第23章　解直角三角形【章末复习】（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值、解法及仰俯角等四大实际应用，通过“定义→性质→解法→应用”的脉络搭建学习支架，帮助学生从基础概念过渡到综合应用。 其亮点在于以数学眼光构建实际问题模型（如仰俯角用双Rt△设元），用数学思维渗透方程与转化思想（如例5滑梯问题列方程求解），通过口诀“正对斜余邻”和易错清单强化记忆，助力学生系统掌握知识提升解题能力，也为教师提供清晰教学框架与实用资源。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章　解直角三角形 章末复习 2026年8月6日 第23章 解直角三角形 章末总复习（完整版考点汇总） 本章知识体系：锐角三角函数 → 特殊角函数值 → 解直角三角形 → 四大实际应用（仰俯角、方位角、坡角、函数斜率） 一、锐角三角函数核心定义（必考根基） 在 Rt△ 中，对任意锐角 $$\alpha$$： $$\sin\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos\alpha=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$ 核心铁律： 1. sin、cos 永远小于1、大于0；tan 大于0 2. 函数值只与角度大小有关，与边长无关 3. 正切不含斜边，正弦、余弦必含斜边 1. 增减性（判断大小、估值必用） 锐角范围内：sin、tan 递增；cos 递减 角度越大：sin↑、tan↑、cos↓ 2. 同角、互余恒等关系（计算神器） 同角平方和：$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ 商数关系：$$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ 互余关系（$$\alpha+\beta=90^\circ$$）： $$\sin\alpha=\cos\beta,\ \cos\alpha=\sin\beta,\ \tan\alpha\cdot\tan\beta=1$$ 二、特殊角三角函数值（必须零失误默写） 角度 sin cos tan 30° $$\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ 45° $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$1$$ 60° $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\dfrac{1}{2}$$ $$\sqrt{3}$$ 背诵口诀：正弦一二三，余弦三二一，正切三一、一、根号三 三、一般锐角三角函数值考点 1. 计算器必须调为 DEG 角度模式 2. 已知角度 → 求小数函数值 3. 已知函数值 → 用反三角函数求角度 4. 可利用增减性比较大小、锁定角度范围 四、解直角三角形（本章核心） 1. 定义 已知直角三角形中2个独立元素（至少1条边），求出所有未知边角的过程。 ⚠️ 只有角度、无边长，无法求边长（三角形不唯一） 2. 三大解题依据 角度关系：两锐角互余 $$\angle A+\angle B=90^\circ$$ 边长关系：勾股定理 $$a^2+b^2=c^2$$ 边角关系：sin、cos、tan 三角函数 3. 两类基础题型解法 ① 已知两边：勾股求第三边 → 三角函数求角 → 互余求另一角 ② 已知一边一角：互余先求角 → 三角函数求边 → 勾股补全 4. 最优公式选择原则 求斜边 → 优先 sin、cos 求直角边 → 优先 tan（减少根式运算） 五、解直角三角形四大实际应用（中考大题必考） 1. 仰角、俯角问题 定义：以水平线为基准，视线与水平线的夹角 仰角：抬头向上；俯角：低头向下 核心模型：单Rt△直接算、双Rt△共高设 $$x$$ 解方程 ⚠️ 千万记得：题目有仪器高度，最后必须累加 2. 方位角问题 规则：先南北、后东西（北偏东/西、南偏东/西） 角度是与南北轴线的夹角 解题核心：十字垂直、平行线转换内错角、构造Rt△ 高频考法：触礁安全判断（求点到航线垂线段距离对比半径） 3. 坡角、坡度问题 坡角 $$\alpha$$：坡面与水平面夹角 坡度（坡比）$$i=\dfrac{\text{垂直高}h}{\text{水平宽}l}=\tan\alpha$$ 易错：坡度是比值、不是角度；坡度越大坡面越陡 改造斜坡隐藏条件：垂直高度始终不变 4. 一次函数 k 的几何意义（三角+函数综合） 直线 $$y=kx+b$$ 与x轴正方向夹角 $$\alpha$$ $$k=\tan\alpha$$，原理等同于坡度 $$k>0$$上坡、$$k&lt;0$$下坡；$$|k|$$越大直线越陡 特殊对应：$$k=\pm1\Rightarrow45^\circ，k=\pm\sqrt3\Rightarrow60^\circ，k=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}\Rightarrow30^\circ$$ 六、本章必考几何结论（直接秒杀） 1. 30°直角三角形 三边比：$$1:\sqrt3:2$$，30°对边 = 斜边一半 2. 45°等腰直角三角形 三边比：$$1:1:\sqrt2$$ 七、本章终极易错清单（考试扣分点全汇总） 1. sin、cos、tan 公式混淆，对边邻边看反 2. 30°与60°特殊角函数值颠倒 3. 余弦增减性记反（角度大、值变小） 4. 仰俯角、方位角找错基准线，角度转换错误 5. 坡度记反（宽比高）、把坡度当成角度 6. 双三角形应用题不会设未知数解方程 7. 计算器未调DEG模式，计算全部错误 8. 函数k值当成倾斜角，忘记k=tanα 八、本章满分解题通用步骤 1. 画图建模：把实际问题转化为直角三角形 2. 转换角度：方位角、坡角、仰俯角转为Rt△内角 3. 判断条件：确定用勾股还是三角函数 4. 设元求解：复杂双三角模型必用方程思想 5. 验算作答：核对边长、角度、实际意义 九、整章浓缩口诀（考前速记） 正对斜余邻，切比对邻边。 正增余递减，特殊值记全。 知二求三解三角，勾股互余函数连。 仰俯水平为基准，方位南北定偏角。 坡度高比水平宽，k同正切线陡缓。 建模转化通全题，直角三角稳夺冠。 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∠A的余弦cos A＝，∠A的正切tan A＝. 2. 特殊角的三角函数值 α 三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 3. 直角三角形的边角关系(a，b 为直角边，c 为斜边) (1)锐角之间的关系：∠A=90°- ∠B，∠B=90°- ∠A； (2)三边之间的关系：a= ，b= ，c= ； (3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B. 4.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 (1) 审题，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题. (2) 认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形. (3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形. (4) 按照题目中的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位. 专题 锐角三角函数 1 链接中考>>锐角三角函数的有关计算，主要就是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质.这类题目一般属于中档题，多以填空题或选择题形式考查. [中考·内江]如图23－1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝______. 例 1 解题秘方：根据折叠的性质和勾股定理求出CF和CE的长，再由正切的定义求解. 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°. ∵矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE. ∴在Rt△ABF中，BF＝＝4. ∴CF＝BC－BF＝5－4＝1. 设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝3－x. ∵在Rt△ECF中，CE2＋FC2＝EF2， ∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝，∴CE＝. ∴tan∠EFC＝＝. 专题 特殊角的三角函数值 2 链接中考>>一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零次幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查. 例 2 [中考·巴中] 计算： -2 cos 30°+(π+1)0． 解：原式＝2－2×＋1 ＝2－＋1 ＝ ＋1. 专题 解直角三角形 3 链接中考>>解直角三角形主要就是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角.解决这类问题，关键是要结合图形的特征，灵活运用锐角三角函数的定义.一般都是以解答题形式考查. [中考·北京]如图23－2，在△ABC中，D，E分别为 AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． 例 3 (1)求证：四边形DFCG是矩形； 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥CF，即DG∥CF. ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC，∴平行四边形DFCG是矩形. (2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC 的长. 解题秘方：解第(2)问的关键是过点A作BC边的垂线，即“化斜为直”，解直角三角形. 解：∵DG＝5，∴CF＝DG＝5. ∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°. 在Rt△BDF中，∠B＝45°，DF＝3， ∴BD＝＝＝3，BF＝＝＝3. ∴BC＝BF＋CF＝8. ∵点D为AB的中点，∴AB＝2BD＝6. 如图23－2，过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，AH＝AB·sin B＝6·sin 45°＝ 6，BH＝AB·cos B＝6·cos 45°＝6， ∴CH＝BC－BH＝2. 在Rt△AHC中，由勾股定理，得AC＝ ＝＝2. 专题 解直角三角形的应用 4 链接中考>>利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，常考查测量高度问题，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，利用直角三角形的知识解决问题.一般都是以解答题的形式考查. [中考·陕西]小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°， 例 4 又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE＝1.7 m，点A，B，C在同 一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直. 求信号杆的高AB.(参考数据：sin 72.5°≈ 0.95，cos 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17) 解：如图23-3，过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H. ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC,∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， 在Rt△DBH中，BD＝22m， ∠DBH＝72.5° ， 则HD＝BD×sin 72.5°≈22×0.95＝20.9(m)， BH＝BD×cos 72.5°≈22×0.30＝6.6(m)， 易知四边形EDHI是矩形, ∴HI＝DE＝1.7m, EI＝HD≈20.9m. ∵EI ⊥AC,∴∠AIE＝90°， 又∵∠AEI＝45°， ∴∠EAI＝45°＝∠AEI. ∴AB＝AI＋IH－BH≈20.9＋1.7－6.6＝16(m). 答：信号杆的高AB约为16 m. 专题 方程思想 5 专题解读>> 在处理有关直角三角形的问题及利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，可依据题意设适当的未知数，再从题目的条件和要求中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解. 例 5 如图23-4 所示的是儿童乐园为小朋友们设计的滑梯的平面图.已知BC=4 m，AB=6 m，中间平台宽度DE= 1 m，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB=31°，DF⊥BC于点F，∠CDF=45°. 求DM和BC之间的水平距离BM的长度(结果精确到0.1 m，参考数据： sin 31 ° ≈ 0.52，cos 31°≈ 0.86， tan 31°≈ 0.60) 解：易得四边形ENMD，四边形DMBF， 四边形ENBF 是矩形，∴ EN=BF，DF=BM， MN=DE=1 m. 设BM=x m. ∵DF⊥BC，∴∠CFD=90°， 又∵∠CDF=45°，∴∠DCF=45°=∠CDF， ∴CF=DF=BM=x m. ∴EN=BF=BC-CF=(4-x)m. ∵AB=6 m，BM=x m，MN=1 m， ∴AN=AB-MN-BM=(5-x)m. 在Rt △AEN中，∠ANE=90°， ∠EAN=31°，∴EN=AN·tan 31°， 即4-x=(5-x)×tan 31°，∴ x ≈ 2.5. 答：DM和BC之间的水平距离BM的长度约为2.5 m. 专题 转化思想 6 专题解读>>在求三角函数值或解直角三角形时，经常会遇到不能直接求的情况，这时就需要进行适当的转化，本章涉及的转化思想有：利用等角转换求锐角三角函数值，添加辅助线构造直角三角形将一般三角形、四边形问题转化为解直角三角形的问题等． [中考·淄博]如图23－5，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q.若∠FQP＝45°，则EF的长为______． 例 6 解题秘方：过点A作EF的平行线，得到AG＝EF， 构造直角三角形，利用勾股定理求解. 2 解：如图23－5，过点A作AG∥EF交BC 于点G，过点A作AK⊥AP交CB的延长线 于点K， 过点G作GH⊥AK于点H，则 ∠KAP＝∠KHG＝90°，∠GAP＝∠PQF＝45°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABG＝∠BAD＝∠ADP＝90°， CD＝AB＝4，AD＝BC＝6. ∵AG∥EF，∴四边形AGFE为平行四边形.∴EF＝AG. ∵点P是CD的中点，∴DP＝2. ∵∠KAP＝∠BAD＝90°，∴∠KAB＝∠PAD. ∴易得∠AKB＝∠APD.∴tan∠AKB＝tan∠APD， 即＝＝＝＝3. ∴BK＝，HK＝GH. ∴AK＝＝. ∵∠KAP＝90°，∠GAP＝45°， ∴∠HAG＝45°.∴易得AH＝HG. ∴AK＝AH＋HK＝HG＋HK＝HG＝. ∴AH＝HG＝. ∴EF＝AG＝＝2. 1.如图，校园内有块三角形土地ABC，测得∠ABC=145°，∠C=30°，BC=80米.学校准备向边AB的外围拓展得到三角形土地ABD，要求点D，B，C在同一条直线上，且∠D=60°，求AD的长度．(参考数据：sin 35 ° ≈0.6，cos 35°≈ 0.8，tan 35°≈ 0.7， ≈ 1.7) 类型 利用“化斜为直法”构造直角三角形求线段长度 1 解：∵∠C＝30°，∠D＝60°， ∴∠CAD＝90°，∴CD＝2AD. 过点A作AE⊥BD于点E，则∠AED=∠AEB=90°. ∴∠DAE＝30°.∴AD＝2DE，AE＝3DE. ∴CD＝4DE. ∴BE＝CD－BC－DE＝4DE－80－DE＝3DE－80. ∵∠ABC＝145°，∴∠ABE＝35°. 在Rt△AEB中，∵AE＝BE·tan∠ABE， ∴3DE＝(3DE－80)×tan 35°. ∴3DE≈(3DE－80)×0.7. ∴DE≈140米.∴AD＝2DE≈280米. 答：AD的长度约为280米. 2. [一模·蚌埠高新区]如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从A-BC-D-A的四边形循环健身步道．经测量知∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB长40 m，步道CD长20 m. (A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计. 结果保留整数， 参考数据： ≈ 1.7， ≈ 2.4) 类型 利用“割补法”构造直角三角形求面积 2 (1)求步道BC的长； 解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C分别作CF⊥AD于点F，CG⊥BE于点G， 则∠1=∠2=∠3=90°. 在Rt△ABE中，∠1=90°，∠A=60°，∴∠4=30°， sin A=sin 60°=BEAB=. ∴BE=AB=20m. 在Rt△CDF中，∠2=90°，∠D=60°， ∴sin D=sin 60°==. ∴CF=CD=10 m. 易得四边形CGEF是矩形，∴GE=CF=10 m. ∴BG=BE－GE=10 m. 在Rt△CBG中，∠3=90°，∠5=∠ABC－∠4=45°， ∴cos ∠5=cos 45°==，∴BC===10 ≈24 m. 答：步道BC的长约为24 m. (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18 万元，计算此次改建费用是否足够？ 解：在Rt△ABE中，∠1=90°，∠A=60°， ∴cos A=cos 60°==. ∴AE=AB=20 m. 在Rt△CDF中，∠2=90°，∠D=60°， ∴cos D=cos 60°= =. ∴DF=CD=10 m. 在Rt△CBG中，∠3=90°，∠5=45°， ∴tan ∠5=tan 45°= =1，∴CG=BG=10 m. ∴S四边形ABCD=S△ABE+S△BGC+S矩形CGEF+S△CDF= BE·AE+BG·CG+CG·CF+CF·FD=×20 ×20+×10 ×10 +10 ×10 +×10 ×10≈875(m2). ∴总共约花费200×875=175 000(元)， ∵180 000元>175 000元，∴此次改建费用足够. 3. [中考·青岛]学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19 m高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学 类型 利用建模思想建立直角三角形模型解实际应用问题 3 楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15 m到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． (参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈ ，tan 22°≈ ，sin 42°≈ ，cos 42°≈ ，tan 42°≈ ) 解：如图，过点E作EF⊥AB于点F， 由题易得，∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15 m，AB=19 m，四边形FBDE是矩形. ∴FB=DE，EF=BD. 在Rt△AFE中，∵tan∠2=， ∴≈25，∴设AF=2x m，则EF≈5x m， 46 ∴CD=BD－BC=EF－BC≈(5x－15) m， BF=ED=AB－AF=(19－2x) m， 在Rt△ECD中，∵tan∠3=， ∴≈，解得x≈5. ∴DE≈19－2×5=9(m). 答：博学楼DE的高度约为9 m. 47 4.[中考·长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m. (1)求∠ACB的度数； 解：如图， 由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°， BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°， ∠ ACM＝∠CAF＝ 30°. ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM ＝60° － 30°＝30°. (2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号). 解：∵∠ CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由(1)得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB.∴AC＝AB＝800m. 在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，cos∠ACM＝ ， ∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝ 800×＝400(m)， CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝800×＝400(m). ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200(m). ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴易得DM＝BM＝1 200(m). ∴DC＝DM－CM＝(1 200－400)m. 答：景点C与景点D之间的距离为 (1 200－400)m. 5. 情境题 交通安全交通安全心系千万家. 高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7 m，测速仪C和E之间的距离CE=750 m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C 处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38 s(图中所有点都在同一平面内)． (1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1 m)； 解：由题意得CD∥EF，CD=EF， ∴四边形CDFE是平行四边形. ∵EF⊥AF，∴∠BFE=90°. ∴平行四边形CDFE是矩形.∴DF=CE=750 m. ∵CD⊥AD，∴∠CDA=90°. 易得∠CAD=25°，∠EBF=60°. 在Rt△ACD中， tan∠CAD=，∴AD= ≈=14(m). 在Rt△BEF中，tan∠EBF=， ∴BF===(m).∴AB=AF－BF=AD+DF－BF≈ 14+750－≈760(m). 答：A，B两点之间的距离约为760 m. (2) 若该隧道限速为22 m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由(. 参考数据： ≈1.7，sin 25°≈0.4，cos 25°≈0.9，tan 25°≈0.5，sin 65°≈0.9，cos 65°≈ 0.4) 解：小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由： ∵ =20(m/s)，20 m/s<22 m/s， ∴小汽车从点A行驶到点B没有超速. 6.[母题 教材P140 习题T5 ]如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20 m. 汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度(. 结果精确到1 m，参考数据： ≈1.414， ≈ 1.732) 解：在Rt△ABE中，∠BEA=90°，∠BAE=45°， ∴∠ABE=45°=∠BAE.∴AE=BE=20 m. 在Rt△BEF中， tan F=tan 30°=，∴EF= ==20(m). ∴AF=EF－AE=20 －20≈20×1.732－20≈15(m). 答：AF的长度约是15 m. 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $