25.2.1 配方法 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过复习直接开平方法导入，以“怎样变成(x+n)²=p形式”等问题链搭建学习支架，衔接降次思想，引导学生从已知方法过渡到新知识。 其亮点在于以问题驱动（如“为什么加一次项系数一半的平方”）培养推理意识，通过填空练习（如x²+4x+__=(x+__)²）发展抽象能力，归纳总结用表格和步骤梳理形成模型意识。例题分层设计，帮助学生理解本质，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.2.1.2 配方法 22051 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0)的形式. 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 复习导入 22051 怎样解方程 x2+6x+4=0？ 问题1：怎样把方程变成 (x+n)2=p 的形式呢？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 问题2：为什么在方程 x2+6x= – 4 的两边加9？加其他数行吗？ 不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 22051 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 22051 解：方程变形为(x+3)2=5， 试一试 解方程： x2+6x+9 =5. 开平方，得 解得 将方程左边因式分解，配成完全平方式 用开平方法解方程 如何配方呢？ 探究点：用配方法解方程 22051 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2 − 6x+ = ( x − )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2 − x+ = ( x − )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 探究点：用配方法解方程 22051 怎样解方程 x2+6x+4=0？ x2+6x+4=0 x2+6x= – 4 移项 x2+6x+9= – 4+9 两边都加9 使左边配成 x2+2mx+m2的形式 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 x+3=± 降次 x1= – 3+， x2= – 3 – x+3=，或x+3= – 解一次方程 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 22051 例2 解下列方程： x2 – 8x+1 = 0； 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 由此可得 x – 4 = ±， x1=4+，x2=4 – . 例题解析 22051 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法： 探究点：用配方法解方程 22051 想一想 怎样解方程: x2+4x+1=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+4x+1=0 x2+4x=−1 移项 x2+4x+4=−1+4 两边都加上4 为什么在方程x2+4x=−1的两边加上4？加其他的数，行吗？ ( x+2)2=3 左边写成完全平方形式 探究点：用配方法解方程 22051 例3 解下列方程： （1）2x2 +1=3x； （2）3x2 – 6x+4=0. 解：（1）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 二次项系数化为1，得 x2 – x = – . 配方，得 x2 – x + ()2 = – + ()2 ， (x – )2 = . 由此可得 x – = ±，x1=1，x2= . 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 22051 例3 解下列方程： （1）2x2 +1=3x； （2）3x2 – 6x+4=0. 解：（2）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 二次项系数化为1，得 x2 – 2x = – . 配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ， (x – 1)2 = – . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 22051 练一练 解下列方程： (1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)－2x2+6x－8=0. 解：移项，得x2+8x=－4. 配方，得(x+4)2=12. 开平方，得 解得 解：整理得x2+2x+1=0. 配方，得(x+1)2=0. 开平方，得x+1=0. 解得x1=x2=−1. 解：整理得x2 − 3x= −4. 配方，得 所以原方程无实数根. 探究点：用配方法解方程 22051 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法的定义： 配方法解方程的基本思路： 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 探究点：用配方法解方程 【知识要点】 22051 14 解方程：2x2＋4x－2＝0. 解：移项，得2x2＋4x＝2. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋12＝1＋12， （x＋1）2＝2. 由此可得x＋1＝± ， x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 解：移项，得2x2＋4x＝2. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋12＝1＋12， （x＋1）2＝2. 由此可得x＋1＝± ， x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 对应练习 22051 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. 归纳总结 （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 22051 配方法的应用 类别 解题策略 2.求最值或 证明代数式 的值恒为正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 1.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2−4b＋4=0，则a2＋(b−2)2=0，即a=0，b=2. 探究点：用配方法解方程 【归纳总结】 22051 17 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 18 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程的方法. 步骤 一.移常数项； 二.配方[配上 ]； 三.写成（x+n)2=p (p ≥0); 四.直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 22051 谢谢大家聆听 22051 $