精品解析：四川达州市大竹县高穴中学2026-2027学年九年级上学期开学学期自测数学试题

四川省达州市大竹县高穴中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 若，则 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 14 C. D. 6. 已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，的大小关系与的取值有关 7. 如图，已知为平行四边形的边的中点，交于点，，则图中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，分别交于点．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知一个多边形的边数为，它的内角和与外角和的度数之比为，则____________． 10. 分解因式：________． 11. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 13. 如图，在中，为锐角，作点B关于直线的对称点，连接和．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求解答下列各题： （1）解不等式组： （2）解分式方程：． 15. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 16. 已知平行四边形中，对角线相交于点． （1）如图1，若，求的长： （2）如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 17. 恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍． （1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？ （2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？ 18. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 20. 若关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是______． 21. 如图，射线互相垂直，，在线段的垂直平分线上取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离____________． 22. 在腰长为2的等腰直角三角形中，，P为腰上的一个动点，将沿折叠得到，当与的某一条边垂直时，的长为___________ 23. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 25. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． （1）用含的代数式表示． （2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长． （3）如图2，延长交于点F，若，求的长． 26. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县高穴中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都是中心对称图形， 故选：A． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 如图， 故选C． 3. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（    ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 若，则 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 5. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 利用线段垂直平分线的性质证明，根据等腰三角形的性质即可证明，根据含角的直角三角形的性质推出，再利用勾股定理求出的长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故选：D． 6. 已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 7. 如图，已知为平行四边形的边的中点，交于点，，则图中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，分别交、于、，再设，，，根据平行四边形的性质，结合是中点，可得，再利用，根据平行线分线段成比例定理的推论可知，根据比例线段易得，根据三角形面积公式以及平行四边形的面积公式易求以及，进而可求它们的比值． 【详解】解：如图，过作，分别交、于、， 设，，， 是中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理有， ， ． 8. 如图，在中，平分，分别交于点．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、勾股定理以及含度角的直角三角形等知识点，作，可证得，根据可求出，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∵ ∴ 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知一个多边形的边数为，它的内角和与外角和的度数之比为，则____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和是是解题关键．根据多边形的内角和公式和外角和等于，列出方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：， 故这个多边形的边数为11． 故答案为：11． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键． 【详解】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 13. 如图，在中，为锐角，作点B关于直线的对称点，连接和．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接交于点，由点与点关于对称，可知垂直平分，可求，，由平行四边形的性质得，，根据三角形的中位线定理得，则，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：延长交于点，连接交于点， 点与点关于对称， 垂直平分， ∵， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求解答下列各题： （1）解不等式组： （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：将代入得：， 则原分式方程的解为：． 15. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 16. 已知平行四边形中，对角线相交于点． （1）如图1，若，求的长： （2）如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ∴， ∴， ． 又， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）先证明，，再证明，即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ，即， ． ， ∴， 或（舍去）． 【小问2详解】 略 17. 恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍． （1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？ （2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元 （2）每件“龙年装饰画”的标价至少是60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找出等量关系，正确列出分式方程；（2）找出不等量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，利用第二次采购数量是第一次采购的4倍，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，利用总利润不低于6400元，列出关于y的一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元； 【小问2详解】 该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件）， 该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）． 设每件“龙年装饰画”的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为60． 答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元． 18. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 20. 若关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键． 先求出分式方程的解，再根据解是负数得出取值范围，然后根据增根的定义进行解答即可． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得， 解得， 由于分式方程的解为负数， 所以， 即， 又因为分式方程的增根， 所以， 即， 综上所述， 故答案为： 21. 如图，射线互相垂直，，在线段的垂直平分线上取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作，垂足分别为，根据旋转的性质得到，进而得到，中垂线的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而得到的长，再根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，作，设与交于点， ∵旋转， ∴， ∴，， ∵在线段的垂直平分线上取一点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵射线互相垂直，， ∴， ∴点到射线的距离； 故答案为： 【点睛】本题考查旋转的性质，中垂线的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等积法求线段的长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 22. 在腰长为2的等腰直角三角形中，，P为腰上的一个动点，将沿折叠得到，当与的某一条边垂直时，的长为___________ 【答案】或2 【解析】 【分析】分和两种情况，画出图形，分别进行求解即可． 【详解】解：当时，则如图1所示， ∵等腰中，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当时，如图2所示， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， 此时为等腰直角三角形， ∴． 综上，的长为或2． 23. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中位线的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 25. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． （1）用含的代数式表示． （2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长． （3）如图2，延长交于点F，若，求的长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出； （2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可； （3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴， 又， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 26. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：． 证明： 如图， 延长至点， 使得 ， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得； （）如图， 延长至点， 使得 ， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得 ， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得 ， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为． 第1页/共1页 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