26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数\( y = a(x - h)^2 + k \)的图象和性质，通过复习\( y = ax^2 \)、\( y = ax^2 + k \)、\( y = a(x - h)^2 \)的开口方向等性质导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于采用探究式教学，通过描点画图、归纳表格梳理性质，结合平移规律简记（上下平移常数项加减、左右平移自变量加减）和喷水池实际应用，培养学生几何直观、抽象能力与模型意识。学生能深化对函数性质及联系的理解，教师可借助清晰流程与实例提升教学效果。

第3课时 二次函数 y = a(x − h)2 + k 的图象和性质 第26章 二次函数 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 人教版 九年级（上） 1 1. 会用描点法画出 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象； 2. 掌握二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点） 3. 理解二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点） 素养目标 (1) y = ax2； 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： y y y y x x x x O O O O y y x x O O (3) y = a(x - h)2. (2) y = ax2 + k； y y y y x x x x O O O O 复习导入 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· ··· ··· -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 解：先列表： 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 探究 y =(x + 1)21 y=(x+1)21 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ ____________________________. 再描点、连线. 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 向下 直线 x = -1 (−1，−1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性： _________________________ __________________________. 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空. -2 2 x y O -2 4 6 -4 2 4 向上 直线 x = -1 (−1，-2) 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞-1时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 【归纳总结】 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，k) (h，k) 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 【练一练】 1. 二次函数 y＝−2(x + 1)2 − 4，下列说法正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 x＝1 C．图象的顶点坐标为 (1，4) D．当 x＜−1 时，y 随 x 的增大而增大 D 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点 (1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 新知探究 O 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 画一画，填出下表： -2 2 -2 -4 x y 想一想： 怎样移动可以得到 ？ 向下 向下 向下 向下 x = 0 x = 0 x = -1 x = -1 (0,0) (0,-1) (-1,0) (-1,-1) y=(x+1)21 y=x2 新知探究 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 例3 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 【归纳总结】 y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 【链接中考】 1. 将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 A 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 【想一想】 b3 ___ 0 k3 ___ 0 问题：一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： k1 ___ 0 b1 ___ 0 k4 ___ 0 b4 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ x y O y = k1x + b1 x y O y = k3x + b3 y = k4x + b4 y = k2x + b2 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＜ 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) a＞0， h＜0 a＞0， h＞0 a＜0， h＜0 a＜0， h＞0 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 【归纳总结】 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h (对称轴) 决定函数的增减性. 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少? 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系. 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 点 (1.6，3) 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 由这段抛物线经过点 (3.6，0)， 0 = a(3.6 - 1.6)2 + 3. 解得 因此 y = a(x - 1.6)2 + 3 (0≤x≤3.6). 当 x = 0 时，y = 1.08. 也就是说，水管长应为 1.08 m. a = - . 3 4 y = (x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6). 3 4 - 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 新知探究 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0)的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移:自变量左加右减 上下平移:常数项上加下减 课堂小结 1.二次函数y＝－(x－2)2－3的图象的顶点坐标是(　B　) A. (2，3) B. (2，－3) C. (－2，3) D. (－2，－3) B 当堂反馈 2. 二次函数y＝a(x＋m)2＋k的图象如图所示， 下列四个选项中，正确的是(　A　) A. m＜0，k＜0 B. m＜0，k＞0 C. m＞0，k＜0 D. m＞0，k＞0 A 3. 已知 A(4，y1)，B(－4，y2) 是抛物线 y＝(x＋3)2－2 上两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”). ＞　 当堂反馈 (1)试求a，h，k的值； 解：(1)易得平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋2， ∴a＝－，h＝1，k＝2. 4.已知抛物线y＝－x2先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x－h)2＋k. 同一坐标系中画 出平移前后草图 草图通关 平移后，顶点坐标： ⁠，a＝ ⁠. (1，2)　 －　 当堂反馈 (2)对于 y＝a(x－h)2＋k，当 x 取任意实数时，求 y 的取值范围. 解：(2)由(1)知，平移后的抛物线表达式为 y＝－(x－1)2＋2， 则抛物线的开口方向向下，顶点坐标是(1，2)， ∴当x取任意实数时，y≤2. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $