第26讲等差数列与等比数列的概念与性质（知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦等差数列与等比数列核心考点，涵盖定义、公式、性质及前n项和等高考高频内容，按概念-公式-性质逻辑分层架构知识体系。通过知识清单梳理、10道典例精讲真题、4类解题技巧总结及分层训练，帮助学生系统突破等差等比基本量运算、性质应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新融入“基本量法”“下标和性质”等解题大招，培养学生数学思维与运算能力，如利用片段和性质速算多段和问题。设置基础过关、拔高选练、错题复盘三级训练，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生对数列问题的分析与解决能力。

第26讲等差数列与等比数列的概念与性质 （知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 等差数列基本量运算、等比数列定义证明、前n项和求解 单选/解答题 5分/12分 等比数列性质化简、等差数列通项与最值、数列综合计算 填空/解答题 5分/12分 等差、等比数列混合性质求值 单选题 5分 等差数列定义证明、通项与前n项和公式应用 单选/解答题 5分/12分 等比数列基本量运算、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分 等差数列片段和性质、等比数列通项与最值 单选/解答题 5分/12分 等比数列定义证明、前n项和公式分类讨论 解答题 12分 等差、等比数列中项性质综合求值 单选题 5分 等差数列定义证明、通项与前n项和综合计算 解答题 12分 等比数列性质化简、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分 等差数列基本量运算、等比数列通项公式 单选/解答题 5分/12分 等比数列定义证明、前n项和公式应用 解答题 12分 【知识点01】等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 【例1】已知数列满足，，证明该数列为等差数列，并求成等差数列时的值。 【知识点02】等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 【例2】已知等差数列中，，，求数列通项公式及第10项、前10项和。 【知识点03】等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 【例3】在等差数列中，已知，求的值。 【知识点04】等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【例4】等差数列中，已知，，求。 【知识点05】等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 【例5】若正数成等比数列，求的值。 【知识点06】等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 【例6】已知等比数列中，，，求数列第4项及前4项和。 【知识点07】等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 【例7】在等比数列中，，求的值。 【知识点08】等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 【例8】已知等比数列中，，，求。 【题型一】等差数列及其通项公式 【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2026·湖北·模拟预测）已知是公差为1的等差数列，且，则__________. 【变式3】（2024·河北衡水·模拟预测）在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【题型二】等差中项 【例2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（2025·四川绵阳·一模）与4的等差中项为__________. 【变式3】（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【题型三】等差数列的性质 【例3】（2026·湖南邵阳·三模）已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 【变式1】（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知等差数列中，，则___________． 【变式3】（2026·湖南怀化·二模）已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【题型四】等差数列的前n项和 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【变式1】（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C．若，则 D．当且仅当时取最小值 【变式2】（2026·湖南常德·一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 【题型五】等差数列前n项和的性质 【例5】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【变式3】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【题型六】等差数列前n项和的函数特性 【例6】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【变式1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【题型七】等比中项 【例7】（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北沧州·二模）已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式2】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式3】（2026·重庆江津·三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 【题型八】等比数列的通项公式 【例8】（2026·河北·三模）已知数列是各项为正数的等比数列.若则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 【题型九】等比数列的性质 【例9】（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（多选）（2026·浙江·二模）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2026·山东聊城·三模）等比数列中，，，则________． 【题型十】等比数列的前n项和 【例10】（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 【变式3】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列满足. (1)求的公比； (2)求的前项和. 【解题大招01】基本量“知三求二”万能法 技巧原理：等差数列所有问题均可回归首项、公差两个核心基本量，利用通项与前n项和公式列方程组求解，适用于所有基础题型。 核心公式： 五个量：，已知任意三个可求剩余两个。 【例1】已知等差数列中，，，求数列通项公式。 【解题大招02】下标和性质秒杀法 技巧原理：规避复杂方程组计算，利用下标和等量关系直接求值，是高考小题秒杀核心技巧。 核心结论：若，则；若，则。 【例2】在等差数列中，，求的值。 【解题大招03】片段和性质速算技巧 技巧原理：等差数列连续等长片段和仍成等差数列，无需逐个计算项值，快速求解多段和问题。 核心结论：成等差数列，公差为。 【例3】等差数列中，，，求。 【解题大招04】等差数列最值求解技巧 技巧原理：利用数列单调性与项的正负分界，快速求前n项和最值，规避二次函数复杂计算。 核心结论： 1. ，求最大值：找最大使得 2. ，求最小值：找最大使得 【例4】等差数列中，，，求的最大值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等比数列的第二项为9，公比，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列{}的各项均为正数， ，则 （    ） A．​ B．​ C．3 D．9 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 四、解答题 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 2．（2026·重庆·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 二、多选题 3．（2026·江苏扬州·三模）设正项数列的前n项和是，且，，下列选项中正确的有（     ）． A．若是等差数列，则 B．若是等比数列，则 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则 三、填空题 4．（2026·重庆永川·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______ 5．（2026·甘肃张掖·二模）设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，若，则的值为__________． 四、解答题 6.（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 2．（2026·河北唐山·二模）在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、多选题 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则为等比数列 C．若，则，，成等差数列 D．若，则为等比数列 三、填空题 4．（2026·福建南平·二模）已知等差数列的公差为，若对任意，，总存在，使得，则的最小值为________. 四、解答题 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲等差数列与等比数列的概念与性质 （知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 等差数列基本量运算、等比数列定义证明、前n项和求解 单选/解答题 5分/12分 等比数列性质化简、等差数列通项与最值、数列综合计算 填空/解答题 5分/12分 等差、等比数列混合性质求值 单选题 5分 等差数列定义证明、通项与前n项和公式应用 单选/解答题 5分/12分 等比数列基本量运算、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分 等差数列片段和性质、等比数列通项与最值 单选/解答题 5分/12分 等比数列定义证明、前n项和公式分类讨论 解答题 12分 等差、等比数列中项性质综合求值 单选题 5分 等差数列定义证明、通项与前n项和综合计算 解答题 12分 等比数列性质化简、等差数列定义判定、数列求和 单选/解答题 5分/12分 等差数列基本量运算、等比数列通项公式 单选/解答题 5分/12分 等比数列定义证明、前n项和公式应用 解答题 12分 【知识点01】等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 【例1】已知数列满足，，证明该数列为等差数列，并求成等差数列时的值。 解析：① 证明等差数列：由，差值为常数，符合等差数列定义，故为公差的等差数列。 ② 由等差中项公式： 计算得：，解得。 【知识点02】等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 【例2】已知等差数列中，，，求数列通项公式及第10项、前10项和。 解析：① 求公差：由推广通项 代入数据：，解得 ② 求首项：，，得 ③ 通项公式： ④ 求第10项： ⑤ 求前10项和： 答案： 【知识点03】等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 【例3】在等差数列中，已知，求的值。 解析：由下标和性质：，可得 代入已知条件： 解得： 答案： 【知识点04】等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 【例4】等差数列中，已知，，求。 解析：由片段和性质：成等差数列 代入数据：成等差数列 根据等差中项： 化简计算： 解得： 答案： 【知识点05】等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 【例5】若正数成等比数列，求的值。 解析：由等比中项公式： 题干限定正数，故舍去负值，解得 答案： 【知识点06】等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 【例6】已知等比数列中，，，求数列第4项及前4项和。 解析：① 求通项： ② 求和：，代入求和公式 答案： 【知识点07】等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 【例7】在等比数列中，，求的值。 解析：由下标和性质：，得 代入数据： 由符号性质，与首项同号，结合常规考题，得 答案： 【知识点08】等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 【例8】已知等比数列中，，，求。 解析：由片段和性质：成等比数列 代入数据：成等比数列 由等比中项： 化简： 解得： 答案： 【题型一】等差数列及其通项公式 【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为, 依题意，，则. 【变式1】（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件； 若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如数列，通项公式为，满足，不是等差数列； 所以“为等差数列”是“，（m为常数）”的充分不必要条件. 【变式2】（2026·湖北·模拟预测）已知是公差为1的等差数列，且，则__________. 【答案】64 【详解】设则是公差为1的等差数列， ，， 所以，. 【变式3】（2024·河北衡水·模拟预测）在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义（为常数）证明； （2）由（1）可得的通项公式，再用错位相减法和等差数列求和公式分别求和. 【详解】（1）                     所以数列是公差为3的等差数列． （2）由题得，由（1）可得所以                                             记  ①， 所以   ②， ①-②得 则                         所以 【题型二】等差中项 【例2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在等差数列中，由，解得. 【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 【变式2】（2025·四川绵阳·一模）与4的等差中项为__________. 【答案】1 【分析】应用等差中项的性质求解. 【详解】若与4的等差中项为，则. 故答案为：1 【变式3】（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 【题型三】等差数列的性质 【例3】（2026·湖南邵阳·三模）已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 【答案】C 【详解】因为，所以， 则等差数列为递增数列， ， ， 故使得的最大正整数为. 【变式1】（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知等差数列中，，则___________． 【答案】8 【详解】在等差数列中，， 所以 【变式3】（2026·湖南怀化·二模）已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【答案】 【分析】直接由等差数列的性质计算可得. 【详解】因为数列，均为等差数列，由等差数列的性质得数列也为等差数列， 所以为，的等差中项，所以， 所以． 【题型四】等差数列的前n项和 【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， 【变式1】（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C．若，则 D．当且仅当时取最小值 【答案】AD 【分析】先利用等差数列通项公式，结合已知公差与项的值求出首项，再依次求出数列指定项，通过代数运算验证等式是否成立；接着代入求和公式建立方程，求解正整数项数；最后写出通项，结合项的正负分界，分析前n项和的最值，逐一筛选选项即可. 【详解】因为公差 ，，，所以： 选项A：， 所以，A正确； 选项B：， ， ， 所以，B错误； 选项C：因为， 所以， 解得 或 （舍去负根），所以 ，不是9，C错误； 选项D：因为， 令 ，则， 即 ，， 所以前4项均为负，从第5项开始为正，因此 是最小值. D正确. 【变式2】（2026·湖南常德·一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 【答案】40 【详解】在等差数列中，若，则， 由，可得， 根据等差数列求和公式可得：. 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系式进行分析，判断出数列是等差数列，由此求得数列的通项公式. （2）根据等差数列的前项和公式求得，由此解不等式求得正确答案. 【详解】（1）当时，， 解得或（舍去）， 所以， 当时，，，所以， 即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 则； （2）由题意，的前项和，要使成立， 即， 在时单调递增， 时，， 时，， 所以的最小正整数为13. 【题型五】等差数列前n项和的性质 【例5】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 【变式3】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 【题型六】等差数列前n项和的函数特性 【例6】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 【变式1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 【答案】BCD 【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项判断AD；利用作差法结合等差数列的性质判断B；由等差数列的单调性判断C. 【详解】对于A，， 若，由首项为正数可得一定大于零，不符合题意， 所以，，故A错误； 对于B，由A可知， ，故B正确； 对于C，由A可知，因为，，可知， 故时，取最大值，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因，且存在最大值，则，又仅在时取最大值，则前7项为正数，从第8项开始为负数， 从而. 【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式求解； （2）确定数列中为正数的项，然后再由前项和公式计算． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得 解得， . （2）由（1）知，， 令，解得， 由，知数列是递减数列， 等差数列的前7项为正数，从第8项起为负数， . 【题型七】等比中项 【例7】（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 【变式1】（2026·河北沧州·二模）已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解． 【详解】因为三个正数，，成等比数列， 所以，又，所以，则， 又， 所以． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可. 【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故， 若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 【变式3】（2026·重庆江津·三模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 【答案】12 【分析】根据等比中项性质，结合等差数列通项公式，建立等量关系，求出公差，从而求出. 【详解】解：由，，成等比数列，则， 又是公差不为零的等差数列，设公差为， 则，化简整理得，解得或（舍）， 所以. 【题型八】等比数列的通项公式 【例8】（2026·河北·三模）已知数列是各项为正数的等比数列.若则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】设公比为，则，，则， 故化简后得，有， 所以或（舍）或（舍）. 【变式1】（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式将已知条件进行转化，然后通过两式相除求出公比 的相关表达式，进而求出的值. 【详解】为等比数列，已知，则， 化简可得①， 已知 ， 将 代入可得： ， 化简可得②， ①②可得：, 因为，则化简得，即； 所以，则. 又因为，且同号，所以，故. 【变式2】（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 【答案】/0.5 【分析】根据等差和等比数列的通项公式利用已知条件可得到与，代入所求式子计算即可． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得， 则，， 所以． 【题型九】等比数列的性质 【例9】（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得和公比为，进而求得的值. 【详解】由等比数列的性质，可得， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 所以等比数列的公比为，所以. 【变式2】（多选）（2026·浙江·二模）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 【变式3】（2026·山东聊城·三模）等比数列中，，，则________． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为. ∴ ，，， 则 ， ∵ ，， ∴ 代入得 ，解得，即， 将代入，得，解得， ∴ . 【题型十】等比数列的前n项和 【例10】（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，求__________. 【答案】4 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和求解即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，则， 又， 所以，，解得. 因为，所以. 所以. 【变式3】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列满足. (1)求的公比； (2)求的前项和. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）由（1）知或，分类讨论，分别求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设等比数列的公比为， 因为，可得，即 两式作商，可得，即，解得或. （2）解：记为的前项和， 当时，由，即，可得， 此时. 当时，由，即，可得， 此时. 【解题大招01】基本量“知三求二”万能法 技巧原理：等差数列所有问题均可回归首项、公差两个核心基本量，利用通项与前n项和公式列方程组求解，适用于所有基础题型。 核心公式： 五个量：，已知任意三个可求剩余两个。 【例1】已知等差数列中，，，求数列通项公式。 解析：由已知条件列方程组： 化简第二个方程： 联立作差： 解得：，代入得 通项公式： 答案： 【解题大招02】下标和性质秒杀法 技巧原理：规避复杂方程组计算，利用下标和等量关系直接求值，是高考小题秒杀核心技巧。 核心结论：若，则；若，则。 【例2】在等差数列中，，求的值。 解析：由下标和配对： 原式化简：（配对替换），最简配对： 即，解得 答案： 【解题大招03】片段和性质速算技巧 技巧原理：等差数列连续等长片段和仍成等差数列，无需逐个计算项值，快速求解多段和问题。 核心结论：成等差数列，公差为。 【例3】等差数列中，，，求。 解析：由片段和性质：成等差数列 代入数据：成等差数列 由等差中项： 计算得：， 答案： 【解题大招04】等差数列最值求解技巧 技巧原理：利用数列单调性与项的正负分界，快速求前n项和最值，规避二次函数复杂计算。 核心结论： 1. ，求最大值：找最大使得 2. ，求最小值：找最大使得 【例4】等差数列中，，，求的最大值。 解析：通项： 令 答案： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等比数列的第二项为9，公比，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，所以是以2为公差的等差数列， 因为，所以， 所以. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列{}的各项均为正数， ，则 （    ） A．​ B．​ C．3 D．9 【答案】C 【详解】依题意，， ； ； 所以. 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 二、多选题 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 四、解答题 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. （2）由（1）知，， 则. 8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的首项为（），公比为， 对条件变形得 ， 由于，两边同除以得 ，即，解得或. 若，，解得，不符合首项为负的要求，舍去； 若，，解得，符合要求. 因此. 2．（2026·重庆·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求出数列的首项和公差，进而求出数列的通项公式，利用三角形边的关系列出不等式求解. 【详解】设等差数列的首项为和公差为， ，得， ，得， 解得，， 若长为的线段能构成三角形， 则，即， 解得， 又三角形的最短边，解得， 因为为正整数，所以， 故，共个值. 二、多选题 3．（2026·江苏扬州·三模）设正项数列的前n项和是，且，，下列选项中正确的有（     ）． A．若是等差数列，则 B．若是等比数列，则 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则 【答案】ACD 【分析】根据等差中项、等比中项的性质及数列的前n项和定义求解可判断各选项. 【详解】对于A，若是等差数列，∵，，则，故A正确； 对于B，若是正项等比数列，∵，，则，故B不正确； 对于C，若是等差数列，则，即，，故C正确； 对于D，若是等比数列，则，即， 又因为，， ，解得，∴，故D正确. 三、填空题 4．（2026·重庆永川·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______ 【答案】/0.5 【详解】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故.而， 故当时，；当时，； 当时，；故， 计算得，故. 5．（2026·甘肃张掖·二模）设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，若，则的值为__________． 【答案】15 【分析】由题可得，所以数列是等差数列，利用等差数列的性质和前项和公式化简求解. 【详解】因为对任意，都有，所以，即， 所以数列是公差为的等差数列，所以， 由，得， 所以，即，又， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为15. 四、解答题 6.（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 【答案】B 【分析】求出，结合二次函数对称性求解. 【详解】设等比数列{an}的公比为且， ，所以， 所以， 因为关于直线对称，所以， 所以集合 中的元素个数为个 2．（2026·河北唐山·二模）在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】差数列的公差为，根据条件推出，判断出当时，；时，，再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为，所以，因此，所以， 所以，， 因此，当时，；时，， 因为， 所以当时，，当时，， 当时，， 当时，因为，所以； 因为 ， 所以，当时，取得最大值. 二、多选题 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等差数列 B．若，则为等比数列 C．若，则，，成等差数列 D．若，则为等比数列 【答案】ABC 【分析】将代入，可得，从而得，即可判断Ａ；将代入，得，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得，分别求出，，的值，根据等差数列的定义判断C；将代入，求得，进而得，再根据等比数列的定义判断D． 【详解】对于A，当时，则，所以， 所以数列是每项均为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B可知当时，，所以， 所以，，， 所以，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，当时，则，所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，所以， 所以，此结果与有关，不是常数， 所以不是等比数列，故D错误． 三、填空题 4．（2026·福建南平·二模）已知等差数列的公差为，若对任意，，总存在，使得，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用通项公式得到与的关系，再利用恒成立问题求最小值. 【详解】由，可得， 解得. 设，由，可知. 而，则有，对恒成立. 又因为，则，则有，当且仅当时取等号. 所以最小值为. 四、解答题 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 【答案】(1)18 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比写出通项公式，直接计算子集中指定元素的和. （2）先利用子集元素和不超过全集元素和的性质，再结合等比数列前项和公式，证明全集元素和小于，从而推导出任意子集的元素和均小于. （3）若选①：先证充分性（集合相等则元素和相等），再用反证法结合（2）的结论证明必要性，通过递推分析集合的最大项，证明若元素和相等则两集合元素完全相同. 若选②：采用反证法，假设存在满足的集合，按的最大元素位置分类讨论，结合等比数列前项和公式推出矛盾，证明不存在这样的集合. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以． （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以． （3）若选①． 充分性：若，由定义，显然成立． 必要性：若，记集合的最大项为，集合的最大项为， 假设，则，所以， 由（2）知，，所以，矛盾． 假设，类似可得，矛盾． 所以． 记集合去掉后得到集合，记的最大项为，集合去掉后得到集合，记的最大项为 同上分析可得． 以此类推，集合和中元素完全相同，即． 若选②． 假设存在，使得． 记数列的前项和为，因为， 所以， 设的最大元素为，则， 若，则，矛盾． 若，设去掉后得到集合，则， 所以，矛盾． 综上，不存在，使得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $