重难点培优04 数列求和（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖公式法、分组、并项、裂项相消、错位相减、倒序相加等六大方法，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构，通过考点梳理、技巧通法指导、真题模拟训练，帮助学生构建系统知识网络，突破求和难点。 讲义突出分层教学与技巧细化，如裂项相消强调“前三后二”书写规范培养数学思维，错位相减“错位对齐”步骤提升运算能力，设置重难巩固与创新提升分层练习，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

重难点培优04 数列求和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 分组求和（★★★★） 4 题型02 并项求和（★★★★） 4 题型03 等差型裂项相消（★★★★★） 5 题型04 根式型、指数型、其它型裂项相消求和（★★★★） 7 题型05 错位相减求和（★★★★★） 8 题型06 倒序相加求和（★★★★） 10 03 实战检测·分层突破验成效 11 重难知识巩固 11 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 公式法 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02 几种数列求和的常用方法 1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点03 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 题型精研·技巧通法提能力 题型01 分组求和 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 2．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 4．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 题型02 并项求和 【技巧通法·提分快招】 1．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 3．已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 5．已知为数列的前项和，，，，且，. (1)求； (2)求的值. 题型03 等差型裂项相消 【技巧通法·提分快招】 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应. （1）； （2）； （3）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 3．（2026·山西朔州·二模）设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：. 4．已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式; (2)若求数列{}的前n项和． 5．（2026·陕西·二模）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型04 根式型、指数型、其它型裂项相消求和 【技巧通法·提分快招】 （1） （2） （3） （4） 1．已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 2．设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 4．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知正项数列的前n项和为，满足（）． (1)求和； (2)若，求证：（）． 6．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 7．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 题型05 错位相减求和 【技巧通法·提分快招】 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段检测）已知数列的满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设数列，前n项和为，求. 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）数列满足，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 5．（2026·山西吕梁·三模）定义函数为数列的“生成函数”，且． (1)求的通项公式； (2)求． 6．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型06 倒序相加求和 1．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 4．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 5．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·福建宁德·二模）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 2．已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)记，数列的前项的和为，求证：. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 5．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知为数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 6．（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 8．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 11．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 12．已知数列的前项和满足，且. (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； 13．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，公差，已知成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前项和． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 15．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 17．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 18．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 19．已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 创新能力提升 1．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，，求数列的前项和. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 5．已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 数列求和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 分组求和（★★★★） 4 题型02 并项求和（★★★★） 7 题型03 等差型裂项相消（★★★★★） 11 题型04 根式型、指数型、其它型裂项相消求和（★★★★） 15 题型05 错位相减求和（★★★★★） 21 题型06 倒序相加求和（★★★★） 26 03 实战检测·分层突破验成效 29 重难知识巩固 29 创新能力提升 44 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 公式法 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02 几种数列求和的常用方法 1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 5、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点03 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 题型精研·技巧通法提能力 题型01 分组求和 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 2．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过构造辅助数列，将原递推式转化为 ，再利用配凑法证明是等比数列； （2）先由 (1) 求出，将数列求和拆分为等差与等差乘等比两部分，对后者用错位相减法求和，再合并得到. 【详解】（1）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 4．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据等差数列基本量的计算，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由题意得，解得，则，结合等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 两式相减，得， ，代入，得，解得， 所以； （2）对任意， ，即， 而，故，由题意可知， 于是 即. 题型02 并项求和 【技巧通法·提分快招】 1．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以. 所以. 3．已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 【答案】(1) (2) (3)3120 【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. （2）， （3）， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 4．（2026·福建厦门·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为 ，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ， 因为，， 可得，， 所以，所以数列的前2n项的和为． 5．已知为数列的前项和，，，，且，. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2)110 【分析】（1）先判断数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，先确定这两个等差数列的首项，可通过​求出偶数项的首项分别推导奇数项和偶数项的通项公式，再整合得到​的表达式； （2）先根据​的通项公式求出前n项和​的表达式，利用分组求和法计算该和. 【详解】（1）依题意，，，则， 又，所以， 又，所以，解得， 则数列中所有的奇数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即n为奇数时，， 数列中所有的偶数项是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，即为偶数时，， 所以. （2）由（1）可知，，， 则 . 题型03 等差型裂项相消 【技巧通法·提分快招】 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应. （1）； （2）； （3）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式. （2）使用裂项相消法即可求得的前项和. 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 3．（2026·山西朔州·二模）设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用数列是等差数列，结合首项和公差求出，再得到的表达式．当时，由求出，最后检验也适合该公式； （2）由（1）中的通项公式化简，把拆成两个相邻分式之差，得到可以逐项相消的形式．对前项求和后可得，再由推出． 【详解】（1）因为，所以，         又因为是公差为3的等差数列，所以，         即，         当时，，         又适合上式，所以的通项公式为. （2）由（1）知，     所以， ，，所以. 4．已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式; (2)若求数列{}的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则数列为等差数列， 又，，数列的公差为， ，所以． （2）由（1）知，所以， 所以 ． 5．（2026·陕西·二模）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）运用等比数列的定义求得，在求解通项公式，注意递推时，需要检验的情形； （2）整理可得，利用裂项相消法，注意加减后保留项即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，． （2）由于， 所以 题型04 根式型、指数型、其它型裂项相消求和 【技巧通法·提分快招】 （1） （2） （3） （4） 1．已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用，，成等比数列列出关于公差的方程，再利用等差数列的通项公式即可； （2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简，最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 2．设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 【答案】 【分析】由题意根据等差数列通项公式求法可得，进而可得，根据裂项相消法可得，结合题意列不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即．所以， 故，， 所以． 由，得，解得． 又，故的最小值为． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得，再求出，从而可得，然后用裂项相消法求和. 【详解】（1）在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，，， 则， 所以. 4．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件变形可得，进而可得是等差数列，运算得解； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1），， 是以1为首项，1为公差的等差数列. ， . （2）， . 5．已知正项数列的前n项和为，满足（）． (1)求和； (2)若，求证：（）． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】（1）应用计算得出，进而得出通项公式及前n项和； （2）应用裂项相消法求解证明. 【详解】（1）（），①， （），②， 由②-①得（）， 即． 又，所以，． 又，解得或0（舍）， 故，． （2）由（1）可知，则      于是有： ． 6．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 7．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【详解】（1）证明：由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 题型05 错位相减求和 【技巧通法·提分快招】 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)等差数列公差，等比数列公比； (2)，。 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）可先由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【详解】（1）由题意，可得， 由，可得：， 联立，解得：或 因为， 所以等差数列公差，等比数列公比； （2）由（1）可得，.，故， ， ， 两式相减得： ， 有， 所以． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用来求通项公式，但要注意首项是否满足； （2）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由题意得：. 当时，， 因为，不满足上式，所以 （2）由（1）可得 所以当时，，① ，② ①②，得， 所以可得：， 当时，也满足上式，即. 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段检测）已知数列的满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设数列，前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造数列，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用“错位相减求和法”可求数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以. （2）因为， 所以， 故， 两式相减得：， 所以. 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）数列满足，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）对通项公式进行变形，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可； （2）利用分组求和法、错位相减法、等差和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； 所以，则； （2）由（1）可知，则， 令， ， 作差得：， ． 令， 则， ． 5．（2026·山西吕梁·三模）定义函数为数列的“生成函数”，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出的前项和，再结合数列的性质求出； （2）先求出，再利用错位相减法求出． 【详解】（1）由已知可得， 故的前项和为， 当时，， 当时，， 满足， ． （2）由可得， 令，则， 则， ， ． 6．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 题型06 倒序相加求和 1．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 3．（24-25高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【答案】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 4．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式； （2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 5．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·福建宁德·二模）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）解法一：利用等比数列与等差数列的前项和公式即可求得结果；解法二：根据分组并项求和与等差数列前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）因为，故， 又，得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，故， 解法一：； 解法二： . 2．已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)记，数列的前项的和为，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用递推关系变形可证明等差数列； （2）利用裂项相消法求和可证明不等式. 【详解】（1）由递推关系，两边取倒数可得：， 整理可得：，所以数列为等差数列； （2）由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即，即， 又因为， 所以. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 所以等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为    ． （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为， 其中， ， 因此，即数列的前项和为． 5．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知为数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由计算得出数列是等差数列，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）根据分组求和结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由题可得①， 所以②， ②－①得③， 所以④， ④－③得，所以， 所以数列是等差数列． 当时，由，解得， 又，故数列的公差为1， 所以． （2）因为， 所以 ． 6．（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件结合等比数列性质可确定等比数列公比，进而求出，即可求得答案； （2）结合（1）的结论可得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时， ①， ②， ①－②得，即， 由于数列为等比数列，则等比数列公比，所以， 即得，解得， 所以数列是首项，公比的等比数列，通项公式为； （2） ， . 7．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 8．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式求出，再结合等差数列的函数特性可得，进而求解即可； （2）根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即， 则，即. （2）由， 则， 两式相减得，， 则. 9．（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件式变形得，构造常数列求得，再利用时推导出，确定为等比数列，进而得到通项公式； （2）先由（1）求得，将裂项为，再通过裂项相消法求和，化简得到的表达式． 【详解】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 整理得． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【详解】（1）证明：由题意,在数列中,， ∴,，   又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）在中，   ， ， 两式相减得， ， ∴ 11．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)见解析 (3). 【分析】（1）利用递推关系，赋值首项和第二项的方程组求解，再通过单调性确定一组解即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，来求解通项公式，即可证明等差数列； （3）利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）由可得：， 代入消元得：，解得或， 因为当时，，不满足递增数列，故舍去， 而当时，，满足递增数列， 所以； （2）证明：由可得：， 又因为，所以是方程的两个根， 而解方程可得：， 根据递增数列，所以 即，所以数列为等差数列； （3）由，可得， 所以. 12．已知数列的前项和满足，且. (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值； 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，，进而得到，，可得，即可求证，再求解通项公式即可； （2）先得到，再利用裂项相消法求出，进而解不等式即可. 【详解】（1）证明： 由， 当时，， 两式相减得，，即， 当时，， 所以， 可得，所以为等差数列， 又，得，又，所以公差， 则. （2）由 ， 则 ， 要使，即，解得，所以最小正整数的值为13. 13．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，公差，已知成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列的前项和． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由可得，结合等差数列通项公式及等比数列定义计算求解即可； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）由，得 ，解得， 故． 将数列记为， 因为为等比数列，所以公比， 所以．① 又，② 由①②，得． （2）因为， 所以， 所以 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 15．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 17．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 18．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 19．已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 创新能力提升 1．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 2．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式； （2）先求出，再利用分组求和法进行求解： （3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和. 【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且， 所以，解得， 所以； 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以. （2）由（1）得， 则 则 （3）由（1）得 ， 则 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用. 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）证明： 由，得， 所以， 即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以， ， 两式相加，得， 所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列， 所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以正整数的最大值为7. 5．已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案. （2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到 【详解】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有 当为奇数时，为等差数列，， 当为偶数时，为等差数列，， （2）， ，利用倒序相加，可得 ， 解得， ， 6．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式同时取以2为底的对数，再结合等比数列定义即可求证； （2）由题意确定插入多少项，再结合通项公式，错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）由递推关系 ，且 ，可知所有 ， 对等式两边取以2为底的对数： ， 等式两边同时加 ，整理得： ， 即， 当时，首项为 ， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，得证； （2）由（1）得 ，结合 ​， 得： ， 根据新数列 ： 到原数列第 项 结束时， 总项数为：原 项加插入的 项，共计项， 计算得：，， 即前190项恰好是1个 ，2个，，19个 ​，剩余 项均为插入的 ， 因此： 即 ， 令， 则， 两式相减可得， 即， 所以， 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $