4.6 导数工具下的不等式证明方法 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考导数工具下的不等式证明核心考点，涵盖作差构造、隔离转化等五种题型，按单变量到双变量的逻辑架构梳理知识。通过考点精讲、方法提炼、例题演练的教学环节，帮助学生构建证明思路体系，突破导数应用难点。 资料以方法体系化和思维进阶为特色，创新融入泰勒公式等拓展知识，通过“作差构造步骤拆解”“极值点偏移对称化构造”等教学活动，培养学生数学思维与模型观念。设置分层例题与即时反馈，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

§4.6 导数工具下的不等式证明方法 目录 题型1：作差构造法证明不等式 4 题型2：隔离转化法证明不等式 5 题型3：适当放缩法证明不等式 6 题型4：构造函数法证明不等式 7 题型5：双变量不等式证明（极值点偏移） 8 1. 不等式证明的基本思路 在证明与函数有关的不等式时，我们通常把不等式问题转化为函数的最值问题或单调性问题。其核心思想是：通过构造辅助函数，利用导数研究该函数的单调性、极值或最值，从而完成不等式的证明。 常见证明路径： (1) 直接构造法：将不等式转化为，研究的最值； (2) 隔离转化法：将不等式两端分别研究，转化为的问题； (3) 适当放缩法：利用已知不等式进行放缩，简化后再构造函数证明； (4) 构造函数法：通过变形后构造恰当的辅助函数，利用导数性质证明。 2. 常用放缩不等式 (1) 切线不等式 ①; ②； ③当时，; ④； ⑤当时，; ⑥ (2) 飘带不等式 ①当时，有; ②当时，有. 将不等式中的变成，得 ； . (3) 指数、对数的均值不等式 ①; ②. 提醒 放缩时要注意"适度"原则：放缩不能过度，否则可能超出所需范围；同时要注意等号成立的条件，确保放缩方向正确。 3. 构造函数的常见方向 (1) 待证不等式两边含同一变量时，直接构造，研究其单调性和最值； (2) 含与的混合式不能直接构造函数时，常将指对分离，构造与的积、商形式； (3) 对于双变量不等式（如极值点偏移问题），常用对称化构造法或比值代换法，将双变量转化为单变量问题； (4) 对于恒成立问题中的不等式证明，常结合分离参数法或构造函数法。 知识拓展 1. 泰勒公式 若函数在含有的开区间内有阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于的多项式和一个余项的和： . 2. 麦克劳林公式 . 虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3. 常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令，即可得到如下泰勒展开式： (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) . 题型1：作差构造法证明不等式 方法提炼 作差构造法证明不等式的基本步骤： (1) 作差或变形：将不等式变形为； (2) 构造新的函数：； (3) 利用导数研究函数的性质（单调性、极值、最值），得到所证不等式。 关键点：作差后要能通过求导判断函数的单调性，通常需要借助端点值或特殊点值来确定符号。 【例1.1.】 已知函数.当时，证明：. 【例1.2.】 已知函数，． (1)求的极值点以及极值、最值点以及最值； (2)证明：； (3)证明：． 【例1.3.】 已知，函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若直线是函数图象的切线，求证：当时，． 题型2：隔离转化法证明不等式 方法提炼 隔离转化法的一般思路： (1) 在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； (2) "隔离"转化是关键——将不等式不等号两端分别"隔离"出两个函数式， 使恒成立，从而； (3) 适用场景：不等式两端结构差异较大，难以直接作差后通过求导判断符号时。 注意：与取到最值的条件不是同一个值，即等号不能同时取到。 【例2.1.】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【例2.2.】 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值； (3)证明：，都有． 【例2.3.】 已知函数． （1）求的最小值． （2）证明：对任意的，恒成立． 【例2.4.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求证：． 题型3：适当放缩法证明不等式 方法提炼 适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧： (1) 利用基本不等式进行放缩：；； (2) 指数放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； (3) 对数放缩：（当且仅当时取等号）；当时，； (4) 三角放缩：当时，；； (5) 分式放缩：当时，等。 核心原则：放缩要"适度"——既要简化问题，又不能超出所需范围。 【例3.1.】 已知函数，其中. (1)若，求的取值集合； (2)证明：. 【例3.2.】 已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【例3.3.】 已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【例3.4.】 已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 【例3.5.】 已知函数，（，）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：. 【例3.6.】 当时，证明：． 题型4：构造函数法证明不等式 方法提炼 1. 构造函数法证明不等式的策略： (1) 待证不等式两边含同一变量时，直接构造，研究其单调性和最值； (2) 若直接求导复杂或无从下手，可将待证式变形，构造两个函数，找到中间量传递证明； (3) 含与的混合式，常将指对分离，构造与的积、商形式，分别求最值； (4) 若不等式中含（或）与其他代数式，可先放缩简化，再构造函数证明。 2. 常见构造方向： (1) 证，构造； (2) 证，构造或； (3) 证（极值点偏移），构造对称函数或利用比值代换。 【例4.1.】 已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证． 【例4.2.】 若，证明下式恒成立：． 【例4.3.】 证明： 【例4.4.】 证明：. 题型5：双变量不等式证明（极值点偏移） 方法提炼 双变量不等式证明的常用方法： (1) 对称化构造法： 对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式。 (2) 比值代换法（对数代换）： ①含对数式时，令（或），将双变量化为单变量； ②含指数式时，令，进行代换。 3. 对数平均不等式法： 利用（对数平均 < 算术平均）等结论。 【例5.1.】 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，是的两个极值点， ①求证：； ②求证：． 【例5.2.】 已知函数有两个不同的零点，，求证：. 【例5.3.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【例5.4.】 已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【例5.5.】 已知函数，若存在两个不同的正实数，，使得，求证：. 【例5.6.】 已知函数有两个不同的零点，，求证：. 【例5.7.】 已知，若，，且，证明：. 【例5.8.】 已知函数 (1)若，求证：； (2)讨论函数的零点个数； (3)令，若，，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.6 导数工具下的不等式证明方法 目录 题型1：作差构造法证明不等式 4 题型2：隔离转化法证明不等式 7 题型3：适当放缩法证明不等式 13 题型4：构造函数法证明不等式 22 题型5：双变量不等式证明（极值点偏移） 26 1. 不等式证明的基本思路 在证明与函数有关的不等式时，我们通常把不等式问题转化为函数的最值问题或单调性问题。其核心思想是：通过构造辅助函数，利用导数研究该函数的单调性、极值或最值，从而完成不等式的证明。 常见证明路径： (1) 直接构造法：将不等式转化为，研究的最值； (2) 隔离转化法：将不等式两端分别研究，转化为的问题； (3) 适当放缩法：利用已知不等式进行放缩，简化后再构造函数证明； (4) 构造函数法：通过变形后构造恰当的辅助函数，利用导数性质证明。 2. 常用放缩不等式 (1) 切线不等式 ①; ②； ③当时，; ④； ⑤当时，; ⑥ (2) 飘带不等式 ①当时，有; ②当时，有. 将不等式中的变成，得 ； . (3) 指数、对数的均值不等式 ①; ②. 提醒 放缩时要注意"适度"原则：放缩不能过度，否则可能超出所需范围；同时要注意等号成立的条件，确保放缩方向正确。 3. 构造函数的常见方向 (1) 待证不等式两边含同一变量时，直接构造，研究其单调性和最值； (2) 含与的混合式不能直接构造函数时，常将指对分离，构造与的积、商形式； (3) 对于双变量不等式（如极值点偏移问题），常用对称化构造法或比值代换法，将双变量转化为单变量问题； (4) 对于恒成立问题中的不等式证明，常结合分离参数法或构造函数法。 知识拓展 1. 泰勒公式 若函数在含有的开区间内有阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于的多项式和一个余项的和： . 2. 麦克劳林公式 . 虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3. 常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令，即可得到如下泰勒展开式： (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) . 题型1：作差构造法证明不等式 方法提炼 作差构造法证明不等式的基本步骤： (1) 作差或变形：将不等式变形为； (2) 构造新的函数：； (3) 利用导数研究函数的性质（单调性、极值、最值），得到所证不等式。 关键点：作差后要能通过求导判断函数的单调性，通常需要借助端点值或特殊点值来确定符号。 【例1.1.】 已知函数.当时，证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】将所证不等式变形为：当时，，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立. 【详解】要证时，，即证. 令且，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以时，. 【例1.2.】 已知函数，． (1)求的极值点以及极值、最值点以及最值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)函数在处取得极大值，无极小值；在处取得最小值，在处取得最大值. (2)当时，不等式， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，则， 所以. (3)令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，由（2）知， 所以. 【难度】0.57 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间，进而求出极值、极值点及最值、最值点. （2）将所证不等式等价变形，再构造函数并利用导数求出最小值即可. （3）结合（2）构造函数，利用导数求出函数最小值即可. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，， 所以函数在处取得极大值，无极小值； 在处取得最小值，在处取得最大值. （2）略 （3）略 【例1.3.】 已知，函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若直线是函数图象的切线，求证：当时，． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为. (2)直线是函数图象的切线，设切点为（）， 则，即， 因为切点在切线上，所以， 又， 所以，解得， 当时， ，等价于 等价于 设， 则=， 因为，，由得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 所以. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出导函数，分、两种情况进行讨论，根据导数符号判断函数的单调性； （2）设切点为（），根据导数的几何意义及切线为切线与曲线的公共点列方程求解a，当时等价于，令，利用导数求函数的最小值从而由 证明不等式恒成立. 【详解】（1）， 当时，，的单调递增区间为 ， 当时，由，由，得， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，       综上所述：当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为. （2）略 题型2：隔离转化法证明不等式 方法提炼 隔离转化法的一般思路： (1) 在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； (2) "隔离"转化是关键——将不等式不等号两端分别"隔离"出两个函数式， 使恒成立，从而； (3) 适用场景：不等式两端结构差异较大，难以直接作差后通过求导判断符号时。 注意：与取到最值的条件不是同一个值，即等号不能同时取到。 【例2.1.】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)由（1）知， 依题意，即证，即证， 设，求导可得， 令，解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点， 因为，， 所以当时，， 故当时，． 【难度】0.51 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负情况得到函数的单调区间； （2）将不等式转化为函数的最小值大于等于，构建辅助函数，通过求导得到辅助函数的单调区间和极小值，从而证得不等式成立. 【详解】（1）函数的定义域为，求导可得， 令，解得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 略 【例2.2.】 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值； (3)证明：，都有． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）求导后，分别在，和的情况下，根据函数单调性确定最小值点，进而得到最小值； （3）将所证不等式转化为，令，，利用导数可求得，根据且最值点不同时取得可得结论. 【详解】（1）当时，，，则，又， 在处的切线方程为：. （2）由题意得：定义域为，，令，解得：； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增； ； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：. （3）当时，要证，只需证； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； ，且先取到最小值点，， 即，. 【例2.3.】 已知函数． （1）求的最小值． （2）证明：对任意的，恒成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）确定函数的定义域，然后对给定函数求导，然后根据单调性即可求出最值； （2）首先对要证明的不等式进行等价转化得到，然后构造函数与，进而分别求导判断函数的单调性与最值即可得证. 【详解】（1）解：由题意可得的定义域为，且， 由，得；由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故； （2）证明：要证， 只需证，即证， 设，由（1）可知， 设，则， 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，故， 因为与的最值不同时取得，所以，即． 故当时，不等式恒成立． 【例2.4.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增 当时，的单调增区间为，，单调递减区间为 (2)证明：原不等式可化为 容易得，上式两边同乘以可得 设， 则由可得（舍或 时，，时， 当时，函数取得最小值 当且仅当即时取等号 令，可得在上单调递增，且， 当时，有最大值 由于上面两个等号不能同时取得，故有 ，则原不等式成立 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）首先对函数求导，然后对参数进行分类讨论，通过导函数的正负求得函数的单调区间； （2）首先将要证明的不等式整理成，然后构造函数，，通过导函数分别求解的最大值与的最小值.通过比较最值得到与的大小关系，进而证明不等式. 【详解】（1） 当时，恒成立，故函数在上单调递增 当时，由可得或 由可得 综上可得，时，恒成立，故函数在上单调递增 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间 （2）略. 题型3：适当放缩法证明不等式 方法提炼 适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧： (1) 利用基本不等式进行放缩：；； (2) 指数放缩：（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； (3) 对数放缩：（当且仅当时取等号）；当时，； (4) 三角放缩：当时，；； (5) 分式放缩：当时，等。 核心原则：放缩要"适度"——既要简化问题，又不能超出所需范围。 【例3.1.】 已知函数，其中. (1)若，求的取值集合； (2)证明：. 【答案】(1){1}. (2)令，求导得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此在处取得最小值. 所以对任意，有，所以​， 设，， 则，所以由，得， 由，得​，从而在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，又​， 所以. 【难度】0.42 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）恒成立问题转化为最值问题，分类讨论参数的符号，确定单调性后由最小值非负得参数满足的方程，得到的取值集合； （2）利用常见放缩，将原不等式转化为证明一个关于的函数恒正，求导分析最小值，由最小值大于零完成证明. 【详解】（1）由题意，得，. 当时，，所以在上单调递增， 结合可得，当时，，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 从而 ，故若恒成立，则①. 设，则. 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，故 ， 所以②. 由①②可得只能，即，所以的取值集合为. （2）略. 【例3.2.】 已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【答案】(1) (2)证明如下： 由（1）可得，. 令，则， 所以，即. 令，则，且不恒为零， 所以函数在上单调递增， 故，则， 所以， 令分别取，累加得： . 即证. 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意分析得到是函数的极小值点，则解得再代入验证符合题意； （2）由（1）可得，.令得到.令，利用导数证明出，得到，累加即可证明. 【详解】（1）由，得. 令，则. 注意到，所以是函数的极小值点，则， 所以，得. 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，满足条件，故. （2）略 【例3.3.】 已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1； (2)证明：由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号， 即当时，， 因此当且时， ， 而当时，， 所以， 则，所以，. 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件可得恒成立，再利用导数分类讨论求解作答. （2）利用（1）的结论得当时，，取，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答. 【详解】（1）函数，求导得， 由于函数在R上单调递增，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，，不满足条件； 当时，，在R上单调递增， 又，即，不满足条件； 当时，令，得， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 于是当时，取得最小值， 于是，即， 令，则， 当时，，单调递增；时，，单调递减， 则，由于恒成立，因此，则有， 所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时， ， 而当时，， 所以， 则，所以，. 【例3.4.】 已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）由题意得，求导判断单调性即可求解； （2）由（1）可得可知，当且仅当时等号成立，令，则.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明. 【详解】（1）由题意，， ， ， 令，解得， 又时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， ，即的最小值为0. （2）证明：由（1）得，， 可知，当且仅当时等号成立， 令，则. ， 即， 也即， 所以， 故对任意正整数，都有. 【例3.5.】 已知函数，（，）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 当时，， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， ， 所以，所以，即， 要证， 即， 即证， 又， 即证，， 设，则． 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ，即． ，即． 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性区间； （2）首先结合（1）说明以，则，从而将所证不等式转化为证明，，设，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，由，解得；由，解得． 在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）略. 【例3.6.】 当时，证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、二倍角的正弦公式 【分析】分与讨论，构造函数、、、，利用导数讨论单调性，从而对原不等式进行放缩即可得. 【详解】， 故要证，只需证， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 又， 故时，； 令，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，则， 则当时，，从而只需证， 且有，从而只需证， 即只需证，令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，故， 即当时，，即有， 故时，； 综上所述，原不等式得证. 题型4：构造函数法证明不等式 方法提炼 1. 构造函数法证明不等式的策略： (1) 待证不等式两边含同一变量时，直接构造，研究其单调性和最值； (2) 若直接求导复杂或无从下手，可将待证式变形，构造两个函数，找到中间量传递证明； (3) 含与的混合式，常将指对分离，构造与的积、商形式，分别求最值； (4) 若不等式中含（或）与其他代数式，可先放缩简化，再构造函数证明。 2. 常见构造方向： (1) 证，构造； (2) 证，构造或； (3) 证（极值点偏移），构造对称函数或利用比值代换。 【例4.1.】 已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证． 【答案】(1) (2) 当时，要证，即证， 即证在时恒成立． 令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，故． 当时，有，故， 即在时恒成立， 故当时． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）将问题化为证在时恒成立，构造函数，利用导数求出其单调区间，再构造函数，利用导数可得，再由可得，从而可证得结论. 【详解】（1）由题可知，则， 又．故所求切线方程为． （2）略 【例4.2.】 若，证明下式恒成立：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】先证，即证，令，构造函数，证得可证得成立； 再证，即证，令，构造函数，利用导数证明出，可证. 【详解】证明：因为，先证不等式，即证， 令，即证，构造函数，其中， 对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，故，即， 所以，当时，； 当时，接下来证明不等式，即证， 令，即证，构造函数，其中， 对任意的恒成立， 当时，，即， 故当时，. 综上所述，当时，. 【例4.3.】 证明： 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】构造函数，根据导数得出单调区间及最值，进而得出，即可证明不等式. 【详解】设，， 设在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减， 所以， 故， 所以， 所以， 故，得证． 【例4.4.】 证明：. 【答案】要证，且，即证， 又因为． 故只需证明在上恒成立. 令，则． 当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时取等号． 由得，由对数函数及可知， 函数与有唯一交点，因此方程有唯一解.    所以不等式在上恒成立. 令，∴， ∴在上单调递增，，即在上恒成立. . 因此不等式成立. 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】先将不等式转化为在上成立，再分别构造函数，，用导数证明及成立，进而可证明不等式成立. 【详解】略 题型5：双变量不等式证明（极值点偏移） 方法提炼 双变量不等式证明的常用方法： (1) 对称化构造法： 对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式。 (2) 比值代换法（对数代换）： ①含对数式时，令（或），将双变量化为单变量； ②含指数式时，令，进行代换。 3. 对数平均不等式法： 利用（对数平均 < 算术平均）等结论。 【例5.1.】 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，是的两个极值点， ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)在单调递减，在单调递增 (2)①依题意的两根为，，即的两根为，．令，， 得，且，，，，则在递减，在递增，则，令，，则，所以在递增，所以， 所以，又，，在递增． 所以，即． ②解法一：由，要证明，只需证， 即证明，即证明 即证明即证明，设，，则，则当时，，则在递减，则，则在上恒成立，得证． 解法二：是方程的两根，证明放缩关系，进而得到，再结合二次方程根差公式，完成证明即，，故； 【难度】0.21 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】(1)先确定函数定义域，将代入解析式，再求导，根据导数与0的大小关系判断单调区间 (2)首先求的导数，由极值点的定义可知是导数等于0的两个正根，整理得到与的关系，明确的取值范围 对于（2）①，构造对称函数，结合的单调性证明不等式”； 对于（2）②，利用①的结论结合放缩或函数不等式证明目标式 【详解】（1）时，，在上单调递增，又， 所以，，，，所以在单调递减，在单调递增． （2）①略 ②略 【例5.2.】 已知函数有两个不同的零点，，求证：. 【答案】∵ ，定义域为∴ . 若，则恒成立，在单调递增，至多有1个零点，不符合题意，故. 令，解得， 由，得， 由，得， ∴ 在上单调递增，在上单调递减， ∴ 的最大值为. ∵ 有两个不同零点，∴ ，即， 解得，即，故极值点. 不妨设两个零点满足，由零点定义得： ①， ②. 证明 由题意得，两式相减得，即. 要证，即证，即证， 将代入得. 令，不等式转化为，即. 令，，求导得. ∵ 时，∴ 在上单调递增， ∴ ，即，故得证. 证明 要证，即证. ∵ ，，∴ ， 又在上单调递减，故只需证. ∵ ，故只需证，. 构造函数，， 则， 求导得. ∵ ，， ∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，故在上单调递增， ∴ ，即对恒成立， ∴ ，即. ∵ ，，在单调递减， ∴ ，即得证. 【难度】0.25 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】先将函数有两个零点转化为方程有两个不同解，通过求导分析函数的单调性与极值，确定参数的范围及两零点的分布，再分别通过比值换元法、构造对称函数法证明与. 【详解】略 【例5.3.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】利用导数可得在处取得极小值，设，要证明，只需证，构造函数，求导证明即可. 【详解】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 【例5.4.】 已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）不等式变形得到在上恒成立，构造函数，求出单调性和最小值，只需，解得； （2）不妨设，由（1）知方程，，，且，欲证，即证，构造差函数，得到差函数的单调性，结合（1）可知，所以，则. 【详解】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【例5.5.】 已知函数，若存在两个不同的正实数，，使得，求证：. 【答案】的定义域是，， 当 时，， 单调递减，当 时，， 单调递增， 由存在两个不同的正实数，，使得，不妨设， 由 ，得， 即，令 ，则 ，所以，所以， 要证，即证，即证， ，于是原命题等价于证明， 因为，所以，即证，, 设，则 再设 ,, 在 单调递增，, 因此 ， 在 单调递增, ,也就是 在 成立,所以原命题得证. 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】要证，即证,令 ，，最后等价于证明，. 【详解】略. 【例5.6.】 已知函数有两个不同的零点，，求证：. 【答案】∵ 函数的定义域为，. 若，则恒成立，在上单调递增，至多存在1个零点，不符合题意，故. 令，解得， ∴ 在上单调递减，在上单调递增， ∴ 的极小值为. ∵ 有两个不同的零点，∴ ，即，解得. 令得，又，故，即两个零点均大于， 不妨设. 由零点定义可得： ①， ②. 对①②两边取自然对数得： ，. 两式相减得，即. 根据对数平均不等式：对任意正实数，有， 证明如下： 不妨令，原不等式，两边同除以，并令得 ∵ 时，变形得. 构造函数，，求导得： ∴ 在上单调递减，故，即，不等式得证. 当时，，等号成立. 令，，可得： ，即 ③. 将①②两式相乘得： ④. 要证，即证，等价于证. 将④代入上式，只需证，即证. 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，又，故，因此. 结合③式，可得，故成立，即，因此. 原不等式得证. 【难度】0.22 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】先根据函数有两个零点确定参数的取值范围，结合零点定义变形得到等式，再通过对数平均不等式、基本不等式完成证明. 【详解】略 【例5.7.】 已知，若，，且，证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】由，可得，即有，令 ，，将问题转化为证明，利用导数确定函数的单调性及极值，进而转证， 构造，利用导数证明即可. 【详解】证明： 等价于， 即， 等价于， 即， 令，， 要证明，即证， 因为， 所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 易知. 只需， 要证， 故需构造， ，， ， 由于， 故只需证明， 构造， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以单调递增，故， 命题得证. 【例5.8.】 已知函数 (1)若，求证：； (2)讨论函数的零点个数； (3)令，若，，求证：． 【答案】(1)若，，， 当时，，递减；当时，，递增， 所以函数在处取得极小值也是最小值. 因此，得证． (2)当时，无零点；当或时，有唯一的零点；当时，恰有两个零点． (3)，当时，所证不等式显然成立， 当时，由对称性，不妨设， 令，， 即证：，其中，， 所以，下面证明， 即证，.令， 设，则， 所以函数在上单调递减，因此，即，所以. 当时，， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以函数在处取得极小值也是最小值，所以， 即对任意成立，所以 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以. 因此当时，. 综上所述，，成立，即成立，因此原不等式成立. 【难度】0.36 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由函数的导数判断函数的单调性及最小值，进而可证明不等式； （2）根据函数的导数分三类讨论，其中还要根据函数的最小值的正负再分三种情况讨论并结合零点存在性定理判断可得； （3）先由条件得，再将不等式转化为，再设，，因此只需证明，再结合两个不等式，放缩可得所证不等式. 【详解】（1）略 （2）因为函数，定义域为，. ①时，，在上递增，注意到，，，所以在上有唯一的零点； ②时，在上无零点； ③时，在上递减；上递增， 所以； （ⅰ）当时，，所以恒成立，无零点； （ⅱ）当时，有唯一的零点； （ⅲ）当时，且时，，当时，， 所以在和上各有一个零点，共两个零点． 综上：（ⅰ）当时，无零点；（ⅱ）当或时，有唯一的零点； （ⅲ）当时，恰有两个零点． （3）略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $