第04讲 数列的通项与求和（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列的通项与求和核心考点，按求通项（叠加法、叠乘法等三类）和求和（错位相减、裂项相消等四类）构建知识框架，通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题溯源、分层训练等环节，帮助学生系统掌握递推转化与求和方法，突破高考高频难点。 讲义以数学思维和模型观念为指导，创新设计题型破译模块，如用待定系数法构造等比数列解决递推问题，规范错位相减“错位对齐—作差—化简”步骤。设置基础与重难分层练习，结合天津卷真题演练，培养学生运算推理能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高考实战得分能力。

第04讲 数列的通项与求和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的通项公式 知识点2 数列求和 题型破译 题型1 第一类求通项（叠加法 叠乘法 待定系数法） 【方法技巧】叠加法 叠乘法 待定系数法 题型2 求通项（同除以指数 取倒数法 取对数法） 【方法技巧】同除以指数 取倒数法 取对数法 题型3 求通项（已知通项公式与前项的和关系求通项问题） 【方法技巧】已知通项公式与前项的和关系求通项问题 题型4 求和（错位相减法） 【方法技巧】错位相减法 题型5 求和（分组求和法） 【方法技巧】分组求和法 题型6 求和（裂项相消法） 【方法技巧】裂项相消法 题型7 求和（并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和） 【方法技巧】并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 通项公式常规求法 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T12（5 分） 特殊递推求通项 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 数列各类求和方法（裂项、错位相减、分组求和 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 考情分析 通项与求和是天津高考数列大题核心模块，选择填空 5 分，解答题 18 题合计 12 分，难度中等偏上。必考两类题型：①由递推、前 n 项和推导通项；②多种求和方法综合计算。裂项、错位相减为高频考法，常结合不等式证明、最值设问，是拉开分数的关键板块，需熟练掌握各类题型固定解题模板。 复习目标 1. 熟练用公式法、关系快速求基础通项，规范检验； 2. 吃透累加法、累乘法、构造法三类递推通项模型，能识别题型选用对应方法； 3. 牢固掌握分组、裂项相消、错位相减三大求和模板，规范书写计算步骤； 4. 能结合不等式、参数范围完成综合设问，稳定拿下数列解答题全部分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的通项公式 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 构造数列法： 形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为 数列； （2）若时，数列{}为 数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成 以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 必记结论 求数列通项主要分为五类常见题型。已知前 n 项和 Sn，利用 an=S₁(n=1)，an=SnS (n1)(n≥2)，求出后务必检验 n=1 是否成立。已知递推形如 a (n+1)an=f (n)，用累加法；形如 a (n+1)/an=f (n)，用累乘法。形如 a (n+1)=pan+q，构造等比数列求解。已知等差、等比直接套用对应通项公式。 由数列前几项归纳通项，答案不唯一，要代入验证。遇到含 Sn 与 an 混合式子，一般把 Sn 转化为 an，或者把 an 转化为 Sn。注意 n 为正整数，区分 n=1 与 n≥2 的不同情况，避免漏掉检验步骤。 自主检测设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 知识点2 数列求和 几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 必记结论 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 自主检测已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 第一类求通项（叠加法 叠乘法 待定系数法） 例1-1（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 例1-2（2026·天津武清·模拟预测）已知数列满足． (1)数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； (2)已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 方法技巧 叠加法 叠乘法 待定系数法 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 【变式训练1-1】从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 【变式训练1-2】已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设，，求数列的前项和； （3）设，求的前项和； 【变式训练1-3】（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 题型2 求通项（同除以指数 取倒数法 取对数法） 例2-1设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 例2-2已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 方法技巧 同除以指数 取倒数法 取对数法 设递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． 【变式训练2-1】设数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)若，抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：当n为奇数时，. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，且，，成等差数列． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切正整数，． 【变式训练2-3】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 题型3 第三类求通项（已知通项公式与前项的和关系求通项问题） 例3-1（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 例3-2（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 例3-3（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 方法技巧 已知通项公式与前项的和关系求通项问题 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【变式训练3-1】（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【变式训练3-2】（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 题型4 求和（错位相减法） 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 例4-2（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 方法技巧 错位相减法 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【变式训练4-1】（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【变式训练4-3】（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 题型5 第二类求和（分组求和法） 例5-1（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 例5-2（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 方法技巧 分组求和法 ①（1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【变式训练5-1】（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【变式训练5-2】（2026·天津·二模）已知等差数列的公差为，数列满足． (1)求证：； (2)（ⅰ）若，求； （ⅱ）若，求证：． 【变式训练5-3】已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 题型6 求和（分裂项相消法） 例6-1（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 例6-2（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 方法技巧 分裂项相消法 （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【变式训练6-1】（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【变式训练6-2】（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 题型7 求和（并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和） 例7-1（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 例7-2定义：数列的“间隔和”数列为．若则（   ） A．22 B．30 C．34 D．36 方法技巧 并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和 并项求和适用于正负交替、周期变化的数列，将相邻两项或多项捆绑合并，化简后再整体求和，大幅简化运算。分段数列求和依据项数范围分段，数列表达式不同时分开计算，分别求出各段和再合并结果，注意分段临界点取值。先放缩后裂项是高考难点，无法直接裂项时，先对通项合理放缩，转化为可裂项的标准形式，再裂项相消求和。该方法多用于不等式证明，放缩尺度需适中，避免过度放缩导致题目出错，最后保留剩余项，准确得出范围结果。 【变式训练7-1】已知数列的前项和为，数列满足，，则（    ） A．1988 B． C．32 D． 【变式训练7-2】在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前100项和； （ii）记中最小的元素为，求. 【变式训练7-3】已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 5．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 3．等差数列中，已知公差，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在数列中，若，则的值为______． 5．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 6．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 7．求下列数列的一个通项公式： (1)2，7，12，17，… (2)5，50，500，5000，… 8．观察： … (1)第行是多少个数的和？和是多少？ (2)计算第行的值． 9．求数列，，，…，，…的前n项和． 10．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数列通项与求和，重点考查an​与Sn​互化，等差、等比基础通项求解。求和聚焦分组、裂项相消、错位相减三大核心方法。小题侧重基础运算，大题第一问求通项，第二问完成求和计算。注重n=1的验证，强调n为正整数的限制条件。考题立足基础，侧重公式与方法的灵活运用，检验学生式子变形、运算化简以及规范书写步骤的能力。 1．等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 3．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知正项数列的前项和满足，则__________. 5．已知数列中，，，且满足． (1)设，证明：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 6．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 7．已知递增等差数列，等比数列，数列，，，、、成等比数列，，. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和. 8．已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值. 9．已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 10．若的前项和为，，数列是公差为6的等差数列. （1）求的通项公式； （2）记，求证：为等比数列，并求前项和. 重难·创新演练 设题创新:创新常把通项条件隐藏在复杂递推中，需要构造转化；求和结合奇偶分段、子数列设置障碍。常将求和与不等式结合，考查放缩证明、最值范围。部分题型借助新定义包装数列模型，需要读懂题意提炼条件。易错集中在忽略首项检验、错位相减计算失误、裂项残留项处理不全。训练跳出模板套路，强化递推变形、分类讨论，提高复杂式子化简与严谨答题的应试水平。 1．（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 2．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 4．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 5．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则__________：__________. 6．已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则___________；___________； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________； （3）设数列的通项公式为：，，则___________. 7．已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 8．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 9．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 10．已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 数列的通项与求和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的通项公式 知识点2 数列求和 题型破译 题型1 第一类求通项（叠加法 叠乘法 待定系数法） 【方法技巧】叠加法 叠乘法 待定系数法 题型2 求通项（同除以指数 取倒数法 取对数法） 【方法技巧】同除以指数 取倒数法 取对数法 题型3 求通项（已知通项公式与前项的和关系求通项问题） 【方法技巧】已知通项公式与前项的和关系求通项问题 题型4 求和（错位相减法） 【方法技巧】错位相减法 题型5 求和（分组求和法） 【方法技巧】分组求和法 题型6 求和（裂项相消法） 【方法技巧】裂项相消法 题型7 求和（并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和） 【方法技巧】并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 通项公式常规求法 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T12（5 分） 特殊递推求通项 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 数列各类求和方法（裂项、错位相减、分组求和 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（5 分） 考情分析 通项与求和是天津高考数列大题核心模块，选择填空 5 分，解答题 18 题合计 12 分，难度中等偏上。必考两类题型：①由递推、前 n 项和推导通项；②多种求和方法综合计算。裂项、错位相减为高频考法，常结合不等式证明、最值设问，是拉开分数的关键板块，需熟练掌握各类题型固定解题模板。 复习目标 1. 熟练用公式法、关系快速求基础通项，规范检验； 2. 吃透累加法、累乘法、构造法三类递推通项模型，能识别题型选用对应方法； 3. 牢固掌握分组、裂项相消、错位相减三大求和模板，规范书写计算步骤； 4. 能结合不等式、参数范围完成综合设问，稳定拿下数列解答题全部分值。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的通项公式 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 构造数列法： 形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 必记结论 求数列通项主要分为五类常见题型。已知前 n 项和 Sn，利用 an=S₁(n=1)，an=SnS (n1)(n≥2)，求出后务必检验 n=1 是否成立。已知递推形如 a (n+1)an=f (n)，用累加法；形如 a (n+1)/an=f (n)，用累乘法。形如 a (n+1)=pan+q，构造等比数列求解。已知等差、等比直接套用对应通项公式。 由数列前几项归纳通项，答案不唯一，要代入验证。遇到含 Sn 与 an 混合式子，一般把 Sn 转化为 an，或者把 an 转化为 Sn。注意 n 为正整数，区分 n=1 与 n≥2 的不同情况，避免漏掉检验步骤。 自主检测设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 知识点2 数列求和 几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 必记结论 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 自主检测已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 题●型●破●译 题型1 第一类求通项（叠加法 叠乘法 待定系数法） 例1-1（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】(1)数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； (2)（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 【详解】（1）由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； （2）略 例1-2（2026·天津武清·模拟预测）已知数列满足． (1)数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； (2)已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 【答案】(1)（i），的最大值为，最小值为； （ii）若， ，若，. (2)4 【详解】（1）当时，，即，解得， 当时，，与相减得， 即，又因为，所以， ，所以， 因为， 故的最大值为， 因为，所以，所以 ， 故的最小值为. （ii）是递增数列，， ， 又因为，所以， 所以； 是递减数列，， ， 又因为， 所以， 所以， 由得或， 当时，若， 由累加法得 ， 符合上式，所以， 当时，若， 由累加法得 时，所以. （2）当时，.所以，不符合题意. 当时，数列为，此时，符合题意. 当时，， 因为 在上单调递增，所以 ， 所以当时，, 故不存在满足题意. 综上所述，. 方法技巧 叠加法 叠乘法 待定系数法 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 【变式训练1-1】从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)由（2）知， 故 ， 当时，； 当时， ； 综上可得. 【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列， 对恒成立，又，， ，，又，所以； （2）因为对恒成立， 所以，， ， 当时也成立， ， 又， ； （3）略 【变式训练1-2】已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设，，求数列的前项和； （3）设，求的前项和； 【答案】（1）；；（2）；（3）. 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列，，即， ，，解得：或（舍）； ，，即，解得：，； 当时，，整理可得：， ； 经检验，当时，满足， 综上所述：. （2）由（1）得：， ； （3）由（1）得：， ， 令，则其前项和； 令， 则其前项和， ， ，， . 【变式训练1-3】（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 题型2 求通项（同除以指数 取倒数法 取对数法） 例2-1设是数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， ，得， 所以 . 例2-2已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)由得，， 由于， 因此 . 【详解】（1）由可得： 时，， 相减可得，故， 当时，也符合上式，故， 由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2， 所以，则. （2）由和可得， 记，则， 所以， 当时，，当时，，此时单调递减， 而, 由于集合M的元素个数为2，所以，故. （3）略 方法技巧 同除以指数 取倒数法 取对数法 设递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． 【变式训练2-1】设数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)若，抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：当n为奇数时，. 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，， 所以数列为， 它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列； 偶数项组成以8为首项，公比为8的等比数列； 当为奇数，即时， ， ， ， ， . 【详解】（1）由，得， ，两式相减得， 当时，代入上式，求得， 所以. （2）由(1)知，， 则， 则 . （3）略 【变式训练2-2·变考法】【新思维】设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，且，，成等差数列． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切正整数，． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，即， 又，即， 所以， 由题意，，成等差数列，所以， 即，解得，满足， 所以，所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为； （2）由（1）可知，所以 （3），当时，成立； 当时，，所以， ， ， 所以对一切正整数， 【变式训练2-3】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； (3) 证明：由（2）得， 故 ， 所以. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； （2）略 （3）略 题型3 第三类求通项（已知通项公式与前项的和关系求通项问题） 例3-1（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 例3-2（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 例3-3（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 方法技巧 已知通项公式与前项的和关系求通项问题 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【变式训练3-1】（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 【变式训练3-2】（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由如下： 当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． (3)存在，，． 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，是周期为2的周期数列，理由略. （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 题型4 求和（错位相减法） 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，又，解得， 故，； （2）当时，， 当时，， 当时，， 故 ， 则 ， 令， 则， 故 ， 故， 当为奇数时，， 则； 当为偶数时，， 则； 综上可得：； （3）由，且， 故当时，，当时，， 又，故当时，，当时，， 当时，，，当时，，， 则 ， 由（2）得， 则， 即. 例4-2（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由， 得，解得或（舍去）； 故，； （2）由（1）知，，，则 所以 则； （3）因为， 所以， ， ， 所以. 则①， 则②， 由①②得： ， 所以. 方法技巧 错位相减法 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【变式训练4-1】（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 【变式训练4-2·变载体】（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)；． (2) (3)最大项为，最小项为． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意得方程组：， 得：即， 因为，解得，此时． 所以；． （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和． 因为奇数项． ， ， ， ， 所以．            偶数项 ． ， ， ． 所以. （3）， 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨． ①记偶数项为． ． 因为，所以． 故，即偶数项子数列是严格递减数列． 因此，在所有偶数项中，最大值为．        ②记奇数项为． ． 当时，，所以，即． 当时，，所以， 即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有 因此，在所有奇数项中，最小值为．         因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列最大项为，最小项为． 【变式训练4-3】（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【答案】(1)， (2) (3)证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）略 题型5 第二类求和（分组求和法） 例5-1（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，由得​： ， 即，解得，因此： . 对于等比数列，公比，，由得：， ​得，结合，解得，因此： . 综上，，. （2）因为，由上分析知，，所以，. （ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项， 因此，①. 当时，，将①代入得. 因此②. 用待定系数法构造等比数列：设， 则，与②比较得，解得, 所以， 故数列是公比为的等比数列，且首项. 所以，即， 又因为，所以，， 因此. （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列， 即第段：，项数；第段：，项数； 第段：，项数；；第段：，项数； 记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列， 所以 ， 对求和， ， 因此，. 例5-2（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)或 (3)显然偶数“归一数”必为形如的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设， 若为“归一数”，则且， 即且，当且时， ，当时， ，所以且， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“归一数”， 所以且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为，所以所有的奇数“归一数”的倒数为， 因为，所以， ， 即 【详解】（1）根据定义逐个计算的： （奇）：，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，是归一数； （偶）：，得，不是； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，不是. （2）由题意可知为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得，即， 因为，且，所以， 或，或，解得或， 所以，或， 所以的值为或. （3）略 方法技巧 分组求和法 ①（1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【变式训练5-1】（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 若要使得为数列中的项，则，即， 当时，上式不成立；当时，，上式也不成立； 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 【变式训练5-2】（2026·天津·二模）已知等差数列的公差为，数列满足． (1)求证：； (2)（ⅰ）若，求； （ⅱ）若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）16；（ii）证明见解析. 【详解】（1）因为等差数列的公差为，所以，； 所以 ， 即． （2）（ⅰ）由（1）得， 由上可得，则， 故 ， 故 ． 所以． （ⅱ）由得 当时，由， 所以，得； 当时，，得，符合上式. 所以. 时，时，； 时，； ，，， ，． 时，； ， ，， 时，； ，． 综上所述，． 【变式训练5-3】已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. （2） ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 题型6 求和（分裂项相消法） 例6-1（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则： 例6-2（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 方法技巧 分裂项相消法 （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【变式训练6-1】（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【答案】(1)； (2)； (3)对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）略 【变式训练6-2】（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【详解】， 则、 . 题型7 求和（并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和） 例7-1（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明：因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2)（i）；（ii） 【详解】（1）略 （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 例7-2定义：数列的“间隔和”数列为．若则（   ） A．22 B．30 C．34 D．36 【答案】C 【详解】当时，，由，则， 当时，，则， 所以， 所以， 故选：C 方法技巧 并项求和 先放缩后裂项求和 分段数列求和 并项求和适用于正负交替、周期变化的数列，将相邻两项或多项捆绑合并，化简后再整体求和，大幅简化运算。分段数列求和依据项数范围分段，数列表达式不同时分开计算，分别求出各段和再合并结果，注意分段临界点取值。先放缩后裂项是高考难点，无法直接裂项时，先对通项合理放缩，转化为可裂项的标准形式，再裂项相消求和。该方法多用于不等式证明，放缩尺度需适中，避免过度放缩导致题目出错，最后保留剩余项，准确得出范围结果。 【变式训练7-1】已知数列的前项和为，数列满足，，则（    ） A．1988 B． C．32 D． 【答案】B 【详解】因为数列满足， 所以 所以， 又因为，则，所以. 故选：B. 【变式训练7-2】在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前100项和； （ii）记中最小的元素为，求. 【答案】(1)； (2)（i）5050；（ii）. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为. （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为， 因此， ， 所以 . （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最小元素为1的子集有个. 同理得最小元素为3的子集有个， 最小元素为的子集有个， 则， 记， 则， 两式相减得， 所以. 【变式训练7-3】已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 【答案】(1)； (2) （i）由（1）得：，， ， ， 令，又，，则， 即，. （ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）略 （ii）记， 则，； 当时，， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； (3) 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）略 （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 5．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【详解】由题意 故选：D 2．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 【答案】B 【详解】由题意可知，被开方数是首项为1，公差为2的等差数列，所以该数列的通项公式为，令，解得， 故选：B. 3．等差数列中，已知公差，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意， 在等差数列中， ， ， . 故选：A. 4．在数列中，若，则的值为______． 【答案】27 【详解】由题意可得， 故， 故答案为：27 5．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 【答案】；. 【详解】（1）易得数列的前项的和； （2）观察可知数列5，55，555，…的通项为：， 故其前项的和为： 6．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 【答案】(1)； (2)不是等差数列； (3). 【详解】（1）由得，，， ，， 所以. （2）由（1）知，所以数列不是等差数列. （3）当时，； 当时，； 综上. 7．求下列数列的一个通项公式： (1)2，7，12，17，… (2)5，50，500，5000，… 【答案】(1) (2) 【详解】（1）2，7，12，17，…， 所以. （2）5，50，500，5000，…, 所以. 8．观察： … (1)第行是多少个数的和？和是多少？ (2)计算第行的值． 【答案】(1)第行是个数的和，和为 (2) 【详解】（1）根据规律可知，第行有个数， 和为. （2）第行的值为. 9．求数列，，，…，，…的前n项和． 【答案】 【详解】由题意可得： ， 所以. 10．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意知，并且 ．    ① （2）解：将化为 ．    ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． （3）解：由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数列通项与求和，重点考查an​与Sn​互化，等差、等比基础通项求解。求和聚焦分组、裂项相消、错位相减三大核心方法。小题侧重基础运算，大题第一问求通项，第二问完成求和计算。注重n=1的验证，强调n为正整数的限制条件。考题立足基础，侧重公式与方法的灵活运用，检验学生式子变形、运算化简以及规范书写步骤的能力。 1．等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 2．定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 3．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 4．已知正项数列的前项和满足，则__________. 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 5．已知数列中，，，且满足． (1)设，证明：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) 证明：， ，所以，，即， 又 所以数列是以为首项，公差的等差数列； (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，所以， 整理可得，所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以，则， 所以① ② ①－②得． ． 6．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，解得或（舍），故. 又，故，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 7．已知递增等差数列，等比数列，数列，，，、、成等比数列，，. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）（） 【详解】（1）由已知，，. 解为或0（舍）， ，，，解， （2）     8．已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值. 【答案】（1），（2）（3） 【详解】解：（1）依题意：， 即，解得： 所以， （2）， ， ， 上面两式相减，得： 则 即 所以， （3） ， 所以 由得，， 即 9．已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． （2）（ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 10．若的前项和为，，数列是公差为6的等差数列. （1）求的通项公式； （2）记，求证：为等比数列，并求前项和. 【答案】（1） （2）由（1）知：， 当时，， 故为公比为8的等比数列. 由等比数列求和公式，. 【详解】（1）依题意：， 从而， ， ； （2）略 重难·创新演练 设题创新:创新常把通项条件隐藏在复杂递推中，需要构造转化；求和结合奇偶分段、子数列设置障碍。常将求和与不等式结合，考查放缩证明、最值范围。部分题型借助新定义包装数列模型，需要读懂题意提炼条件。易错集中在忽略首项检验、错位相减计算失误、裂项残留项处理不全。训练跳出模板套路，强化递推变形、分类讨论，提高复杂式子化简与严谨答题的应试水平。 1．（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由. 所以. 故选项C正确. 2．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当时，，. 时，，. 是以为首项，公比的等比数列，. ，A选项错误. ，B选项错误. ，，是以1为首项，公比为4的等比数列. ，C选项错误. ，. D选项正确. 3．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 4．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 5．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则__________：__________. 【答案】 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 6．已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则___________；___________； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________； （3）设数列的通项公式为：，，则___________. 【答案】 【详解】（1）由题，，，两式作差可得，即， 因为，则，又，解得， 所以，解得，所以. 因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为， 由于，可得，，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 所以数列的前项中，有项，有项， 所以； （3）由（1），，， 设，即， 则， 则， 则， 两式作差可得 即， 故. 7．已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 8．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. (3). 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）略 （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 9．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【详解】（1）略 （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 10．已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 【详解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然为递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）略 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $