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）再添一条线段，使这三条线段能围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 【压轴考点05】三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江舟山·期末）一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是( )厘米，第三条边的长度有( )种可能。 【对应练习1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明和爸爸一起摆三角形，现在有四种长度的小木棒各一根，分别长9厘米、6厘米、5厘米和4厘米。从中任选3根，能摆出（    ）种不同的三角形。 A．2 B．3 C．4 D．5 【对应练习2】（25-26四年级下·浙江温州·期末）用三根整厘米数的小棒搭三角形，其中的两根分别是5厘米和7厘米，那么第三根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【对应练习3】（25-26四年级下·浙江金华·期末）用一根长13厘米的铁丝围成一个三角形（边长为整厘米数），这个三角形中最长边的最大值是（    ）。 A．5厘米 B．6厘米 C．7厘米 D．8厘米 【压轴考点06】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26四年级下·新疆喀什·期末）喀什古城、香妃园、人民公园三个地点位置构成一个三角形。古城到香妃园1.2km，古城到人民公园0.8km，香妃园到人民公园距离（    ）。 A．可能是2km B．可能是0.9km C．可能是0.4km 【对应练习1】（25-26四年级下·山东聊城·期末）王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【对应练习2】（2026四年级下·江苏·专题练习）学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 【对应练习3】（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么( )厘米。（BD的长是整厘米数） 3【压轴考点07】三角形三边关系-剪绳子围成特殊三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆开州·期末）乐乐参加学校风筝制作比赛，他想用一根长1米的竹条，制作一个三角形的风筝骨架。（竹条要用完，只能剪两刀）。他第一刀不能从( )号位置剪。理由是( )。 【对应练习1】（25-26四年级下·江苏泰州·期末）童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪两刀，使剪成的三根绳子能围成三角形。 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由：__________。 【对应练习2】（25-26六年级下·湖南湘西·期末）下面细木条中每一份的长度都相等，将细木条按箭头所指的位置剪成3段。能围成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【对应练习3】（25-26四年级下·河北石家庄·期末）芳芳想把一根长14分米的小棒剪成三段，再首尾相接围成一个三角形，下面剪法能围成三角形的是（    ）。 A．B． C． 【压轴考点08】多边形内角和的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求下面图形中未知角的度数。       【对应练习1】（24-25四年级下·河北邢台·期末）求出下面和的度数。 【对应练习2】（25-26四年级下·河北承德·期中）如图，AB＝AD，∠1＝60°，求∠2的度数。 【对应练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【压轴考点09】多边形内角和的探索 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面是四名同学研究四边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 ① ② ③ ④ 一个周角＝360° 180°×2＝360° 180°×4－360°＝360° 180°×3＝540° A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【对应练习1】（25-26四年级下·福建泉州·期末）动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5＝900°。 (1)你认为对吗？( )。（填“对”或“错”） (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 【对应练习2】（25-26四年级下·重庆大足·期末）同学们在解决三角形、四边形和多边形的内角和的问题。 (1)下面是他们解决三角形、四边形的内角和的分析和解答，看看他们的解答方法正确吗？请在正确方法后面的（    ）里画“√”、在错误方法后面的（    ）里画“×”。 方法1： 1个平角＝180°（    ） 方法2： 1个周角＝360°（    ） 方法3： 2个平角＝360°（    ） 方法4： 180°×4＝720°（    ） (2)下图是胡灵犀研究七边形内角和的画图，请你按照他的画图分析，列式算出七边形的内角和是多少度？ 【压轴考点10】多边形内角和的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【对应练习1】（24-25四年级下·河南洛阳·期末）正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 （1）用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有（    ）条对称轴。 （2）正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 【对应练习2】（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）学校举行风筝比赛，奇思做了一个造型是等腰三角形的风筝（如图）。风筝的顶角是40°，请你计算出∠1和∠2的度数。 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏南通·期末）如下图，三角形中∠1＋∠2＝( )°，如果沿虚线剪去40°的角，剩下图形的内角和是( )°。 【对应练习1】（25-26四年级下·山西晋中·期末）如图，把一个长方形剪去一个角，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )度。 【对应练习2】（24-25四年级下·江苏淮安·期末）如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 【对应练习3】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【压轴考点12】密铺问题 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西渭南·期末）如果只用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【对应练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）拼一拼，看一看。 这是正五边形，居然( )密铺。正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是( )°。 原来，密铺与图形的角有关系。只要图形的内角和能合成( )°就可以密铺。 【对应练习2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下图是明明设计的密铺图案。 (1)明明用到的图形有( )形、( )形、( )形，这些多边形的( )相等。 (2)想一想，正八边形可以和什么图形密铺？画一画，说一说。 【对应练习3】（25-26四年级下·福建泉州·期末）学习完《三角形的内角和》，奇思三人准备挑战自我，探索四边形的内角和。下面是他们的思考过程。 (1)笑笑的想法中，“180×4”求的是( )，其中的“﹣360°”的“360°”指的是图中的哪个位置？请在图中标出来。 (2)你能看懂淘气的方法吗？他的想法用算式表示为( )。 (3)奇思进一步研究发现三角形可以密铺。那四边形可以密铺吗？说说你的想法。 1．（2026五年级上·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是，这个角只能是顶角 A．1个 B．2个 C．3个 2．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（26-27五年级上·全国·课后作业）用3根整厘米数的小棒围成一个三角形，一根长，另一根长，第三根最长可能是（    ）。 A． B． C． D． 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）乐乐想把一根长的铁丝分别从点、处剪开，分成三段，这样剪出的铁丝( )（填“能”或“不能”）围成三角形，理由是( )。 5．（26-27五年级上·全国·课后作业）三角形中有两条边分别是6厘米和8厘米，第三条边最长为( )厘米，最短为( )厘米。（括号里填整数） 6．（25-26四年级下·浙江金华·期末）有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 7．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用，，这三条线段可以围成一个三角形。( )（判断对错） 8．（25-26四年级下·河南南阳·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米，那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。( )（判断对错） 9．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，已知，求的度数。 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，这个正方形中∠1、∠2和∠3的度数分别是多少？ 11．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 12．（25-26四年级下·陕西渭南·期末）在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 13．（25-26四年级下·陕西汉中·期末）手工课上同学们制作自己喜欢的主题风筝。小丽制作了一个钝角三角形风筝，这个风筝三个内角中一个锐角是25°，钝角是这个锐角的4倍，这个三角形风筝的其他两个角的度数分别是多少？ 14．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 15．（25-26四年级下·重庆奉节·期末）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是。 (1)利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成( )个三角形，所以四边形的内角和是( )。 (2)利用分一分的方法，先在图中画一画，再计算出七边形的内角和。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五年级上册挑战压轴题举一反三系列「新教材」 专题三三角形和多边形的内角和 【思维导图+十二大考点讲练+思维拓展训练共58题〔原卷版)】 目录 【专题复习思维导图指引】 2 【压轴考向一三角形内角和的计算与应用】 压轴考点O1三角形内角和的计算★女食 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用★★★ 3 【压轴考点03】判断三角形形状★★★5 【压轴考点04】用尺规画线段★★★ .5 【压轴考向二三角形三边关系与应用】 【压轴考点05】三角形三边关系★★★ …6 ”【压轴考点06】三角形三边关系的应用★★★ 7 3 【压轴考点07】三角形三边关系剪绳子围成特殊三角形★★★★ …7 【压轴考向三多边形内角和的计算与应用】 【压轴考点08】多边形内角和的计算★★★ .8 【压轴考点09】多边形内角和的探索★★★ .….………….…10 【压轴考点10】多边形内角和的应用★★★ .11 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题★★★★ 12 【压轴考点12】密铺问题★★★★ .13 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 第1页共18页 15 【专题复习思维导图指引】 三角形内角和 多边形内角和公式 多边形内角和的推导方法 1.三角形内角和定理 n边形的内角和 1.从一个顶点出发，画对角线 常见多边形的角和 三角形的内角和等于180° n边形的内角和等于(n-2)×180° B c S内=(n-2)×180° 五边形：从一个顶点出发 最角封 图形 边数n 内角和S内 ∠A+∠B+∠C=180 其中，n≥3，n为边数， 三角形 △ 3 180 2.三角形披角的分类 2.特例 0 5-21.180540 (1)锐角三角形 (2)直角三角形 (3)纯角三角形 三角形(n=3):S由=(3-2)x180°=180 2.从边上取点，分割成三角形 四边形 4 360 三个内角 内两 小于0 等于90 8aw 六边形：从一条边上 取一点，陶其他顶左 五边形 5 540 六边形(n=6)15传=(6-2)x180°=720 3.三边关系（等边三角形） 六边形 O 6 720° 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 八边形 挑战压轴题专题三 ○ 1080 atb>c A、b -→a+c>b b c x a 三角形和多边形 十边形 10 1440° 等边三角形：三个内角都等于60°，三条边都相等。 内角和 n边形 n (n-2)×180 60A 44 坐 生活中的角与多边形 压轴题解题技巧 知识速记 房间的内角和 2.楼梯的角 食1.分割法 ★4.逆向思维 行提修药粉李话格 从问题的结果出发，逆向分析，逐步 1,三角形内角和：180°。 找到解决问竖的方法。 损保的侧面是 2.n边形内角和公式： 三角形，内角 合+△+<个 从最终要求的角出发】 5内=(n-2)×180°(n≥3)。 和是180， ★2.补形法 一步步逆推，会更简 单喉！ 池塘的形状 风筝的形状 3.多边形分割成三角形，个数为(n-2) ★5.借助图形规律 4,三角形按角分为：锐角三角形、直角三 多边。内 观察图形的特点和规律，如对称 角形、纯角三角形。 和与边数有美。 03.减去已知角 重复等，找到突破口。 先求出多边形的内角和，再减去已知角 5.任意两边之和大于第三边。 民蒂的骨架需 的度数，求出未知角的和或某个角。 △△△△ 常 未知角的和=内角和一已知角的和 ★小贴士 遇到复杂的多边形问题，先想一想能不能分割成三角形，再结合公式灵活解答 【压轴考向一三角形内角和的计算与应用】 【压轴考点01】三角形内角和的计算★★★ 【典例精讲】 (26-27五年级上·辽宁·单元测试)求下面各角的度数。 101o 350 650 49° 450 第2页共18页 【对应练习1】(25-26五年级上·湖北随州·阶段检测)下图是正方形折成的，己知∠1=15°，∠2等 于多少度？ 【对应练习2】(25-26五年级上·湖北随州·阶段检测)∠B0C=∠A+∠B+∠C。求∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E的度数？ B 。 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用★★食 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一角 被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，己知∠1=35°，求∠2的度数。 2 第3页共18页 【对应练习1】(2026五年级上·全国·专题练习)王伯伯在采摘树项的杏子时需要使用折叠梯，现在 梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。请通过计算，判断这时梯子是否符合安全使用条件。 安全使用条件 上部夹角 使用折叠梯时上部夹角 35°~45° 应控制在35度至45度 范围内，这样有助于保 670° 梯子的正面示意图 持稳定性和折叠部分的 牢固性。 【对应练习2】(24-25四年级下·陕西渭南·期末)在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组的同学们正在 进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花坛，被巧妙地 划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得∠B=65°，∠C=40°，还发现了花坛内部一条分割线 与边形成的∠1=30°。求∠2的度数。 A BQ65 40°C 第4页共18页 【压轴考点03】判断三角形形状★★★ 【典例精讲】(24-25四年级下·河南郑州·期末)下图中的线段表示0°到180°，把它平均分成4段 (如下图)。一个三角形中两个内角度数之和在点P处，这个三角形是( ）。 0° 卫 180° A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 【对应练习1】(24-25四年级下·湖南娄底·期末)在一个直角三角形中，其中一个锐角是45°，那么 它同时也是一个( ）。 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【对应练习2】(25-26四年级下·四川阿坝·期末)张明制作了一个等腰三角形的风筝，其中底角为 40°，这个风筝另外的两个内角分别是( )°和()°，这个三角形按角分是( )三角形。 【对应练习3】(25-26四年级下·河北邢台·期末)一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小 角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 二【压轴考点04】用尺规画线段★★★ 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)哪个三角形是以右侧的三条线段为边画出来的？借助 尺规判断，画“√”。 【对应练习1】(2026五年级上·辽宁·专题练习)把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角 形ABC,请在方格图中已有c边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“C”。 第5页共18页 【对应练习2】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)再添一条线段c,使这三条线段能围成一个三角形， 用尺规作出这个三角形。 b 【压轴考向二三角形三边关系与应用】 【压轴考点05】三角形三边关系★★★ 【典例精讲】(24-25四年级下·浙江舟山·期末)一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边 为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是( )厘米，第三条边的长度有( )种 可能。 【对应练习1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小明和爸爸一起摆三角形，现在有四种长度的小木 棒各一根，分别长9厘米、6厘米、5厘米和4厘米。从中任选3根，能摆出( )种不同的三角 形。 A.2 B.3 C.4 D.5 【对应练习2】(25-26四年级下·浙江温州·期末)用三根整厘米数的小棒搭三角形，其中的两根分别 是5厘米和7厘米，那么第三根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【对应练习3】(25-26四年级下·浙江金华·期末)用一根长13厘米的铁丝围成一个三角形（边长为 整厘米数)，这个三角形中最长边的最大值是( )。 A.5厘米 B.6厘米 C.7厘米 D.8厘米 第6页共18页 【压轴考点06】三角形三边关系的应用★★★ 【典例精讲】(25-26四年级下·新疆喀什·期末)喀什古城、香妃园、人民公园三个地点位置构成一个 三角形。古城到香妃园1.2km,古城到人民公园0.8km,香妃园到人民公园距离( )。 A.可能是2km B.可能是0.9km C.可能是0.4km 【对应练习1】(25-26四年级下·山东聊城·期末)王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边 分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【对应练习2】(2026四年级下·江苏·专题练习)学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分 别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 【对应练习3】(25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘 米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，AB=6厘米，AD=7 厘米，BC=4厘米，CD=15厘米，那么BD=( )厘米。(BD的长是整厘米数) B 【压轴考点07】三角形三边关系-剪绳子围成特殊三角形★★★★ 【典例精讲】(24-25四年级下·重庆开州·期末)乐乐参加学校风筝制作比赛，他想用一根长1米的竹 条，制作一个三角形的风筝骨架。（竹条要用完，只能剪两刀）。他第一刀不能从( )号位置剪。理 由是( ）。 第7页共18页 ① ，③④ 20厘米 40厘米50厘米60厘米 【对应练习1】(25-26四年级下·江苏泰州·期末)童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪两刀，使 剪成的三根绳子能围成三角形。 o 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由： 【对应练习2】(25-26六年级下·湖南湘西·期末)下面细木条中每一份的长度都相等，将细木条按箭 头所指的位置剪成3段。能围成等腰三角形的是( )。 D 【对应练习3】(25-26四年级下·河北石家庄·期末)芳芳想把一根长14分米的小棒剪成三段，再首 尾相接围成一个三角形，下面剪法能围成三角形的是( A. B. 【压轴考向三多边形内角和的计算与应用】 【压轴考点08】多边形内角和的计算★★★ 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)求下面图形中未知角的度数。 100 128° 80° 2 42° 40° 第8页共18页 【对应练习1】(24-25四年级下·河北邢台·期末)求出下面∠1和∠2的度数。 82° 2 469 16° 55 【对应练习2】(25-26四年级下·河北承德·期中)如图，AB=AD,∠1=60°，求∠2的度数。 ☑D B 【对应练习3】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和 的方法正确的是( )。 A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.乙、丙 D.甲、丙 第9页共18页 【压轴考点09】多边形内角和的探索★★★ 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下面是四名同学研究四边形内角和的思考过程，正确 的是( ① 2% ② ③ ④ 3、 180°×4-360°= 一个周角=360° 180°×2=360° 180°×3=540° 360° A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④ 【对应练习1】(25-26四年级下·福建泉州·期末)动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5=900°。 (1)你认为对吗？( )。(填“对”或“错”) (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 【对应练习2】(25-26四年级下·重庆大足·期末)同学们在解决三角形、四边形和多边形的内角和的 问题。 (1)下面是他们解决三角形、四边形的内角和的分析和解答，看看他们的解答方法正确吗？请在正确方法 后面的( )里画“√”、在错误方法后面的( )里画“X”。 方法1： 方法2： 4 3→ 3 2 1个平角=180° 1个周角=360° ( ( ) 第10页共18页 方法4： 方法3： PI 30 3Y1 4 42 2个平角=360 180°×4=720 ( ) (2)下图是胡灵犀研究七边形内角和的画图，请你按照他的画图分析，列式算出七边形的内角和是多少 度？ 【压轴考点10】多边形内角和的应用★★★ 【典例精讲】(24-25四年级下·山西晋中·期末)八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其 正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院 实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场 景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 第11页共18页 【对应练习1】(24-25四年级下·河南洛阳·期末)正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 (1)用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有( )条对称轴。 (2)正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 【对应练习2】(24-25四年级下·陕西宝鸡·期末)学校举行风筝比赛，奇思做了一个造型是等腰三角 形的风筝（如图）。风筝的顶角是40°，请你计算出∠1和∠2的度数。 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题★★★★ 【典例精讲】(25-26四年级下·江苏南通·期末)如下图，三角形中∠1+∠2=( )°，如果沿 虚线剪去40°的角，剩下图形的内角和是( )°。 400 20 第12页共18页 【对应练习1】(25-26四年级下·山西晋中·期末)如图，把一个长方形剪去一个角，剩下的图形是一 个( )边形，这个图形的内角和是()度。 【对应练习2】(24-25四年级下·江苏准安·期末)如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角 和是( ）°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 【对应练习3】(25-26六年级·全国·随堂练习)如下图，在三角形ABC中，∠B=70°。若沿图中的 虚线剪出∠B,则∠1+∠2等于( )。 B△ A.2509 B.270 C.225° 【压轴考点12】密铺问题★★★★ 【典例精讲】(25-26四年级下·陕西渭南·期末)如果只用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行 密铺的正多边形是( )。 A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 【对应练习1】(26-27五年级上·全国·课后作业)拼一拼，看一看。 这是正五边形，居然( )密铺。正五边形每个内角是108°，108°×3=324°，拼接处不 是( )°。 第13页共18页 去原来，密铺与图形的角有关系。只要图形的内角和能合成( )。就可以密铺。 【对应练习2】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下图是明明设计的密铺图案。 (1)明明用到的图形有( )形、( )形、( )形，这些多边形的( )相等。 (2)想一想，正八边形可以和什么图形密铺？画一画，说一说。 【对应练习3】(25-26四年级下·福建泉州·期末)学习完《三角形的内角和》，奇思三人准备挑战自 我，探索四边形的内角和。下面是他们的思考过程。 我是这样想的： 我是这样想的： 我是这样想的： 180°X2=360° 180°×4-360°=360° 奇思 淘气 笑笑 (1)笑笑的想法中，“180×4”求的是( ),其中的“-360°”的 “360°”指的是图中的哪个位置？请在图中标出来。 (2)你能看懂淘气的方法吗？他的想法用算式表示为( ）。 (3)奇思进一步研究发现三角形可以密铺。那四边形可以密铺吗？说说你的想法。 第14页共18页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(2026五年级上·辽宁·专题练习)下列说法中，正确的有( )。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90° ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是98°，这个角只能是顶角 A.1个 B.2个 C.3个 2.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)计算五边形内角和，符合算式“180°×3”的思考方式的是 A B. 0 3.(26-27五年级上·全国·课后作业)用3根整厘米数的小棒围成一个三角形，一根长15cm,另一根 长7cm,第三根最长可能是( )。 A.9cm B.22cm C.10cm D.21cm 4.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)乐乐想把一根14cm长的铁丝分别从点A、B处剪开，分成三 段，这样剪出的铁丝( )(填“能”或“不能”)围成三角形，理由是( ）。 0123456方89101位34 5.(26-27五年级上·全国·课后作业)三角形中有两条边分别是6厘米和8厘米，第三条边最长为 )厘米，最短为( )厘米。（括号里填整数） 6.(25-26四年级下·浙江金华·期末)有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和 12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 7.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)用4cm,6cm,8cm这三条线段可以围成一个三角形。 ( )(判断对错) 8.(25-26四年级下·河南南阳·期末)一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米， 那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。()（判断对错） 第15页共18页 9.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图，已知∠3+∠4=95°，求∠1的度数。 人321 10.（26-27五年级上·辽宁·课后作业)如图所示，这个正方形中∠1、∠2和∠3的度数分别是多少？ 厘米 3厘米 11.（26-27五年级上·辽宁·单元测试)路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等 腰三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 12.(25-26四年级下·陕西渭南·期末)在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架 路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直 角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 44 160° 第16页共18页 13.(25-26四年级下·陕西汉中·期末)手工课上同学们制作自己喜欢的主题风筝。小丽制作了一个钝 角三角形风筝，这个风筝三个内角中一个锐角是25°，钝角是这个锐角的4倍，这个三角形风筝的其他两 个角的度数分别是多少？ 14.(24-25五年级上·北京通州·期末)同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长 线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是 四边形的四个外角。 5 4 6 3 2 70 (1)我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推 算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 (2)画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ (3)根据上面的发现，你有什么猜想？ 第17页共18页 15.(25-26四年级下·重庆奉节·期末)本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和 是180°。 (1)利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成( )个三角形，所以四边形的内角和 是( )°。 (2)利用分一分的方法，先在图中画一画，再计算出七边形的内角和。 第18页共18页 2026-2027学年北师大版数学五年级上册挑战压轴题举一反三系列「新教材」 专题三 三角形和多边形的内角和 【思维导图+十二大考点讲练+思维拓展训练 共58题〔解析版〕】 目 录 2 【压轴考点01】三角形内角和的计算 2 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用 4 【压轴考点03】判断三角形形状 6 【压轴考点04】用尺规画线段 8 【压轴考点05】三角形三边关系 9 【压轴考点06】三角形三边关系的应用 11 3【压轴考点07】三角形三边关系-剪绳子围成特殊三角形 13 【压轴考点08】多边形内角和的计算 15 【压轴考点09】多边形内角和的探索 18 【压轴考点10】多边形内角和的应用 21 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题 24 【压轴考点12】密铺问题 26 29 【压轴考点01】三角形内角和的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）求下面各角的度数。            【答案】 96°；25°；34° 【思路引导】三角形内角和是180°，求三角形未知角，用180°减去已知两个内角的度数。第二个是直角三角形，直角为90°，同样利用内角和计算。 【规范解答】 【对应练习1】（25-26五年级上·湖北随州·阶段检测）下图是正方形折成的，已知，等于多少度？ 【答案】30度 【思路引导】 正方形的一个角为90°，折叠前后对应的角度相等，如图所示：，即与∠1重叠的角也是15°，∠3重叠的角与∠3相等，∠3和∠1是被折叠的直角三角形的两个锐角，根据三角形的内角和180°可求得∠3的度数；然后两个∠3＋∠2是平角180°（折叠前这三个角在一条直线上），用180°减去两个∠3即可得到∠2的度数。 【规范解答】∠3：180°－90°－15°＝75° ∠2：180°－75°×2 ＝180°－150° ＝30° 【对应练习2】（25-26五年级上·湖北随州·阶段检测）。求的度数？ 【答案】180° 【思路引导】∠BOC＝∠DOE，先把∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E算式中的∠A＋∠B＋∠C替换成∠BOC，再替换成∠DOE，变为∠DOE＋∠D＋∠E，那么这三个角在一个三角形中，三角形的内角和是180°，据此解答。 【规范解答】根据分析，解答如下： ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠BOC＋∠D＋∠E＝∠DOE＋∠D＋∠E＝180° 答：的度数为180°。 【压轴考点02】三角形内角和的实际应用 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一角被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】70° 【思路引导】在长方形中，每一个内角都是90°，折叠前后角相等，根据题意可知，∠1所在的直角三角形的另一个角为90°－∠1，这两个相等的角和∠2拼成一个平角，平角为180°，据此可求出∠2的度数。 【规范解答】180°－（90°－35°）×2 ＝180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 答：∠2的度数是70°。 【对应练习1】（2026五年级上·全国·专题练习）王伯伯在采摘树顶的杏子时需要使用折叠梯，现在梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。请通过计算，判断这时梯子是否符合安全使用条件。 安全使用条件 使用折叠梯时上部夹角应控制在35度至45度范围内，这样有助于保持稳定性和折叠部分的牢固性。 【答案】这时梯子符合安全使用条件。 【思路引导】由题意可知，折叠梯的正面是等腰三角形，两个底角都是70°，三角形内角和是180°，用三角形的内角和连续减去两个底角即可求出上部的夹角，然后再与安全范围（35度—45度）进行对比。 【规范解答】180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 35°＜40°＜45° 答：梯子上部夹角是40°，在安全范围内，符合安全使用条件。 【对应练习2】（24-25四年级下·陕西渭南·期末）在阳光明媚的校园里，数学兴趣小组的同学们正在进行一场有趣的实践活动。老师带领大家来到操场的一角，这里有一个形状类似三角形的花坛，被巧妙地划分成了两个小区域。他仔细地使用量角器，测得，，还发现了花坛内部一条分割线与边形成的。求∠2的度数。 【答案】45° 【思路引导】根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，可以先求出三角形ABC中∠BAC的度数，由图可得，∠BAC＝180°－∠B－∠C，再通过∠BAC与∠1的关系求出∠2的度数，∠2＝∠BAC－∠1，据此解答即可。 【规范解答】∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－65°－40° ＝75° ∠2＝∠BAC－∠1 ＝75°－30° ＝45° 答：∠2的度数为45°。 【压轴考点03】判断三角形形状 【典例精讲】（24-25四年级下·河南郑州·期末）下图中的线段表示0°到180°，把它平均分成4段（如下图）。一个三角形中两个内角度数之和在点处，这个三角形是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【思路引导】将180°平均分成4份，180°除以4等于45°，P点所以是接近2段的地方，也就是接近90°，两个角之和接近90°，说明另一个角大于90°，所以另一个角是钝角。有一个钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】180°÷4＝45°，45°×2＝90°，两个角之和接近90°，所以第三个角大于90°，是钝角，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：A 【对应练习1】（24-25四年级下·湖南娄底·期末）在一个直角三角形中，其中一个锐角是45°，那么它同时也是一个（    ）。 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【思路引导】有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两个底角相等；三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形3个角都是60°；题干中已知一个直角三角形，那么一定有一个直角（90°），一个锐角是45°，根据三角形内角和为180°，可求得另一个锐角也是45°，因此该三角形有两个相等的角，对应的两条边也相等，符合等腰三角形的定义。 【规范解答】计算另一个锐角： 180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 这个直角三角形有两个锐角均为45°，说明两条直角边长度相等，符合等腰三角形的特征。 故答案为：B 【对应练习2】（25-26四年级下·四川阿坝·期末）张明制作了一个等腰三角形的风筝，其中底角为，这个风筝另外的两个内角分别是( )和( )，这个三角形按角分是( )三角形。 【答案】 40 100 钝角 【思路引导】根据等腰三角形两个底角相等可知这个等腰三角形风筝的另一个底角也是40°，三角形内角和等于180°，用180°减去两个底角的度数就是另外一个角的度数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】180°－（40°＋40°） ＝180°－80° ＝100° 三角形三个角的度数分别为：40°、40°和100°，这个三角形按角分是钝角三角形。 【对应练习3】（25-26四年级下·河北邢台·期末）一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 【答案】40°；钝角三角形。 【思路引导】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【规范解答】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 【压轴考点04】用尺规画线段 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）哪个三角形是以右侧的三条线段为边画出来的？借助尺规判断，画“√”。 【答案】 【思路引导】尺规判断的方法：用圆规量取右侧每条线段的长度，再拿圆规去比对三个三角形的各条边。先量出两条等长线段，看三角形是否有两条边和它一样长，再用圆规量短线段，核对三角形底边长度，匹配三条线段长度的就是答案。 【规范解答】第一个三角形：三边都不相等，没有两条边和长线段一致，不符合。 第二个三角形：两条腰的长度等于那两条等长线段，底边长度等于短线段，和给定三条线段完全匹配。 第三个三角形：三条边长度相近，没有一长一短的长度关系，不符合。 【对应练习1】（2026五年级上·辽宁·专题练习）把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角形，请在方格图中已有边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“”。 【答案】 【思路引导】以已有的AB边（长度为c）为三角形的一边，需要确定第三个顶点C使得AC、BC的长度分别对应a、b或者b、a；用尺规量取线段a的长度，以点A为圆心、a为半径画弧；再量取线段b的长度，以点B为圆心、b为半径画弧，两弧的交点即为C点；也可交换a、b的对应端点，即分别以A为圆心b为半径、B为圆心a为半径画弧，取交点作为C点，最后连接对应线段完成作图。 【规范解答】图略 【对应练习2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）再添一条线段，使这三条线段能围成一个三角形，用尺规作出这个三角形。 【答案】 【思路引导】根据三角形三边关系，因为三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，所以c的长度需满足 尺规画三角形的步骤： ①先用直尺画一条射线，在射线上截取一条线段，即为添的线段，使它长度满足； ②再以这条线段的两个端点为圆心，分别用线段a、线段b的长度当半径画圆弧，两个圆弧会交于一个点； ③把这个交点和线段的两个端点分别连起来，得到的图形就是三条边为a、b、c的三角形。 【压轴考点05】三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江舟山·期末）一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是( )厘米，第三条边的长度有( )种可能。 【答案】 12 9 【思路引导】任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 已知两条边是8厘米和5厘米：先算两边之和：8＋5＝13厘米，所以第三边必须小于13厘米； 再算两边之差：8－5＝3厘米，所以第三边必须大于3厘米；因为边长是整厘米数，大于3且小于13的整数里，最大的是12，符合要求的数是4、5、6、7、8、9、10、11、12，一共9种。 【规范解答】8＋5＝13（厘米） 8－5＝3（厘米） 13－1＝12（厘米） 第三条边一定大于3的差，小于13的和，符合的数有4，5，6，7，8，9，10，11，12。 一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是12厘米，第三条边的长度有9种可能。 【对应练习1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明和爸爸一起摆三角形，现在有四种长度的小木棒各一根，分别长9厘米、6厘米、5厘米和4厘米。从中任选3根，能摆出（    ）种不同的三角形。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，先列出所有选3根小棒的组合，再逐个判断两条较短的木棒长度和是否大于最长木棒的长度，大于则可以摆成三角形。 【规范解答】4根小棒选3根共有4种组合： ①9厘米、6厘米、5厘米：5＋6＝11（厘米），因为11＞9，符合要求，可以摆成三角形； ②9厘米、6厘米、4厘米：4＋6＝10（厘米），因为10＞9，符合要求，可以摆成三角形； ③9厘米、5厘米、4厘米：4＋5＝9（厘米），因为9＝9，不符合要求，不能摆成三角形； ④6厘米、5厘米、4厘米：4＋5＝9（厘米），因为9＞6，符合要求，可以摆成三角形。 因此，符合条件的共3种，能摆出3种不同的三角形。 【对应练习2】（25-26四年级下·浙江温州·期末）用三根整厘米数的小棒搭三角形，其中的两根分别是5厘米和7厘米，那么第三根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 11 3 【思路引导】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根小棒分别为5厘米和7厘米，第三根小棒长度需满足：7厘米＋5厘米＞第三根小棒的长度，7厘米－5厘米＜第三根小棒的长度，据此解答。 【规范解答】确定第三边范围： 5＋7＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 2厘米＜第三根小棒的长度＜12厘米 所以第三根小棒最长可以是11厘米，最短是3厘米。 【对应练习3】（25-26四年级下·浙江金华·期末）用一根长13厘米的铁丝围成一个三角形（边长为整厘米数），这个三角形中最长边的最大值是（    ）。 A．5厘米 B．6厘米 C．7厘米 D．8厘米 【答案】B 【思路引导】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。要使围成的三角形最长边的长度最大，那么另外两条边的长度之和要尽可能小，且最长边的长度必须小于周长的一半，结合边长为整厘米数，即可求出最大值。 【规范解答】13÷2＝6（厘米）……1（厘米） A．5厘米＜6厘米，但不是最长边的最大值； B．6厘米，因为周长的一半是6厘米……1厘米，所以三角形中最长边的最大值应是6厘米； C．最长边是7厘米，另外两条边的长度之和与最长边比较，不符合三边关系，不能围成三角形； D．最长边是8厘米，另外两条边的长度之和与最长边比较，不符合三边关系，不能围成三角形。 用一根长13厘米的铁丝围成一个三角形（边长为整厘米数），这个三角形中最长边的最大值是6厘米。 【压轴考点06】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26四年级下·新疆喀什·期末）喀什古城、香妃园、人民公园三个地点位置构成一个三角形。古城到香妃园1.2km，古城到人民公园0.8km，香妃园到人民公园距离（    ）。 A．可能是2km B．可能是0.9km C．可能是0.4km 【答案】B 【思路引导】根据三角形的特性，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，可以确定第三条边的取值范围，再结合选项进行判断。 【规范解答】 所以第三边的长度范围是大于 且小于 。 【对应练习1】（25-26四年级下·山东聊城·期末）王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 【答案】最短米，最长米 【思路引导】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【规范解答】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 【对应练习2】（2026四年级下·江苏·专题练习）学校有一块等腰三角形的花圃，其中两条边的长分别是12米和24米。要在花圃的边上围上栅栏，栅栏的长是多少米？ 【答案】 60米 【思路引导】等腰三角形的两条腰长度相等。已知两条边分别是米和米，需要分两种情况讨论：第一种情况是腰长米，底边米；第二种情况是腰长米，底边米。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能构成三角形的情况，确定正确的三条边长度后，再计算周长。 【规范解答】情况一：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，所以这种情况舍去。 情况二：如果腰长是米，底边是米。 三条边分别为：米、米、米。 因为，，符合三角形三边关系，可以构成三角形。 栅栏的总长度为： （米） 答：栅栏的长是米。 【对应练习3】（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要( )厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么( )厘米。（BD的长是整厘米数） 【答案】 14 12 【思路引导】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。根据三角形三边关系，任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，确定三角形第三边可能的长度，再结合三角形三边关系求出周长的最小值；然后在两个三角形中分别利用三边关系确定BD的取值范围，最后综合得出BD的整厘米数。 【规范解答】假设腰长是6厘米，底边是4厘米，此时三边为6厘米、6厘米、4厘米， 6＋4＞6，满足三角形三边关系， 周长为：6＋6＋4 ＝12＋4 ＝16（厘米） 假设腰长是4厘米，底边是6厘米，此时三边为4厘米、4厘米、6厘米， 4＋4＞6，满足三角形三边关系， 周长为：4＋4＋6 ＝8＋6 ＝14（厘米） 14＜16 围成这个三角形至少需要14厘米的铁丝； 在三角形ABD中，根据三角形三边关系：AB－AD＜BD＜AD＋AB，即7厘米－6厘米＜BD＜7厘米＋6厘米，所以1厘米＜BD＜13厘米； 在三角形BCD中，根据三角形三边关系：CD－BC＜BD＜CD＋BC，即15厘米－4厘米＜BD＜15厘米＋4厘米，所以11厘米＜BD＜19厘米； 综合两个范围BD需同时满足11厘米＜BD＜13厘米，因为BD是整厘米数，所以BD＝12厘米。 一个等腰三角形的两条边分别是6厘米、4厘米，围成这个三角形至少需要14厘米的铁丝；在（下图）四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，厘米，那么12厘米。 3【压轴考点07】三角形三边关系-剪绳子围成特殊三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆开州·期末）乐乐参加学校风筝制作比赛，他想用一根长1米的竹条，制作一个三角形的风筝骨架。（竹条要用完，只能剪两刀）。他第一刀不能从( )号位置剪。理由是( )。 【答案】 ③； 这样剪构不成三角形 【规范解答】乐乐想用一根竹条，制作一个三角形的风筝骨架，那么三角形骨架三边的关系应该满足三角形各边之间的关系：三角形任意两边的和大于第三边，所以第一刀剪下来的竹条应该小于这根竹条的一半，才能满足三角形三边的关系，从而构成三角形的风筝骨架；而这根竹条的长为1米，1米等于100厘米，所以第一刀剪下来的长度要小于100厘米的一半50厘米，如果等于50厘米，那么剩下的怎么分两端，这两段的和始终等于50厘米，构不成三角形，所以第一刀不能从50厘米的位置剪，即不能从③号位置剪。理由这样剪构不成三角形。 所以他的第一刀不能从③号位置剪。因为这样剪构不成三角形（答案不唯一，只要意思是构不成三角形即可）。 【对应练习1】（25-26四年级下·江苏泰州·期末）童童在研究如何把一根10cm长的绳子剪两刀，使剪成的三根绳子能围成三角形。 如图，童童第一刀剪的位置可以吗？( )说说你的理由：__________。 【答案】 不可以 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【思路引导】这根绳子总长10cm，一共被平均分成10份，每份长1cm，第一刀剪出的第一段长度是5cm，剩下两段长度和是10－5＝5cm；三角形三边要求任意两边之和大于第三边，这里剩余两段长度之和等于5cm，不满足三角形的三边要求，无法围成三角形。 【规范解答】10－5＝5（cm） 童童第一刀剪的位置不可以。理由略 【对应练习2】（25-26六年级下·湖南湘西·期末）下面细木条中每一份的长度都相等，将细木条按箭头所指的位置剪成3段。能围成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】等腰三角形是至少有两条边相等的三角形。三角形任意两边之和大于第三边。将各选项中更短的两段木条的长度相加，把和与第三段木条的长度比较，同时满足“有两条边相等”和“三角形任意两边之和大于第三边”这两个条件的就能围成等腰三角形。 【规范解答】A．由图可知，三段木条的长度分别是8、2、2，2＋2＝4，4＜8，不能围成三角形，此选项错误； B．由图可知，三段木条的长度分别是5、2、5，2＋5＝7，7＞5，能围成三角形。5＝5，能围成等腰三角形，此选项正确； C．由图可知，三段木条的长度分别是3、3、6，3＋3＝6，6＝6，不能围成三角形，此选项错误； D．由图可知，三段木条的长度分别是5、4、3，4＋3＝7，7＞5，能围成三角形。3≠4≠5，不是等腰三角形，此选项错误。 【对应练习3】（25-26四年级下·河北石家庄·期末）芳芳想把一根长14分米的小棒剪成三段，再首尾相接围成一个三角形，下面剪法能围成三角形的是（    ）。 A．B． C． 【答案】B 【思路引导】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，据此解答。 【规范解答】A．分成3分米，4分米，7分米，3＋4＝7（分米），不符合要求； B．分成5分米，3分米，6分米，5＋3＞6（分米），符合要求； C．分成2分米，4分米，8分米，2＋4＜8（分米），不符合要求。 【压轴考点08】多边形内角和的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求下面图形中未知角的度数。       【答案】100°；40° 【思路引导】四边形内角和是；第一个图形，已知的三个角分别为、、，用内角和减去三个已知角的度数，即可得到未知角的度数。第二个图形，先用四边形内角和减去已知的三个角度数求出四边形的第四个内角，因为所求未知角与该第四个内角组成平角，所以用减去该内角的度数，即可得到未知角的度数。 【规范解答】     图1中未知角的度数是100°，图2中未知角的度数是40° 【对应练习1】（24-25四年级下·河北邢台·期末）求出下面和的度数。 【答案】∠1＝30°；∠2＝133° 【思路引导】 在左图中，增加∠2。 ∠2与46°角组成平角，先利用平角为180°求出∠2，再结合三角形内角和为180°已知三角形的两个内角，可直接根据三角形内角和为180°，求出未知角∠1的度数。 右图中，四边形内角和是360°，用四边形内角和依次减去3个角的度数，就是∠2的度数。直角是90°。 【规范解答】 左图： ∠2＝180°－46°＝134° ∠1＝180°－16°－∠2 ＝180°－16°－134° ＝164°－134° ＝30° 右图：∠2＝360°－55°－90°－82° ＝305°－90°－82° ＝215°－82° ＝133° 【对应练习2】（25-26四年级下·河北承德·期中）如图，AB＝AD，∠1＝60°，求∠2的度数。 【答案】 60° 【思路引导】如图，AB＝AD，∠1＝60°，∠ABD＝∠ADB＝（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60°，如图可知∠ADC＝90°，∠C＝90°，根据四边形的内角和等于360°。可以算出∠2＝360°－∠C－∠ADC－∠1－∠ABD。 【规范解答】∠ABD＝（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60° ∠2＝360°－90°－90°－60°－60°＝60°。 【对应练习3】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【答案】A 【思路引导】六边形内角和的推导核心是将六边形分割为已知内角和的三角形或四边形，利用已有内角和计算，且分割产生的非六边形内角的角度要扣除。 甲：从六边形的一个顶点出发，把六边形分成了4个三角形，六边形内角和就是4个三角形内角和相加，用三角形内角和乘4计算出结果即可判断是否正确。 乙：把六边形分成了2个完全一样的四边形，六边形内角和就是2个四边形内角和相加，用四边形内角和乘2计算出结果即可判断是否正确。 丙：从六边形的一个边上的点出发，把六边形分成了2个三角形和1个四边形，六边形内角和就是2个三角形内角和与1个四边形内角和相加，计算出结果后即可判断是否正确。 【规范解答】甲．，推导方法正确。 乙．，推导方法正确。 丙．，推导方法正确。 所以甲、乙、丙的方法都正确，选A。 【压轴考点09】多边形内角和的探索 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面是四名同学研究四边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 ① ② ③ ④ 一个周角＝360° 180°×2＝360° 180°×4－360°＝360° 180°×3＝540° A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【思路引导】三角形内角和是180°，四边形内角和等于360°，四边形转化成三角形后，要从所有三角形内角和中减去不是四边形内角和的部分。据此分析每个思考过程。 【规范解答】①利用剪拼法，把四边形的四个角剪下来，拼成一个周角，一个周角是360°四个角都是四边形的内角，所以四边形的内角和是360°。思考过程正确。 ②把四边形分成2个三角形，2个三角形的内角组成四边形的4个内角，一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是360°思考过程正确。 ③两条对角线把四边形分成4个三角形，从图中可知，4个三角形的内角和比四边形内角和多了一个周角，所以四边形内角和是 。思考过程正确。 ④把四边形分成3个三角形，3个三角形中有3个内角（虚线三角形中最上面的角及相邻的两个角）不是四边形的内角，计算四边形内角和时需要从3个三角形的内角和中减去180°（这三个角组成一个平角）图中没有减，思考过程不正确。 综上所述：研究四边形内角和的思考过程，正确的是①②③ 【对应练习1】（25-26四年级下·福建泉州·期末）动脑理一理。 芳芳通过分割法把五边形分成5个三角形（如下图），她求出五边形的内角和是180°×5＝900°。 (1)你认为对吗？( )。（填“对”或“错”） (2)请你用画图或文字说明等方式，尽可能清楚地表示出你的想法。 【答案】(1)错 (2) ； 【思路引导】从五边形的一个顶点出发将其分割成三个三角形，借助三角形的内角和为计算多边形的内角和。 【规范解答】（1）芳芳将五边形从内部一点分割成个三角形，个三角形内角总和包含五边形内角和与中心一周的角，多出中心周角，要减去不属于五边形内角的周角。所以芳芳的说法错误。 （2）从五边形的一个顶点出发将其分割成三个三角形，如图： 五边形的内角和为 【对应练习2】（25-26四年级下·重庆大足·期末）同学们在解决三角形、四边形和多边形的内角和的问题。 (1)下面是他们解决三角形、四边形的内角和的分析和解答，看看他们的解答方法正确吗？请在正确方法后面的（    ）里画“√”、在错误方法后面的（    ）里画“×”。 方法1： 1个平角＝180°（    ） 方法2： 1个周角＝360°（    ） 方法3： 2个平角＝360°（    ） 方法4： 180°×4＝720°（    ） (2)下图是胡灵犀研究七边形内角和的画图，请你按照他的画图分析，列式算出七边形的内角和是多少度？ 【答案】(1) 方法1： 1个平角＝180°（ √ ） 方法2： 1个周角＝360°（ √  ） 方法3： 2个平角＝360°（ √  ） 方法4： 180°×4＝720°（ ×  ） (2) 【思路引导】（1）方法一，同学们把三角形三个角剪下来拼成一个平角，方法正确； 方法二：同学们把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； 方法三：把四边形的四个角拼成两个平角，每个平角180°，2×180°＝360°，方法正确； 方法四：长方形内画两条对角线，把图形分成了4个三角形，用180°×4＝720°，这个计算多算了中间的周角，所以这个方法错误； （2）从图中可以看出，胡灵犀是从七边形的一个顶点出发，向其他不相邻的顶点连线，把七边形分割成5个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以七边形的内角和就是这5个三角形内角和的总和，列式计算即可。 【规范解答】（1）略 （2）180°×5＝900° 答：七边形的内角和为900°。 【压轴考点10】多边形内角和的应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】（画法不唯一） 1080° 【思路引导】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【规范解答】图略 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 【对应练习1】（24-25四年级下·河南洛阳·期末）正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 （1）用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有（    ）条对称轴。 （2）正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 【答案】（1）6 （2）720度 【思路引导】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点和过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴即可； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度，据此借助图形先画一画，再计算。 【规范解答】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2） 把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 答：正六边形的内角和是720度。 【对应练习2】（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）学校举行风筝比赛，奇思做了一个造型是等腰三角形的风筝（如图）。风筝的顶角是40°，请你计算出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1的度数为70°，∠2的度数是110° 【思路引导】已知这个风筝是等腰三角形的，等腰三角形的特点是两条腰相等，并且所对应的两个底角也相等；三个内角和是180°，顶角是40°，180°减40°得140°，两个底角和是140°，两个底角和除以2，即可求出∠1的度数，由图可知，∠1、∠2和另外两个直角是在一个四边形中，四边形的内角和是360°，用四边形的内角和依次减去两个90°，再减去∠1的度数，即可求出∠2的度数，据此解答即可。 【规范解答】∠1的度数： ∠2的度数： 答：∠1的度数为70°，∠2的度数是110°。 【压轴考点11】多边形剪一角求内角和问题 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏南通·期末）如下图，三角形中∠1＋∠2＝( )°，如果沿虚线剪去40°的角，剩下图形的内角和是( )°。 【答案】 140 360 【思路引导】三角形内角和是180°，已知一个角为40°，可求出其余两个角的和。 沿虚线剪去40°的角后，剩下的图形是四边形，四边形的内角和是360°。 【规范解答】（1）180°－40°＝140° （2）剩下的图形为四边形，四边形内角和是360° 【对应练习1】（25-26四年级下·山西晋中·期末）如图，把一个长方形剪去一个角，剩下的图形是一个( )边形，这个图形的内角和是( )度。 【答案】 五 540 【思路引导】观察图形，剪去右上角的角后，剩下的图形一共有5条边，因此是五边形。如图： 把五边形分成3个三角形，明确三角形的内角和是180度，用180乘3，求出这个图形的内角和的度数。 【规范解答】剩下的图形是一个五边形， 180×3＝540（度） 这个图形的内角和是540度。 【对应练习2】（24-25四年级下·江苏淮安·期末）如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 【答案】 360 720 【思路引导】图①将三角形的一个角剪掉，剩下图形是一个四边形，图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形是一个六边形。 多边形的内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【规范解答】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是360°。 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是720°。 【对应练习3】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（    ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【思路引导】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【规范解答】∠A＋∠C： ∠1＋∠2： 故答案为：A 【压轴考点12】密铺问题 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西渭南·期末）如果只用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【思路引导】密铺是指用一种或几种图形覆盖平面，不留空隙，不重叠。单一正多边形能够密铺的条件是：该正多边形的内角度数能整除360°，即拼接点处的几个内角之和等于360°（周角）。分别计算或回忆正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数，看哪个不能整除360°即可。 【规范解答】A．正三角形每个内角：，，可以密铺； B．正方形每个内角：，，可以密铺； C．正五边形内角和：，每个内角：，不能被整除，不可以密铺； D．正六边形内角和：，每个内角：，，可以密铺。 【对应练习1】（26-27五年级上·全国·课后作业）拼一拼，看一看。 这是正五边形，居然( )密铺。正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是( )°。 原来，密铺与图形的角有关系。只要图形的内角和能合成( )°就可以密铺。 【答案】 不能 360 360 【思路引导】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。密铺的图形的公共顶点处的角的度数之和正好是360°。 判断几种图形拼接后是否构成密铺，要看图形之间有没有空隙和重复；也可以计算公共顶点处几个角的度数之和是否等于360°。 【规范解答】图中三个正五边形拼接后仍然有空隙，因此正五边形不能密铺。 因为正五边形的每个内角都是108°，，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。 只要图形的内角和能合成360°就能密铺。 【对应练习2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下图是明明设计的密铺图案。 (1)明明用到的图形有( )形、( )形、( )形，这些多边形的( )相等。 (2)想一想，正八边形可以和什么图形密铺？画一画，说一说。 【答案】(1) 正十二边 正六边 正方 边长 (2)如图，正八边形可以和正方形密铺。 （答案不唯一） 【思路引导】四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形，每条边相等的六边形是正六边形，每条边相等的十二边形是正十二边形；密铺条件：拼接点处所有内角之和等于360°；多种正多边形组合密铺，要求各图形边长相等。 【规范解答】（1）观察图案：大图形是正八边形，最小方块是正方形，中间较小多边形为正十二边形；参与密铺的正多边形边长必须全部相等。 （2）图略 正八边形内角度数： （8－2）×180°÷8 ＝6×180°÷8 ＝1080°÷8 ＝135° 360°－135°×2 ＝360°－270° ＝90° 内角90°的正多边形是正方形。 因此边长相等的正八边形与正方形可以密铺。 【对应练习3】（25-26四年级下·福建泉州·期末）学习完《三角形的内角和》，奇思三人准备挑战自我，探索四边形的内角和。下面是他们的思考过程。 (1)笑笑的想法中，“180×4”求的是( )，其中的“﹣360°”的“360°”指的是图中的哪个位置？请在图中标出来。 (2)你能看懂淘气的方法吗？他的想法用算式表示为( )。 (3)奇思进一步研究发现三角形可以密铺。那四边形可以密铺吗？说说你的想法。 【答案】(1)4个三角形的内角和 (2)180°×3－180° (3)能密铺；四边形内角和为360°，四边形的每个拼接点处各个内角合起来可以刚好是一周角360°，没有空隙也不重叠，所以四边形可以密铺。 【思路引导】（1）根据三角形内角和是180°，笑笑的方法是把四边形从内部一点分成4个三角形，先算出4个三角形的内角和总和，再减去中间不属于四边形内角的部分，即4个三角形在O点的内角拼成的一周角，一周角＝360°。 （2）淘气的方法是把四边形分成3个三角形，利用三角形内角和，再减去不属于四边形内角的平角，求出四边形内角和。一平角＝180°。 （3）判断图形能否密铺，关键看拼接点处的几个内角和是否能拼成360°的周角。 【规范解答】（1）“180°×4”求的是四边形内一点连接四个顶点，分成的4个三角形的内角和总和。 其中“－360°”的“360°”，指的是图中中间点O处的周角（也就是4个三角形在O点的内角拼成的一周角），这个角不是四边形的内角，所以要减去。图略 （2）淘气的方法是从四边形的一个顶点向对边引两条线段，把四边形分成3个三角形，3个三角形的内角和是180°×3，但中间有一个平角（180°）不属于四边形的内角，需要减去。 算式表示为：180°×3－180°＝360°。 （3）答：四边形可以密铺。因为四边形的内角和是360°，在拼接点处，将4个不同的内角拼在一起，它们的和刚好是360°，可以拼成一个完整的周角，没有空隙也不重叠，所以四边形可以密铺。 1．（2026五年级上·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是，这个角只能是顶角 A．1个 B．2个 C．3个 【答案】A 【思路引导】任意一个三角形的内角和都是180°；任意两个小数之间有无数个小数；等腰三角形的底角相等，据此解答。 【规范解答】①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°，原题说法错误； ②1.2和1.4之间有无数个小数，原题说法错误； ③等腰三角形的两个底角相等，若98°是底角，则两个底角的和是98°＋98°＝196°，大于三角形内角和，所以这个角只能是顶角，原题说法正确。 综上可得：正确的是③。 2．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】多边形内角和推导方法：从同一个顶点向不相邻的顶点画对角线，把五边形分割成若干个三角形。一个三角形内角和是180°，算式180°×3，说明要分成3个三角形。 【规范解答】A．从五边形中心点连接各个顶点，分成5个三角形，不符合题意。 B．从五边形的一条边上的一点连接其余三个顶点，分成4个三角形，不符合题意。 C．从五边形同一个顶点，向不相邻顶点画对角线，分成3个三角形，对应算式180°×3，符合题意。 D．连接五边形的两个顶点，得到一个三角形和一个四边形，不符合题意。 3．（26-27五年级上·全国·课后作业）用3根整厘米数的小棒围成一个三角形，一根长，另一根长，第三根最长可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先确定第三根小棒的长度范围，再选取符合要求的最大值。 【规范解答】（cm），（cm），可得第三根小棒的长度，小棒长度为整厘米数，符合条件的最大值为21cm。 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）乐乐想把一根长的铁丝分别从点、处剪开，分成三段，这样剪出的铁丝( )（填“能”或“不能”）围成三角形，理由是( )。 【答案】 不能 三角形的任意两边之和大于第三边才能围成三角形，，两边之和等于第三边。 【思路引导】判断三段线段能否围成三角形，依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。先在数轴上读出三段铁丝的长度，再计算两条短边相加的和，与最长边对比进行判断。 【规范解答】数轴上A点在7cm，B点在12cm，铁丝总长14cm。 三段长度： 第一段：7cm 第二段：12－7＝5（cm） 第三段：14－12＝2（cm） 较短两边之和：5＋2＝7（cm） 7cm＝7cm，不满足任意两边之和大于第三边。 5．（26-27五年级上·全国·课后作业）三角形中有两条边分别是6厘米和8厘米，第三条边最长为( )厘米，最短为( )厘米。（括号里填整数） 【答案】 13 3 【思路引导】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。计算已知两边的和与差，确定第三边的取值范围，要求取整数，选取符合要求的整数。 【规范解答】6＋8＝14（厘米） 8－6＝2（厘米） 第三边的长度大于2厘米，小于14厘米，所以第三边最长为13厘米，最短为3厘米。 6．（25-26四年级下·浙江金华·期末）有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 【答案】26 【思路引导】根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断。选择能围成三角形的组合中三条磁力棒相加长度最短的组合，求出周长即可。 【规范解答】（厘米） 所以4厘米、6厘米的磁力棒不能同时出现在一个三角形中，即长度为4厘米、10厘米、12厘米或6厘米、10厘米、12厘米的磁力棒能围成三角形。 周长最短的是4厘米、10厘米、12厘米的磁力棒围成的三角形：（厘米）。 7．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用，，这三条线段可以围成一个三角形。( ) 【答案】√ 【思路引导】判断三条线段能否围成三角形，只需根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可。 【规范解答】较短两条线段的和：（cm） 最长线段长8cm，。 其余两组4＋8＝12（cm），12＞6； 6＋8＝14（cm），14＞4。 均满足三边关系，可以围成一个三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26四年级下·河南南阳·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米，那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，确定两种情况的三条边是否能围成一个等腰三角形，据此解答。 【规范解答】10＋4＞10 7＋7＞10 符合三角形三边关系，原题说法正确。 故答案为：√ 9．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，已知，求的度数。 【答案】 95° 【思路引导】三角形内角和是180°，在小三角形里，用180°减去∠3与∠4的和，可以求出∠2。∠1和∠2组成平角，平角是180°，再用180° 减去∠2就能算出∠1。 【规范解答】 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，这个正方形中∠1、∠2和∠3的度数分别是多少？ 【答案】；； 【思路引导】首先观察所在三角形的边长，因为该三角形三边均为厘米，所以可判定为等边三角形，利用等边三角形性质，三个角相等，可以得出的度数。 所在的三角形，因为正方形的边与等边三角形的边长度相等，所以该三角形为等腰三角形，结合正方形内角和的度数，求出该等腰三角形的顶角度数，再利用等腰三角形内角性质求的度数。 最后利用周角为，结合已求出的、，以及与相邻的角和相等的关系，计算的度数。 【规范解答】所在三角形的三边均与正方形边长相等，因此该三角形为等边三角形。 正方形的角是，所以正方形顶角剩下的角度：，这个角处在等腰三角形中，两条腰等于正方形边长，所以等腰三角形两个底角相等： ： ： 11．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70度，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 【答案】若等腰三角形的顶角为70度时，另外两个内角均为55度；若等腰三角形的底角为70度时，它的另外两个角分别是70度和40度。 【思路引导】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和是180度。题中未说明70度的角是顶角还是底角，需分两种情况讨论计算。 【规范解答】情况一：70度的角是顶角 （180－70）÷2 ＝110÷2 ＝55（度） 此时另外两个角均为55度。 情况二：70度的角是底角 180－70×2 ＝180－140 ＝40（度） 此时另外两个角分别是70度和40度。 答：若等腰三角形的顶角为70度时，另外两个内角均为55度；若等腰三角形的底角为70度时，它的另外两个角分别是70度和40度。 12．（25-26四年级下·陕西渭南·期末）在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1＝20°，∠2＝26°，∠3＝134°。 【思路引导】先用平角＝180°减去已知角160°求出∠1； 根据直角三角形两个锐角和为90°，算出右侧直角三角形的底部未标注的锐角度数；然后通过平角的度数求出∠3； 根据三角形内角和为180°，计算出∠2的度数。 【规范解答】∠1＝180°－160°＝20° 90°－44°＝46° ∠3＝180°－46°＝134° ∠2＝180°−20°−134°＝26° 答：∠1的度数是20°，∠2的度数是26°，∠3的度数是134°。 13．（25-26四年级下·陕西汉中·期末）手工课上同学们制作自己喜欢的主题风筝。小丽制作了一个钝角三角形风筝，这个风筝三个内角中一个锐角是25°，钝角是这个锐角的4倍，这个三角形风筝的其他两个角的度数分别是多少？ 【答案】100°和55° 【思路引导】先根据已知锐角的度数和钝角与该锐角的倍数关系，求出钝角的度数，再利用三角形内角和为，计算出第三个内角的度数。 【规范解答】钝角的度数： 25°×4＝100° 第三个内角的度数： 180°－100°－25° ＝80°－25° ＝55° 答：这个三角形风筝的其他两个角的度数分别是100°和55°。 14．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】 （1）360度；180×3－180＝360（度） （2）；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360°。 【思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2）画图略。 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 15．（25-26四年级下·重庆奉节·期末）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是。 (1)利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成( )个三角形，所以四边形的内角和是( )。 (2)利用分一分的方法，先在图中画一画，再计算出七边形的内角和。 【答案】(1) (2) ； 【思路引导】（1）连接四边形的一条对角线，可以将任意一个四边形分成个三角形。三角形的内角和是。（2）先从七边形一个顶点出发，将七边形分成个三角形。再计算七边形的内角和。 【规范解答】（1）根据分析可知：任意一个四边形可以分成个三角形 四边形的内角和：。 （2）图略 七边形的内角和： 答：七边形的内角和是。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull