第27讲数列通项公式的求法（知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式求法，覆盖累加法、累乘法、构造法等高考核心考点，按“概念-基础方法-复杂递推”逻辑梳理8大知识点，通过知识清单、典例精讲、题型分类、方法技巧等环节，帮助学生构建从基础到综合的解题体系。 讲义创新设计“解题大招”模块，如分式递推取倒数构造等差数列，通过固定操作步骤培养学生数学思维和模型观念。分层训练与错题复盘结合，确保学生高效突破周期数列、分段通项等难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第27讲数列通项公式的求法 （知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 累加法、裂项累加求通项 单选/填空题 5分 等差、等比定义公式法 解答题 12分 周期数列通项识别与求值 选择题 5分 分式递推取倒数构造等差数列 解答题 12分 分段求通项、分类讨论 解答题 12分 累乘法、奇偶隔项分类通项 解答题 12分 一阶线性递推万能构造 解答题 12分 【知识点01】数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 【例1】写出数列的一个通项公式。 解析：观察数列各项与项数的对应规律： 归纳通用规律可得数列通项： 答案： 【知识点02】公式法求数列通项公式 适用于题干明确数列为等差数列或等比数列，直接套用定义公式求解通项，是最基础、最常用的解题方法。 等差数列通项公式： 等比数列通项公式： 【例2】已知为等差数列，，，求数列的通项公式。 解析：由等差数列通项公式得： 代入已知数据： 解得公差： 将代入通项公式： 答案： 【知识点03】数列通项公式的求法 已知数列前项和，求通项，必须分段求解、最后验证合并，是高考高频考点、易错点。 核心分段公式： 解题步骤：① 求；② 求时表达式；③ 验证是否符合的式子，符合则合并，不符合则分段书写。 【例3】已知数列的前项和为，求数列通项公式。 解析：① 当时： ② 当时： ③ 验证：将代入，得，与原式一致，可合并。 答案： 【知识点04】累加法（型如） 适用题型：递推公式为后项减前项是关于的函数，即。 核心原理：逐项罗列、左右累加消去中间项 最终通项： 【例4】已知，，求。 解析：由递推式得： 罗列式子： 累加得： 代入： 答案： 【知识点05】累乘法（型如） 适用题型：递推公式为后项比前项是关于的函数，即。 核心原理：逐项罗列、左右累乘消去中间项 最终通项： 【例5】已知，，求。 解析：罗列比值： 累乘消项： 代入得： 答案： 【知识点06】构造等比数列法（一阶线性递推） 适用题型：一阶线性非齐次递推数列 。 构造技巧：设 展开对比系数得： 构造后为公比等于的等比数列。 【例6】已知，，求数列通项。 解析：由题意，计算构造参数： 构造等比数列： 数列为等比数列，首项，公比 整理得通项： 答案： 【知识点07】取倒数构造等差法（分式递推型） 适用题型：分式型递推 。 解题技巧：等式两边取倒数，将分式递推转化为一次线性递推，构造等差数列求解。 【例7】已知，，求。 解析：两边取倒数： 即： 故是首项为，公差的等差数列。 整理得： 答案： 【知识点08】换元构造法（复合型递推） 适用题型：含有根式、复合型复杂递推式，通过换元简化结构，转化为等差、等比数列求解。 【例8】已知，，求。 解析：令，则 为等差数列，首项，公差 由得： 答案： 【题型一】数列的概念 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案. 【详解】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，，，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】由数列的递推公式判断数列的周期，结合数列的周期性进行求解即可. 【详解】由， 所以数列的周期为，，， 故， ， ， ， ， ， 再往后计算减1后加再加，以此类推，这样都大于 所以满足的正整数的最大值为， 故选：C 【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 【答案】 【详解】由得，， 所以数列周期为3，故. 【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为__________． 【答案】19 【分析】根据Farey序列构成的数列的性质，利用列举法，即可求解. 【详解】根据题意Farey序列构成的数列， 可得的各项为：， 共有项，所以的项数为. 故答案为：. 【题型二】累加法求数列通项 【例1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设可得，进而利用累加法可得，再结合求出，进而求解即可. 【详解】由，得， 则 ， 由，，可得， 又，则， 所以. 【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 【答案】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 【变式3】（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用等比数列的通项公式和累加法求解. 【详解】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． 【题型三】累乘法求数列通项 【例3】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 【变式1】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得，应用累乘及等比数列前n项和公式求得，即可得. 【详解】由及已知，得 ， 相乘可得，故. 故选：C 【变式2】（2024·广东江门·一模）物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可. 【详解】， 而，故． 故选：C． 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【题型四】利用an与sn关系求通项或项 【例4】（2026·广东·模拟预测）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用与的关系求得即可求解. 【详解】当时,， 当时，， 当也满足，于是(), ,即，得，(),则. 【变式1】（2026·河南·三模）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】得出，求出公比为，再根据得出即可求出. 【详解】因为，所以， 则，则， 得，即等比数列的公比为， 因为，，所以，得， 则. 【变式2】已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【分析】通过已知条件推导出为等差数列，进而求出. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意， 有，代入得： ，因为，故， 由可得：， 若存在使得，则， 依此类推可得，与矛盾， 故对任意都有， 等式两边同除以，整理可得： ，因此是以首项为，公差为的等差数列， 由等差数列通项公式可得：， 因此. 【变式3】（2026·湖南长沙·三模）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由，得， 所以，即， 当时，，故， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． （2），， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 故时，， 故，，所以数列的最大值为. 【题型五】构造法求数列通项 【例5】（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 【变式1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值；令，由 得，两式作差推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【详解】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 【变式3】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则_______________. 【答案】/0.5 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【题型六】由递推关系式求通项公式 【例6】（2026·山东泰安·三模）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式求出是等差数列，再求出表达式，求解即可. 【详解】已知，所以， 因此数列是首项为，公差为的等差数列. 则. 因此. 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 【变式2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则数列的前100项和为__________. 【答案】 【分析】由，变形为：，利用等比数列的通项公式、前项和公式即可得出． 【详解】因为,可得， 因为,所以数列是公比为，首项为的等比数列， 则, 则数列的前100项和, 故答案为： 【变式3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)（）． 【分析】（1）根据等差数列的性质，求出公差，进而求出通项公式，再利用等差数列前项和公式求解即可； （2）由已知条件易得，由累加法结合等比数列前项和公式求出通项公式. 【详解】（1）解：（1）由为等差数列，，则，解得， 又，所以， 因此，即， 所以，数列的前项和为； （2）由（1）知，又，所以， 则当时， ， 当时，，也符合， 即（）． 【解题大招01】Sn速求通项秒杀大招（无需分段繁琐计算） 已知数列前项和 ，可直接秒写通项，无需分段推导： ① 若 （无常数项）：数列为等差数列，直接秒杀： ② 若 （有常数项）：时，，通项分段 考场口诀：无常数直接代，有常数单独算首项 【例1】已知，求。 解：，无常数项，直接套用公式： 验证：，成立 答案： 【解题大招02】累乘法通用秒杀结论（消项规律一眼看穿） 形如，累乘后直接秒杀：，无需逐项罗列。 【例2】已知，求。 解：整体消项后剩余首尾项： 代入： 答案： 【解题大招03】分式递推专属秒杀（倒数构造模板） 针对 ，固定操作：取倒数→构造等差/等比，无需试凑。 若，直接判定为等差数列，公差为。 【例3】，求通项。 解：取倒数： 为等差， 答案： 【解题大招04】奇偶项递推秒杀大招（周期/分段一步出） 题型： 或 结论：，奇偶项各自成等差，直接分奇偶写通项，无需分步推导。 【例4】，求。 解：作差得： 奇数项：，公差， 偶数项：，公差， 分段通项： . 【解题大招05】周期数列秒杀识别大招 递推式含分式、正负交替、根式，优先验证周期；求出前3-4项即可锁定周期，直接取余求值、写通项。 【例5】已知，求周期及。 解：枚举： 得周期，根据余数直接写对应项，考场直接秒杀选择填空。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D 2．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 3．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意可得，故数列是以首项为1，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】∵点在直线上，∴. 又，∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴. 故选：B. 二、多选题 4．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列 【答案】ABC 【分析】根据与的关系求得可判断A；由可判断B；取可得是公比为1的等比数列，可判断C；当时，根据等差数列定义验证，可判断D. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，由得， 当时，， 所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当时，若，则， 此时，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 三、填空题 5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则______. 【答案】 【分析】利用累加法求得. 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 6．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 【答案】 【分析】先根据为等差数列，求出，再根据的关系求出通项公式，然后检验是否符合即可. 【详解】解：由是首项为1，公差为的等差数列，则，所以， 当时，， 当时，， 检验，当时，，所以该公式对也成立， 所以. 四、解答题 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）因为和是方程的两个根，由韦达定理可知，，由累加法求得，进而计算即可； （2）由，可知，数列的偶数项为公差为的等差数列，有等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）因为和是方程的两个根， 由韦达定理可知，， 因此． 所以，，，…，， 由累加法得．又因为，所以，因此． （2）由，可知， 而数列的偶数项为公差为的等差数列， 因此， 因此，因此． 8．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【详解】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和，若，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．14 【答案】B 【分析】利用与关系求出数列的通项公式求解即可. 【详解】由,当时， 当时，， 当时，满足条件； 所以数列的通项公式为 则，解得， 因为，所以． 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 二、多选题 3．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，，且， 当时，， 当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列， 故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 三、填空题 4．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 5．（2026·湖南·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，记，则的最大值为______． 【答案】 【分析】借助与的关系结合等比数列定义可得数列的通项公式，即可得表达式，再借助作商法得到的单调性后即可得解. 【详解】当时，，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，则，则， 解不等式，即， 由，故或， 即当或时，，当时，， 故的最大值为. 四、解答题 6．（2026·浙江宁波·三模）设数列的前项和为，当时满足． (1)求； (2)令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对递推关系式变形，累加可得答案； （2）求出的通项公式，判断单调性，结合中项的符号可得答案. 【详解】（1），叠加得， ． （2）， 因为，且，所以与均为增函数，所以递增， 而 ， 故时， 时，，于是时，最小． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 二、多选题 3．（2026·浙江·模拟预测）若数列的前项和满足，则（    ） A． B． C．为等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据与的递推关系推导、的通项公式；对于B：由上可知为等差数列，由等差中项性质可得结果；对于C：不为等比数列；对于D：，构造函数，利用定义法证明该函数恒大于0. 【详解】对于A：当时，； 当时，，相减得， 所以数列是等比数列，进而得，， 所以，A选项正确； 对于B：因为，所以数列是以1为公差的等差数列， 所以由等差中项性质可得 ，故B选项正确； 对于C：，不为常数，所以不是等比数列，故C选项错误； 对于D：， 当时，则； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，即， 综上：，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 4．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可得，进而得，利用累加法即可求解. 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 四、解答题 5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得，利用等比数列的求和公式，求得，根据 ，得到，结合等比数列的求和公式，即可得证. 【详解】（1）解：由数列满足， 因为， 所以， 设，即， 所以，解得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：， 所以 ， 下面证明：， 因为，当为奇数时，； 当为偶数时，，所以， 又因为当时，； 当且时， ，则，所以， 若，可得，此时满足， 若且，可得， 因为，所以， 综上可得：对于任意，都有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲数列通项公式的求法 （知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 累加法、裂项累加求通项 单选/填空题 5分 等差、等比定义公式法 解答题 12分 周期数列通项识别与求值 选择题 5分 分式递推取倒数构造等差数列 解答题 12分 分段求通项、分类讨论 解答题 12分 累乘法、奇偶隔项分类通项 解答题 12分 一阶线性递推万能构造 解答题 12分 【知识点01】数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 【例1】写出数列的一个通项公式。 【知识点02】公式法求数列通项公式 适用于题干明确数列为等差数列或等比数列，直接套用定义公式求解通项，是最基础、最常用的解题方法。 等差数列通项公式： 等比数列通项公式： 【例2】已知为等差数列，，，求数列的通项公式。 【知识点03】数列通项公式的求法 已知数列前项和，求通项，必须分段求解、最后验证合并，是高考高频考点、易错点。 核心分段公式： 解题步骤：① 求；② 求时表达式；③ 验证是否符合的式子，符合则合并，不符合则分段书写。 【例3】已知数列的前项和为，求数列通项公式。 【知识点04】累加法（型如） 适用题型：递推公式为后项减前项是关于的函数，即。 核心原理：逐项罗列、左右累加消去中间项 最终通项： 【例4】已知，，求。 【知识点05】累乘法（型如） 适用题型：递推公式为后项比前项是关于的函数，即。 核心原理：逐项罗列、左右累乘消去中间项 最终通项： 【例5】已知，，求。 【知识点06】构造等比数列法（一阶线性递推） 适用题型：一阶线性非齐次递推数列 。 构造技巧：设 展开对比系数得： 构造后为公比等于的等比数列。 【例6】已知，，求数列通项。 【知识点07】取倒数构造等差法（分式递推型） 适用题型：分式型递推 。 解题技巧：等式两边取倒数，将分式递推转化为一次线性递推，构造等差数列求解。 【例7】已知，，求。 【知识点08】换元构造法（复合型递推） 适用题型：含有根式、复合型复杂递推式，通过换元简化结构，转化为等差、等比数列求解。 【例8】已知，，求。 【题型一】数列的概念 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为__________． 【题型二】累加法求数列通项 【例1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 【变式3】（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【题型三】累乘法求数列通项 【例3】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【变式1】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东江门·一模）物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 【题型四】利用an与sn关系求通项或项 【例4】（2026·广东·模拟预测）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】（2026·河南·三模）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【变式2】已知数列的前项和为，且，则_________. 【变式3】（2026·湖南长沙·三模）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 【题型五】构造法求数列通项 【例5】（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【变式3】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则_______________. 【题型六】由递推关系式求通项公式 【例6】（2026·山东泰安·三模）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则数列的前100项和为__________. 【变式3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 【解题大招01】Sn速求通项秒杀大招（无需分段繁琐计算） 已知数列前项和 ，可直接秒写通项，无需分段推导： ① 若 （无常数项）：数列为等差数列，直接秒杀： ② 若 （有常数项）：时，，通项分段 考场口诀：无常数直接代，有常数单独算首项 【例1】 已知，求。 【解题大招02】累乘法通用秒杀结论（消项规律一眼看穿） 形如，累乘后直接秒杀：，无需逐项罗列。 【例2】已知，求。 【解题大招03】分式递推专属秒杀（倒数构造模板） 针对 ，固定操作：取倒数→构造等差/等比，无需试凑。 若，直接判定为等差数列，公差为。 【例3】，求通项。 【解题大招04】奇偶项递推秒杀大招（周期/分段一步出） 题型： 或 结论：，奇偶项各自成等差，直接分奇偶写通项，无需分步推导。 【例4】，求。 【解题大招05】周期数列秒杀识别大招 递推式含分式、正负交替、根式，优先验证周期；求出前3-4项即可锁定周期，直接取余求值、写通项。 【例5】已知，求周期及。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 3．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 二、多选题 4．（2024·云南·二模）记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列 三、填空题 5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则______. 6．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 四、解答题 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且． (1)求的值； (2)记为数列的前n项和，求． 8．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和，若，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．14 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 三、填空题 4．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 5．（2026·湖南·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，记，则的最大值为______． 四、解答题 6．（2026·浙江宁波·三模）设数列的前项和为，当时满足． (1)求； (2)令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 二、多选题 3．（2026·浙江·模拟预测）若数列的前项和满足，则（    ） A． B． C．为等比数列 D． 三、填空题 4．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 四、解答题 5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的前n项和，并证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $