25.2.3 因式分解法-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，核心涵盖原理（若ab=0则a=0或b=0）、方法（提公因式、公式法、十字相乘）及步骤（移项、分解、转化、求解）。课堂导入通过竖直上抛物体落回地面的物理情境列出方程，回顾配方法、公式法后引出因式分解法，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是分层设计练习题（基础巩固、能力提升、拓展培优）并结合易错点口诀总结，培养学生运算能力与推理意识。以物理情境让学生用数学眼光观察现实问题，探究环节引导经历“降次”转化过程发展数学思维，课堂小结规范步骤助学生用数学语言表达。学生能提升解题技能与思维，教师可直接用于分层教学提高效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.2.3因式分解法专项练习 一、核心知识点梳理 因式分解法是解一元二次方程最快捷、最高效的特殊解法，适用于可因式分解的一元二次方程，解题核心思想是降次转化，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的实数性质，将二次方程拆解为两个一元一次方程求解，相比公式法、配方法计算量更小，是中考优先选用的简便解法。 1. 核心原理：若$$ab=0$$，则$$a=0$$或$$b=0$$。解一元二次方程时，先将方程整理为一边为0，另一边可因式分解的形式，再拆分求解。 2. 常用因式分解方法：一是提公因式法，适用于各项含有相同公因式的方程；二是公式法，包含平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$和完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，适配特殊结构的方程；简单十字相乘法也是解题常用方法。 3. 标准解题步骤：第一步，移项，将方程所有项移至左侧，使等式右侧为0；第二步，因式分解，将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；第三步，转化方程，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；第四步，求解两个一次方程，得出原一元二次方程的根。 4. 方法适用场景：优先用于常数项为0、含公因式、符合乘法公式、整数根的一元二次方程，无需求复杂计算，是特殊方程的最优解法。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 用因式分解法解方程：$$x^2-4x=0$$ 2. 用因式分解法解方程：$$x(x-2)=0$$ 3. 用因式分解法解方程：$$x^2-9=0$$ 4. 用因式分解法解方程：$$x^2+2x=0$$ （二）能力提升题（共4题） 1. 用因式分解法解方程：$$x^2-5x+6=0$$ 2. 用因式分解法解方程：$$(x+3)(x-1)=2x+6$$ 3. 用因式分解法解方程：$$x^2-6x+9=0$$ 4. 用因式分解法解方程：$$2x^2-8x+8=0$$ （三）拓展培优题（共2题） 1. 用因式分解法解方程：$$(2x-1)^2-(x+2)^2=0$$ 2. 已知一元二次方程$$x^2+(m-2)x-2m=0$$的一个根为$$2$$，用因式分解法求方程的另一个根及$$m$$的值。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：提公因式得$$x(x-4)=0$$，根据乘积为0的性质，得$$x=0$$或$$x-4=0$$，解得$$x_1=0$$，$$x_2=4$$。 2. 解析：方程已为因式乘积形式，直接拆分得$$x=0$$或$$x-2=0$$，解得$$x_1=0$$，$$x_2=2$$。 3. 解析：利用平方差公式因式分解，得$$(x+3)(x-3)=0$$，拆分求解得$$x_1=-3$$，$$x_2=3$$。 4. 解析：提公因式得$$x(x+2)=0$$，拆分得$$x=0$$或$$x+2=0$$，解得$$x_1=0$$，$$x_2=-2$$。 （二）能力提升解析 1. 解析：十字相乘因式分解得$$(x-2)(x-3)=0$$，令各因式为0，解得$$x_1=2$$，$$x_2=3$$。 2. 解析：移项整理得$$(x+3)(x-1)-2(x+3)=0$$，提公因式$$(x+3)$$，得$$(x+3)(x-3)=0$$，解得$$x_1=-3$$，$$x_2=3$$。 3. 解析：由完全平方公式分解得$$(x-3)^2=0$$，即$$x-3=0$$，方程有两个相等实数根$$x_1=x_2=3$$。 4. 解析：先提取公因式2，得$$2(x^2-4x+4)=0$$，配方分解为$$2(x-2)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=2$$。 （三）拓展培优解析 1. 解析：利用平方差公式分解，原式化为$$(2x-1+x+2)(2x-1-x-2)=0$$，整理得$$(3x+1)(x-3)=0$$，拆分求解得$$x_1=-\frac{1}{3}$$，$$x_2=3$$。 2. 解析：对原方程因式分解得$$(x+m)(x-2)=0$$，可得方程两根为$$x=-m$$和$$x=2$$，结合已知根，可知另一个根为$$-m$$。将任意根代入即可验证，结合方程结构可得$$m$$可取任意适配值，核心掌握因式分解逆向应用方法。本题结合方程根的性质考查因式分解，综合性较强，是常见拔高题型。 四、易错点总结 1. 解题前未移项整理，等式右侧不为0就盲目因式分解，破坏方程等价性，导致解题错误；2. 遗漏重根情况，完全平方式分解后得到相等根，误写为单个根；3. 提公因式不彻底、公式套用错误，混淆平方差与完全平方公式结构；4. 忽略“或”的逻辑关系，误将两个因式的解合并出错；5. 含系数的方程未先化简，因式分解过程繁琐易计算失误。解题核心口诀：先移零、再分解、拆因式、分别解，严格遵循步骤可规避大部分错误。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过阅读课本，学生会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程，提高了学生的运算能力． 通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的转化思想． 学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提高了学生解决问题的能力. 新课导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经 过x s离地面的高度（单位：m）为： 10x-4.9x2. 问题：设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 情境导入 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度（单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m, 即 10x-5x2=0. 思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？有没有更简便的解法呢？ 探究新知 10x-5x2=0. 将方程的左边分解因式，得 x(10-5x)=0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 所以 x=0，或10-5x=0. 因此，方程10x-5x2=0的两个根是x1=0，x2=2. 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 探究新知 思考： 解方程10x－5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 探究新知 解下列方程： (1) x(x−2)+x−2=0； (2) 5x2−2x−​=x2−2x+. 例1 解：(1)左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . (2) 移项、合并同类项，得 ， 左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . 探究新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.由方程 可以得到的方程是( ) A A.或 B. C. D. 返回 举一反三 8 2.方程 的根是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 9 3.一元二次方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 10 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 探究新知 用因式分解法解下列方程： (1) 2x2 - 3x = 0； (2) 5x(x-3) = x-3； 跟踪训练 解：(1) 因式分解，得 x(2x-3) = 0. 于是 x = 0, 或 2x-3 = 0, 所以 x1=0，x2=. (2) 移项，得 5x(x-3) - (x-3) = 0. 因式分解，得 (x-3)(5x-1) = 0. 于是 x-3 = 0, 或 5x-1 = 0, 所以 x1=3，x2=. 约去含未知数的因式导致漏解 在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值. 探究新知 用因式分解法解下列方程： (3) (3x+2)(2x+1) = -8x-4； (4) (2x-1)2 - 9 = 0. 跟踪训练 (3)移项，得 (3x+2)(2x+1) + 4(2x+1) = 0. 因式分解，得(2x+1)(3x+2+4) = 0, 即(2x+1)(3x+6) = 0， 于是 2x+1 = 0, 或 3x+6 = 0， 所以 x1=﹣，x2=-2. (4) 因式分解，得 [(2x-1)+3][(2x-1)-3] = 0. 即(2x+2)(2x-4) = 0. 于是 2x+2 = 0, 或 2x-4 = 0. 所以x1=-1，x2=2. 探究新知 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 探究新知 4.用因式分解法解一元二次方程 时，要转化成两个 一元一次方程求解，其中的一个方程是 ，则另一个方程 是_______________. 返回 举一反三 15 5.［教材P 14练习T 1 变式］用因式分解法解下列方程： （1） ; 解：因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . 举一反三 16 （2） ； 解：因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . （3） ; 解：整理得 . 因式分解，得 ， 解得 . 举一反三 17 （4） ； 解：因式分解，得，于是 或 ， 解得， . 举一反三 18 （5） ； 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . 举一反三 19 （6） . 解：移项，得 . 因式分解，得 ，即 ， 于是或 ， 解得， . 返回 举一反三 20 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 6.在下列各题的横线上填写适当的解法. （1）解方程 ，用____________法较适宜； （2）解方程 ，用______法较适宜； （3）解方程 ，用______法较适宜； （4）解方程 ，用__________法较适宜. 直接开平方 公式 配方 因式分解 返回 举一反三 21 7.用适当的方法解下列方程： （1） ; 解：整理，得 ， 直接开平方，得 , 解得, . 举一反三 22 （2） ; 解：移项，得 . 配方，得 ， 即 . 直接开平方，得 ， 解得， . 举一反三 23 （3） ; 解：因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . 举一反三 24 （4） . 解：，， ， ， , 即， . 返回 举一反三 25 因式分解法解一元二次方程 解法步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 先对方程ax²+bx+c=0（a≠0）的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS $