25.1一元二次方程的概念(课件)2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式、根及建模，通过雷锋雕像设计情境引出比例关系列方程，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等问题，引导学生对比一元一次方程，搭建从具体到抽象的概念学习支架。 其亮点在于以雕像设计、矩形小路等实际情境培养数学眼光，通过方程共同特点分析的问题链发展数学思维，用例1判断方程、例3化一般形式等实例强化数学语言。帮助学生提升抽象能力与模型意识，为教师提供结构化教学流程和丰富实例，提高教学效率。

人教版九年级上册 第二十五章一元二次方程 25. 1 一 元二次方程的概念 情境导入 雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代 又一代的中国人.在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么 设计的吗? 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC( 腰 以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉 美感，假设如图所示的雕像高AB为2m, 下部BC=xm, 请列出方程. (2-x)m x m B 解：列方程得 x²=2(2-x), 整理得 x²+2x-4=0. ① 想一想，上述方程与以往我们学过 的方程有什么联系和区别? 等量关系： AC:BC=BC:AB 即BC²=AB·AC 情境导入 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm, 宽50cm, 在它的四角各切去一个同 样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果 要制作的方盒的底面积为3600cm ², 那么铁皮各角应切去多大的正方形? 解：设切去的正方形的边长为 xcm, 则盒底的长为(100-2x)cm, 宽为(50-2x)cm, X 根据方盒的底面积为3600cm², 得 (100-2x)(50-2x)=3600. 化简，得 3600cm² 50cm 100cm 该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少? x²-75x+350=0② 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根 据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组 织者应邀请多少个队参加比赛? 解：设比赛组织者应邀请x 个队参加比赛，根据题意， 列方程： 化简，得： x²-x-56=0 ③ 该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少? 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次 方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢? x²+2x-4=0① x²-75x+350=0 ② 特点： ①都是整式方程； ②都只含一个未知数； x²-x-56=0 ③ ③未知数的最高次数都是2. 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一 元二次方程. ax² 是二次项， bx是一 次项， c是常数项. a是二次项系数； b是一次项系数； ◆一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0(a,b,c 为常数， a≠0) 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 ◆一元二次方程的概念 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 想一想为什么一般形式中ax²+bx+c=0要限制a≠0,b、 c 可以为零吗? 当 a=0 时 当 a≠ 0, b=0 时 ， 当 a≠ 0, c=0 时 ， 当 a≠0, b=c=0 时 ，□ 总结：只要满足a≠0 , b,c 可以为任意实数. bx+c=0 ax²+c=0 ax²+bx=0 ax²=0 例 1 下列选项中，是关于x的 一 元二方程的是 (C) 不是整式方程 B.3x²-5xy+y²=0 C.(x-1)(x-2)=0 D.4x²-1=(2x+3)² 化简整理成 化简整理成 x²-3x+2=0 12x+10=0 方法指导： 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整 式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程 中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2. 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 含两个未知数 (1)x²+x=36 (3)x+3y=36 (5)x+1=0 (7)ax²+bx+c=0× (8)(√x)²-2√x-6=0 (2)x³+x²=36 × 注意：未限定a≠0 X 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 判断下列方程是否为一元二次方程? 新知探究 探究点1:一元二次方程的概念 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程? (1)ax²-x=2x²; (2)(a-1)xlal+1-2x-7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x²-x=0, 所以当a-2≠0, 即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2由/al+1=2, 且a-1≠0 知，当a=-1 时，原方程 是一元二次方程. 方法指导：用一元二次方程的定义求字母的值的方法 根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的 方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值. 新知探究 变式：方程(2a—4)x²-2bx+a=0, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程? (2)在什么条件下此方程为一元一次方程? 解： (1)当2a-4≠0, 即a≠2 时，是一元二次方程； (2)当a=2 且b≠0 时，是一元一次方程. 方法指导：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系： 1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数； 2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1,一元二次 方程未知数最高次数是2. 探究点1:一元二次方程的概念 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax=b(a≠0) ax²+bx+c=0 (a≠0) 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 新知探究 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系? 探究点1:一元二次方程的概念 新知探究 例3将方程3x(x-1)=5(x+2 化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常 数项. 解：去括号，得 3x²-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得 3x²-8x-10=0. 其中二次项系数是3;一次项系数是-8;常数项 是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 探究点1:一元二次方程的概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. x -4 -3 -2 -1 0 工 2 3 4 x²-x-6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 新知探究 探究点2:一元二次方程的根 ◆一元二次方程的根 试一试：下面哪些数是方程 x²-x-6=0 的解? -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4 探究点2:一元二次方程的根 例4 已知关于x的一元二次方程x²+ax+a=0 的一个 根是3,求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x²+ax+a= 0, 得 32+3a+a=0, 9+4a=0, 4a=-9, 方法指导：已知方程的根求字母的值，只需要把方程 的根代入方程，将得到一个关于这个字母的一元一次 方程，求解这个一元一次方程，就能得到字母的值. 新知探究 变式：已知a是方程x²+2x—2=0 的一个实数根，求 2a ²+4a+2018 的值. 解：由题意得：a²+2a-2=0 即a² +2a=2. 2a²+4a+2018 =2(a²+2a)+2018 =2?2 2018 =2022. 方法指导：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，代入求值. 探究点2:一元二次方程的根 新知探究 新知探究 探究点3:根据实际问题列一元二次方程 问题 在一块宽20m 、长32m的矩形空地上，修筑三 条宽相等的小路(两条纵向， 一条横向，纵向与横 向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m², 问小路的 宽应为多少? 2.由于花坛的总面积是570m².你能根据题意，列出方 程吗? 32×20-(32x+2×20x)+2x²=570 整理以上方程可得 x²-36x+35=0 思考： 1.若设小路的宽是xm, 则横向小路的面积是32 x m², 纵向小路的面积是2×20 x m², 两者重叠的面积是 2x² m² . 探究点3:根据实际问题列一元二次方程 新 知 探 究 想一想： 还有其他的方法吗?试说明原因. 新知探究 探究点3:根据实际问题列一元二次方程 (20-x)(32-2x)=570 审 设 找 列 审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系 设未知数 找出等量 关系 根据等量 关系列方 程 新知探究 探究点3:根据实际问题列一元二次方程 建立一元二次方程模型的一般步骤 随堂练习 1.下列方程是关于x 的一元二次方程的为( C ) A.3x(x+1)=3x²—5x B.ax²+bx+7=0 C.7(x-1) (x+2)=x D 2.一元二次方程7x²—2x=1 的二次项系数、一次项系数和常数项依 次是 ( C ) A.7,2,1 B. 7, 一2, 1 C.7, 一2, —1 D.7,2,-1 3.教材变式题将一元二次方程3x(x+1)=5(x-2) 化为一般形 式为 ( B ) A.3x²-2x=-10 B.3x²—2x+10=0 C.—3x²—2x+10=0 D.3x²—2x- 10=0 4.已知关于x的方程 (k+5)x²—kx+9=0, 当 k ≠—5 时，该方 程是一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为 k+5 一次项系数为 —k ,常数项为 9 5.教材变式题将下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)9x²=25; 解：一般形式为9x²—25=0, 二次项系数为9,一次项系数为0,常 数项为一25 (2)3x(x-4)=7. 解：一般形式为3x²—12x-7=0, 二次项系数为3,一次项系数为 —12, 常数项为一7 6.教材变式题 有下列各数： - 1 ,2,1,一2.其中，是方程x²+x-2 =0的根的为( C ) A.-1,2 B.—1 C.1, 一2 D.2 7.已知x=2 是关于x 的一元二次方程x²+ax-3a=0 的一个根，则a 的值为 ( B ) A. 一4 B.4 C.2 D. 8.若方程x²—4x= 0的一个根为m, 则m²—4m+1=1 9. (易错题)如果关于x 的一元二次方程 (m-3)x²+2x+m²—9 =0有一个根为0,那么m 的值为 -3 10.教材变式题 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛. 为了能让更多的足球爱好者现场观看到足球比赛，赛程计划安排18 天，每天安排4场比赛，设参加比赛的球队有x 支.根据题意，下列方 程正确的是 ( D ) A B C.x(x+1)=72 D.x(x-1)=72 11. 根据题意，列出方程(不需要求解): (1)某班学生毕业时都会向全班其他学生各送一张自己的照片以作 留念，全班共送出1056张照片，求全班有多少名学生.设全班有x名 学生，可列方程为x(x-1)=1056 ● (2)一个直角三角形的斜边长为4 √5,两条直角边长相差4.设较长 的直角边长为x, 可列方程为 x²+(x-4)²=80 12.若x=-1 是关于x 的一元二次方程ax²+bx+c=0 的一个根，则 下列式子成立的是 ( B ) A.a+b+c=0 B.a—b+c=0 C.a+b—c=0 D.—a+b+c=0 13.已知m 是方程x²—x-1=0 的一个根，则代数式一2m²+2m+ 2026的值为 ( B ) A.2022 B.2024 C.2026 D.2028 14.若方程 ( m+2)xm²-2+(m-1)x-2=0 是关于x 的一元二次方 程 ，则m = 2 15.若关于x 的一元二次方程mx²+2nx-1=0(m≠0) 的一个根是x=1, 则3-2m—4 n的值是 1 16.若x=-3 是关于x 的方程2x²—a=0 的一个根，则常数a= 18 , 这 个方程的另一个根为 x=3 17.根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式(不需 要求解): (1)6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27,求等腰直角 三角形的直角边长x; 解： (1)由题意，得 .整理，得x²—9=0 (2)一个矩形的周长为20,面积是24,求矩形的长x; 解： (2) 由题意，得 整理，得x²—10x+24=0 (3) 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3dm的矩形木板，剩下的矩 形的面积为60dm², 原来正方形木板的边长为adm, 求a 的值(木板 厚度忽略不计). 解： (3)由题意，得a(a—3)=60. 整理，得a²— 3a—60=0 18.已知m 是一元二次方程2x²+4x-1=0 的值. 解：原式=m²+2m.∵ m是一元二次方程2x²+4 x-1=0 的一个 根，∴2m²+4m-1=0 . ∴原式= 的一个根，求 19.新考向新定义题关于x 的一元二次方程a₁(x—m)²+k=0 与 a₂(x—m)²+k=0 称为“ 同族二次方程”,如2 ( x—3)²+4=0 与3 (x-3)²+4=0 是“同族二次方程”.现有关于x 的一元二次方程2 ( x — 1)²+1=0与 ( a+2)x²+(b—4)x+8=0 是“同族二次方 程”,则a+b= -5 20.已知实数a 是一元二次方程x²—2025x+1=0 的一个根，求代数 式a² —2024 的值. 解：由题意，得a²—2025a+1=0.∴a≠0, a²=2025a-1,a²+1= 2025a. 概 念 一般形式 一 元 二次方程 根 建立一元二 次方程模型 ① 是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2. ax²+bx+c= 0(a≠0) 其中(a≠ 0)是一元二次方 程的必要条件； 使方程左右两边相等的 未知数的值. 审 →设 →找 →列 课堂小结 $