第23章 23.2 解直角三角形及其应用-课时4 坡角问题及其他问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“解直角三角形”，核心知识点涵盖坡角应用、坐标系中直线夹角的三角函数值及跨学科综合问题。通过机器人爬坡、光伏板安装等现实情境导入，以坡度计算、三角函数定义为基础，逐步过渡到复杂综合应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于融入跨学科实例，如化学实验装置、日照间距计算等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。例题解析注重思路引导，通过作辅助线、三角函数推理发展数学思维，分层练习（刷基础、刷提升）助力学生巩固。学生能提升应用意识，教师可借助丰富素材优化教学。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第23章 解直角三角形 4 23.2 解直角三角形及其应用 课时4 坡角问题及其他问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 坡角的应用 1. 如图，两段斜坡，段的坡度为 ， 段的坡度为，则_____ .若将两段斜坡建造成台 阶，且每一级台阶的高度不超过 ，则这一处斜坡最少可以建 造的台阶数为____.（参考数据：， ） 165 65 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】如图，过点作于，于 ,易得 .段的坡度为， , 段的坡度为， ， .在 中， ，， .在 中， ，， ， ，，， 这 一处斜坡最少可以建造的台阶数为65.故答案为165，65. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 思路分析 过点作，，根据坡度得出和的度数，即可求出 的度数.直接利用锐角三角函数定义分别表示出， 的长，进而得出答案． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 2.【2026安徽蚌埠质检】【研究背景】今年春晚，《秧 》的特别表演惊艳了 所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞.高精度 激光雷达、深 度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉舞台环境数据、毫米级空间 定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致.这不仅展示了机器人在 运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用. 【数据采集】如图，在测试机器人爬坡（坡角 ）能力的过程中，当机 器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角 ，大腿与小腿 的 夹角 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 【数据应用】已知机器人的小腿的长度为，大腿上点与 点的连线与水平面垂直.根据上述数据，计算大腿 的长度 （结果精确到，参考数据： ）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解】延长交于点 ， ， ，， ， 易得 是等 边三角形，， ， ， 在 中， ， ， . 答：大腿的长度约为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 知识点2 坐标系中直线与 轴的夹角的三角函数值 3.【2026安徽亳州质检】直线的向上方向与轴正方向所夹的锐角为 ， 则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 直线， 这条直线向上方向与轴正方向所夹的锐角 的正 切值为，即，所以易得 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 4.若正比例函数的图象与轴负半轴的夹角为 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】设点是正比例函数 图象上的一点， 过作轴于点 . 当直线过第二、四象限时，如图（1）所示. 正比例函数的图象与 轴负半轴的夹角为 ， .设 ，则 ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 当直线过第一、三象限时，如图（2）所示. 正比例函数的图象与 轴负半轴的夹角为 ， .设，则 ， ，， .综 上， .故选A. 思路分析 作出草图，利用三角函数的定义列出的方程，便可求得 的值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 知识点3 其他应用 5. 跨学科综合 【2026安徽芜湖校级期中】如图（1）是小红同学组装的化 学实验装置，组装要求为试管口略向下倾斜，铁夹固定在距试管口三分之一处.如 图（2）为该装置的示意图.已知试管，，试管倾斜角 为 .实验时，为了保持装置稳定，导管紧贴水槽壁，延长交 的延长线 于点（点，，，在同一条水平线上），测得 ， ，求点到铁架台支架的水平距离（即 的长度）. （参考数据：，，，结果精确到 ） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 【解】如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点 ，作 于点，则 ， ， 易得 为等腰直角三角形， ，.在 中， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 答：点到铁架台支架的水平距离约为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 （第1题图） 1.［中］国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了 农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁 塔建在了一个坡度为的山坡的平台 上（如图），测得 ，米，米，米，则铁塔 的 高度约为（参考数据：， ）( ) B A.28米 B.29.6米 C.36.6米 D.57.6米 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 【解析】如图，延长交延长线于，过作交 延长 线于， 山坡的坡度为， 设 ， 则， 由勾股定理得，， ， ， ， ， 米.故选B. 思路分析 延长交延长线于，过作交延长线于，得到 ，设 , ,解直角三角形得到结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 2. 跨学科综合 【2026安徽六安期中，中】如图，一束光线从点 出 发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与 轴正方向的夹角为 ， 且，则 的值是__. （第2题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 【解析】如图，过点作轴于点，则 ， ，， ， ， 点的坐标为， 点关于直线 对称的 点的坐标为， 点，在直线上.设直线 的表 达式为， 直线 的表达式为 点在直线上， ， ，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 3.【2025安徽芜湖校级质检，中】日照间距系数反映了房屋日照情况.如图（1）， 当前后楼房都朝向正南时，日照间距系数为，其中为楼间水平距离， 为南 侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图（2），山坡朝北， 长 为，坡度，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部 到点的距离为 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （1）求山坡的水平长度 ； 【解】在中， ，， 设 ，则， . ，，，,即山坡的水平长度为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 （2）欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台 处至地 面处的高度为，要使日照间距系数不低于，则底部距 处至少多远？ 【解】 ， ，， 日照间距系数为 . 日照间距系数不低于 ， ， . 故底部距处至少 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 刷素养 走向重高 4.核心素养 数据观念［难］如图，斜坡的坡角 ，计划在该坡面上 安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线，垂足为点，为与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 （1）求 的长（结果取整数）； 【解】在中， ， .在 中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 （2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角 ，后排光伏板 的前端在上.此时，若使后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 最 小为多少（结果取整数）？ （参考数据：，， ） 锐角 三角函数 0.22 0.47 0.53 0.97 0.88 0.85 0.23 0.53 0.62 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 【解】设交于，过点作于 ，如图所示. 在中， . 在中，，， ， . 在中， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 ， 为等腰直角三角形， ， . 当，重合时，最小， 最 小约为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 思路分析 设交于，过点作于，由锐角三角函数定义求出， 的长， 得出的长，再由锐角三角函数定义求出的长，然后证出 为等腰直角 三角形，得的长，由 ，即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 $