23.2.3 方向角问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形及其应用”中的方向角问题，通过复习直角三角形边角关系导入，衔接方向角实际情境，以A学习理解、B应用实践、C迁移创新分层题目为支架，帮助学生从基础认知逐步过渡到综合应用。 其亮点在于融入智能机器人路径、河流宽度测量等新情境及中考真题，通过情境化问题培养学生用数学眼光观察现实世界，借助逻辑推理和运算发展数学思维，以模型构建和数据应用强化数学语言。学生能提升实际问题解决能力，教师可利用分层资源实现精准教学。

《学练优》·九年级数学上·HK 第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 第3课时　方向角问题 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点　与方向角有关的实际问题 1. 如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方向角可以是 (　B　) A. 北偏西30° B. 北偏西60° C. 东偏北30° D. 东偏北60° 第1题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(　D　) A. nmile B. nmile C. 20nmile D. 10 nmile 第2题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 如图，A地与B地，B地与C地之间均有一条笔直的公路连接，B地分别在A地的南偏东42°的方向，在C地的南偏西48°的方向.若公路AB长8km，公路BC长6km，则A地到公路BC的距离是  　8　km. 8　 第3题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 【新情境·智能机器人】如图，智能快递机器人沿着A—B—C—A的路径派送快递.已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000m，则点A到点B的距离约为 　1903　m.(结果精确到1m，参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan20°≈0.36， ≈1.73) 1903　 第4题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. (2026·合肥期中)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. (1)从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？ 解：(1)由题意可知∠DAC＝50°， ∠DAB＝80°， ∠EBC＝40°. ∵DA∥BE， ∴∠DAB＋∠EBA＝180°. ∴∠EBA＝180°－80°＝100°. ∴∠ABC＝∠EBA－∠EBC＝100°－40°＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)已知A岛和B岛间的距离为50nmile，求B岛和C岛间的距离.. 解：(2)∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝ 80°－50°＝30°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝90°. 5. (2026·合肥期中)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AB＝50nmile， ∴BC＝ sin 30°×50＝ ×50＝25(nmile). 故B岛和C岛间的距离为25nmile. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200m到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为(　B　) A. 400m B. (100 ＋100)m C. (100 ＋100)m D. (100 －100)m B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西45°方向，C地在B地的北偏东60°方向，C地在A地的北偏东15°方向，A地到B地的距离是4km，那么A，C两地的距离为 　(2＋2 )　km(结果保留根号). (2＋2 )　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. (2025·连云港中考)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，DC＝ BD. (1)求岛A与港口B之间的距离； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC. ∴△BDM∽△CDA. ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∵DC＝ BD，AC＝6km， ∴ ＝ ，解得BM＝ . 在Rt△ABM中，由 sin ∠BAD＝ sin 37° ＝ ＝ ≈ ， 得AB≈4km. 答：岛A与港口B之间的距离约为4km. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)求tanC的值. (参考数据： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，tan37°≈ ) 8. (2025·连云港中考)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，DC＝ BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)在Rt△ABM中，AM＝AB× cos 37°≈4× ＝ ， ∵△BDM∽△CDA， ∴ ＝ ＝ . ∴AD＝ AM＝ × ＝ (km). 在Rt△ADC中，tanC＝ ＝ ＝ . 解：(2)在Rt△ABM中，AM＝AB× cos 37°≈4× ＝ ， ∵△BDM∽△CDA， ∴ ＝ ＝ . ∴AD＝ AM＝ × ＝ (km). 在Rt△ADC中，tanC＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【新考向·综合与实践】为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表： 2 3 4 5 6 7 8 9 1 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向 测量数据 BC＝59m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37° BD＝20m，∠ABH＝74°， ∠BCD＝37° BC＝92m，∠ABH＝74°， ∠ACH＝37° 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)哪个小组的数据无法计算出河宽？ 解：(1)第二个小组的数据无法计算出河宽. 解：(1)第二个小组的数据无法计算出河宽. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽；(精确到0.1m，参考数据： sin 74°≈0.96， cos 74°≈0.28，tan74°≈3.49， sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)第一个小组的方案：∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°， ∴∠BHC＝∠BCH＝37°. ∴BC＝BH＝59m. ∴AH＝BH· sin 74°≈59×0.96≈56.6(m). 即河宽为56.6m. 解：(2)第一个小组的方案：∵∠ABH＝∠ACH＋ ∠BHC，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°， ∴∠BHC＝∠BCH＝37°. ∴BC＝BH＝59m. ∴AH＝BH· sin 74°≈59×0.96≈56.6(m). 即河宽为56.6m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 第三个小组的方案：设AH＝xm，则CA＝ ，AB＝ . ∵CA＋AB＝CB， ∴ ＋ ＝92， 解得x≈56.8.即河宽约为56.8m. 第三个小组的方案：设AH＝xm，则CA＝ ，AB＝ . ∵CA＋AB＝CB， ∴ ＋ ＝92， 解得x≈56.8.即河宽约为56.8m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (3)计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议. 解：(3)减小误差的合理化建议为：通过多次测量取平均值. 解：(3)减小误差的合理化建议为：通过多次测量取 平均值. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $