4.5.2 用二分法求方程的近似解教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过数学史引入，联系函数零点存在定理，以问题串引导学生从精确解过渡到近似解，构建“缩小范围—逼近零点”的学习支架。 以问题串驱动探究，结合信息技术实践操作，体现“数学思维”的推理能力和“数学语言”的应用意识，如例2用计算工具逐步缩小区间求近似解，培养学生逻辑推理与创新意识，帮助教师高效落实教学重点，提升学生解决实际问题的能力。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 第一学期 课题 4.5.2 用二分法求方程的近似解 教学目标 认识对于在区间象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。体会给定精确度，通过取区间的中点，若，则；若，则零点在相应小区间内，重复此步骤直至，即可求出方程在区间内的近似解，也即方程的近似解，从而学会借助计算工具求函数的零点近似值。 教学内容 教学重点：1.理解二分法原理，对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2.掌握用二分法求方程的近似解的步骤。教学难点：1.理解为何区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值，以及如何将区间一分为二直到满足精确度的要求。2.在实施二分法步骤时，如何判断零点所在的新区间，例如当取区间中点时，若，则；若，则零点在新区间内，以及理解当时，区间内任意一点可作为函数零点的近似值。 本课涉及的基本关系有：。 教学过程 一．引入 早在十九世纪，数学家们在求解代数方程时就遇到了巨大挑战，大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解。这种不断缩小范围逼近解的思想，在数学史上具有重要地位。今天，我们面对函数在区间内存在的零点，同样面临如何求出这个零点的问题。一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。对于在区间上图象连续不断且的函数，我们可以通过取区间中点的方法逐步缩小零点所在范围。若中点满足，则；若，则零点在区间的左半部分。重复上述步骤，直到区间长度满足，即可得到零点的近似值，从而求得方程的近似解。 回顾一元二次方程的求根公式，我们能够直接算出精确解。然而，大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解。我们已经知道，函数在区间内存在一个零点。进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。取区间的中点2.5，用计算工具算得。因为，所以零点在区间内。再取区间的中点2.75，用计算工具算得。因为，所以零点在区间内。重复上述步骤，零点所在的范围会越来越小。当精确度为0.01时，因为，所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将2.53125作为函数零点的近似值，也即方程的近似解。 问题1：为什么要将区间一分为二？自答：通过不断地把零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。问题2：如何判断零点落在哪个更小的区间内？自答：取区间的中点，若，则；若，则零点位于中点左侧的区间内，否则位于右侧的区间内。问题3：何时终止取中点操作？自答：当满足给定精确度，即区间端点满足时即可终止。 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 接下来，我们将进一步提炼二分法求方程近似解的具体步骤，并探讨其在实际应用中的操作细节。 在明确了函数零点与方程解的对应关系后，本环节的核心任务是探索如何求出无法用公式求解的方程的近似解。我们已经知道，函数在区间内存在一个零点。大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解。基于这一认知，我们通过问题串引导学生逐步构建二分法求方程近似解的完整逻辑链条。 问题4：既然无法求出精确解，如何将零点所在的范围尽量缩小，从而得到符合精确度要求的近似值？ 答：一个直观的想法是，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。 问题5：取中点后，如何判断零点具体位于缩小后的哪个更小的子区间内？ 答：取区间的中点2.5，用计算工具算得。因为，所以零点在区间内。再取区间的中点2.75，用计算工具算得。因为，所以零点在区间内。由于，所以零点所在的范围变小了。 问题6：如果重复上述步骤，零点所在的范围会如何变化？何时可以停止取中点并确定近似值？ 答：如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小。这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值。为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值。例如，当精确度为时，因为，所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似解。 问题7：对于一般的函数，这种通过不断取中点缩小零点所在区间的方法应如何严谨定义？ 答：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 在推导二分法求方程近似解的具体步骤时，教师依据教材素材带领学生进行操作演绎。已知函数在区间内存在零点。第一步，取区间的中点2.5，计算中点函数值并发现，由此判定零点位于区间内。第二步，继续取新区间的中点2.75，计算后发现，零点范围缩小至。随着重复步骤的推进，零点所在范围不断缩小。当达到预设的精确度要求时，即可停止操作。例如，当精确度为0.01时，经过多次计算得到区间，此时端点距离满足，区间内任意一点均可作为零点近似值，特别地，可将端点作为零点的近似值，从而得到方程的近似解。整个推导过程体现了无限逼近的极限思想与有限次计算的算法逻辑的结合。 通过上述推导过程，可以归纳出运用二分法求方程近似解的一般规律。对于在区间上图象连续不断且满足的函数，若存在零点，则可通过二分法逐步逼近。具体而言，取区间的中点，计算的值。若计算发现，则此时必定有，即直接求得了零点；若，则说明零点位于区间内，将此区间作为新的目标区间继续重复取中点操作。通过不断地一分为二，当所得区间的长度满足时，该区间内的任意一点均可作为满足精确度的零点近似值，进而求得对应方程的近似解。这一规律不仅适用于求解函数的零点，也适用于求解方程的近似解，为解决无法用公式直接求解的方程问题提供了通用的算法路径。 理解了二分法的基本原理后，我们通过具体的例题来巩固这一方法。二分法求方程近似解的关键在于，将方程的解转化为函数的零点，并通过不断取区间中点，逐步缩小零点所在的范围，直到区间长度达到精确度要求。 例1：请结合二分法的基本原理，思考并回答以下三个小问。 第一小问：二分法求方程近似解的理论基础是什么？ 第二小问：在给定精确度的情况下，用二分法求方程近似解的步骤是什么？ 第三小问：所有函数的零点都可以用二分法来求其近似值吗？为什么？ 对于第一小问，二分法的理论基础是函数零点存在定理。对于第二小问，其步骤为：先确定零点所在区间，然后取区间中点，计算中点函数值并判断其与区间端点函数值乘积的符号，从而缩小区间，如此重复，直至区间长度小于精确度。对于第三小问，并非所有函数零点都适用二分法，只有满足在区间上图象连续且端点函数值异号的函数才适用。 例2：借助信息技术，用二分法求方程的近似解(精确度为0.1)。 解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象，并列出它的对应值表。 观察图象或表格，可知，说明该函数在区间内存在零点。 取区间的中点，用信息技术算得。 因为，所以。 再取区间的中点，用信息技术算得。 因为，所以。 同理可得，，。 由于，所以，原方程的近似解可取为。 另解：由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤。因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算。有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解。 本节课我们学习了二分法，它是一种通过不断将区间一分为二来寻找函数零点的方法。在定义回顾方面，二分法要求函数在给定区间内连续且两端函数值异号，从而保证零点的存在性。主要形式上，我们通过反复取区间中点并判断函数值符号，逐步缩小零点所在的区间范围。应用回顾中，二分法可用于求方程的近似解，当区间长度小于预设精度时，即可取区间内任意点作为零点的近似值。这种方法体现了逐步逼近的数学思想。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $