1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念，涵盖元素与集合的“属于”关系、集合的确定性互异性无序性、分类及表示方法。通过“新数运动”笑话导入，以问题串（如班级同学能否构成集合）引导学生从具体实例抽象概念，搭建学习支架。 亮点在于问题驱动探究，用“身材较高的同学”等实例培养数学眼光的抽象能力，通过调整座位讨论无序性发展数学思维的推理意识，多种表示法强化数学语言的符号意识。助力学生主动建构知识，为教师提供结构化探究式教学方案。

§1.1集合的概念 教学目标 1.了解集合的有关概念，理解元素与集合的“属于”关系，掌握集合中元素的性质特征； 2.熟悉常用数集的专用符号，集合的分类； 重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合 难点 用描述法表示集合 教学过程 1、 引入新知 美国在上世纪60年代进行新数运动，从幼儿园就开始讲授集合。某天，一位教授在餐桌上问他正在上幼儿园的女儿：“今天在学校学了什么？”女儿说：“集合”。教授问：“集合是怎么讲的？”女儿回答：“老师让班里所有的男生站起来，所有站起来的男生就构成了一个集合，老师让班里所有的女生站起来，所有站起来的女生构成一个集合。”于是，教授问：“那所有的土豆能构成一个集合吗？”女儿想了想说：“如果土豆能站起来的话，就可以构成集合。” 【师：其实，明白什么是集合的同学都知道这是一个笑话，但是我看有的同同学没有笑，说明同学们也不太懂所有的土豆能否构成一个集合。那今天就让我们一起来研究什么是集合？】板书标题“集合的概念” 2、 探究新知 （一）什么是集合？ 解决什么是集合的问题串示意图： 问题1 问题2 问题3 问题1 集合的特性 问题3 问题4 问题5 问题1 什么是集合？ 【师：请同学们带着问题研读教材第2页，并把集合的有关概念勾画出来。】板书集合的有关概念 问题2 以班级同学为例，哪些可构成集合？（请学生回答） ①我们班的全体同学 ②我们班姓张的同学 ③我们班身材较高的同学 ④我们年龄大的同学 …… 【师：要回答这个问题就先请同学们先研究以下问题】 问题3 以上每一例，你能否确定它的组成对象是什么？第①、②例和第③、④例什么不同? 【预设：第①例的组成对象是我们班的每一位同学，第②例的组成对象是我们班里姓张的同学；第③和第④例找不到它的组成对象。不同：第①、②例能确定它的组成对象，第③、④例不能确定它的组成对象。】 【师：同学们通过刚刚研读教材知道，一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。但很显然这是一个原始的、不定义的概念，只是对集合的描述性说明。也就是说我们仍然没有找到可判断出可否构成集合的有效方法。而我们通过对问题3研究，可知道第①、②例的组成对象是确定的，第③、④例的组成对象是不确定的。也就是说我们知道第①、②具体有哪些人，而③、④例我们并不知道有哪些人，因此我们找到了判断是否可构成集合的方法，给它一个名称就叫做集合的确定性，也就是说集合中的每一个元素都是确定的。我们今后可以根据集合的确定性来判断是否可构成集合。所以第①和第②例是集合，而第③和④例不是集合。 集合，我们常用大写字母……来表示；元素，我们常用小写字母……来表示。如果是集合中的元素，就说属于,记作,如果不是集合中的元素，就说不属于，记作。例如：我们用表示例②，则王明属于这个集合，张三不属于这个集合。】板书集合的确定性，集合和元素的字母表示 问题4 在第①例和第②例中，每一例组成对象是否相同？ 问题5第①例，我们班的全体同学组成了一个集合，那调整座位后，它是否还是集合？它是否发生了变化？ 【师：通过问题4的研究，我们知道，第①例中，它的组成对象是不同的，第②例中，它的组成对象也是不同的。因此，我们总结出，集合具有互异性。即集合中的每一个元素都不相同。通过问题5的研究，我们知道，我们班的全体同学组成一个集合，给同学们调整座位后，我们班的全体同学依旧组成一个集合，这个班级还是原来的班级，这个集合还是原来的集合，这就说明改变集合中元素的顺序位置，集合不改变。因此集合具有无序性，即集合中的元素没有先后顺序。】板书集合的互异性和无序性 问题6 我们班的全体同学与夜空中的星星，这两个集合有什么不同？ 【预设：我们班同学的个数是有限的，而星星的个数是无限的。】 【师：因此，我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，把含有无限个元素的集合叫做无限集，把不含任何元素的集合叫做空集，这就是集合的分类。】板书集合的分类 【由此我们就明白了什么集合，不要忘记我们为什么而出发，那同学们所有的土豆能构成一个集合吗？它们能构成一个集合，那现在请同学们打开第3页最上面，熟悉常用数集及其记法】 （二）集合有哪些表示方法？ 问题集合有哪些表示方法？请学生研读教材第3页和第4页内容，并回答问题。 1.列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 例：组成英语单词的字母构成的集合。 注意：（1）要把集合中的元素都列举出来，写在“{ }” （2）元素间用“，”分隔 （3）元素不重复 （4）元素无顺序 （5）适用情况 ①集合是有限集，元素又不太多 ②集合元素较多，排列呈现一定的规律，可列出几个元素为代表，其他元素用省略号表示 例：不大于100的自然数构成的集合{0，1，2，……，100} ③有规律的无限集 例：整数构成的集合{……，-2，-1，0，1，2，……} 【师:那夜空中的星星能不能逐一的列举出来呢？不能，所以我们必须要学习新的方法来解决问题。】 2.描述法： 把集合中所有元素的公共属性描述出来。 描述法有两种表述形式： ①数式形式 一般地，设是一个集合，我们把集合中所具有共同特征的元素所组成的集合表示为：在大括号内先写上, 再画一条竖线，在竖线后写出元素具有的共同特征。 例如：由不等式的所有解组成的集合，可表示为|。例如：偶数集表示| ，奇数集表示为|。 ②语言式 例如：由所有直角三角形组成的集合，可表示为直角三角形。 注意：（1）该集合的元素的代表符号是还是别的符号 （2）共同特征必须是明确的 （3）若元素范围为R，“R”可以省略不写 （4）适用情况：无限集或元素较多的有限集 3.图示法：画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示不需给具体元素的抽象集合。对已给出了具体元素的也当然可以用图示法来表示。 例：集合用图示法表示为 1 2 3 4 5 4.数轴法： 表示 3、 应用新知 例1 判断下列对象是否能构成集合？ （1）在平面内到定点的距离等于定长的所有点 （2）高一年级的学习能手 例2分别用描述法和列举法表示下列集合 （1） 方程的解组成的集合 （2） 大于5且小于15的所有自然数 解：（1）描述法 列举法 （2） 设，描述法 列举法 能力提升 集合 ,,则等于多少？ 提示：; 4、 回顾新知 1.判段能否构成集合的方法——集合的确定性 2.集合的特性：确定性、互异性、无序性 3.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、数轴法 五、作业 必做题 教材P5复习巩固 第1题和第2题 选做题 教材P6综合运用 第3题和第4题选一个来做 六、板书设计 §1.1集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 知识点： 集合的三个特性：确定性、互异性、无序性 集合的分类：有限集、无限集、空集 学科网（北京）股份有限公司 $