25.2.2 公式法课件2026-2027学年人教版数学九年级上学期

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，通过复习配方法解方程导入，引导学生从具体方程到一般形式推导求根公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，推导判别式及公式过程培养抽象能力和推理意识，例题与变式训练结合，规范四步解题法强化运算能力，助力学生系统掌握知识，教师教学更高效。

第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 重点：一元二次方程求根公式 难点：用判别式判断一元二次方程的根的情况 复习导入 用配方法解下列方程： 解：移项，得 x2－2x=3, 配方，得 x2－2x+12=3+12 , (x－1)2=4 由此可得 即 x－1=±2 x² - 2x - 3 = 0 探究新知 知识点1 判别式 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？ 系数化为1，得 解: 移项，得 配方，得 即 接下来能用直接开平方解吗？ ① 探究新知 知识点1 判别式 ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） （1）b2-4ac＞0时， 这时 ，由①得 ① 方程有两个不等的实数根 探究新知 知识点1 判别式 ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） ① （2）b2-4ac=0时， 这时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根 探究新知 知识点1 判别式 ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） ① （3）b2-4ac＜0时， 这时 ，由①可知 ，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 探究新知 知识点1 判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 针对训练 1.按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 典例解析 题型1 判别式 例1 已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则m的值为(　　) A . 　 　B . 　 　 C . 　 　D . C 典例解析 题型1 判别式 例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？ 解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根． 针对训练 2.若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B [变式]若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 A 针对训练 3.(1)关于x的一元二次方程x²+(m-2)x-3=0的根的情况为(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 (2)已知关于x的一元二次方程ax²+2x+2-c=0(a≠0)有两个相等的实数根，则 +c的值等于____. A 2 探究新知 知识点2 公式法 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 针对训练 4.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　) A．3、1、4 B．3、－1、－4 C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 5.一元二次方程 中，b2－4ac的值应是(　　) A．64 B．－64 C．32 D．－32 B A 典例解析 题型2 公式法 例3 用公式法解方程： x2 − 4x − 7 = 0 a＝1，b＝－4，c＝－7. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根 解： 即 1.确定系数； 2.计算Δ ； 3.代入 ； 4.定根 ； 提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数 针对训练 6.用公式法解下列方程： (1) 2x2 − x + 1 = 0； (2) 5x2－3x = x + 1； (3) x2 + 17 = 8x. 解： (1) a＝2，b＝ ，c＝1. Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 (2)方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根 即 解： (3)方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根． 解： 典例解析 题型3 公式法 例4.已知关于x的一元二次方程 ． 求证：方程一定有两个实数根． 证明：方程 ， 其中a=k，b=k+3，c=3， ∴Δ=b2-4ac =(k+3)2-4×3k =k2-6k+9 =(k-3)2， ∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根， 即方程一定有两个实数根． 针对训练 7.已知关于x一元二次方程 ． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 证明：由 可知a=1，b=k+1，c=k-2， ∴ ∵(k-1)2≥0 ∴(k-1)2+8＞0 ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根． 典例解析 题型3 公式法 例5. 已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0． （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一 腰 长为6，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 边 解：（1） ， 判别式 ， 所以，无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）将x=6代入方程，得 ，解得m=7， 即方程为x2-8x+12=0，解得x1=2，x2=6 ， 此时周长为6+6+2=14. 归纳总结 (1) 把一元二次方程化为一般形式． (2) 确定a，b，c的值． (3) 计算b2－4ac的值． (4) 当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式， 求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程 无实数根． 用公式法解一元二次方程的“四个步骤”： 作业布置 课堂作业:P17习题25.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $