平面向量的数量积专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积核心概念，通过基础计算、几何应用、综合拓展三级递进训练，构建"定义-性质-应用"逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空12-14|数量积计算、夹角、投影向量|从数量积定义出发，结合模与夹角公式，夯实概念理解| |性质应用|单选6、多选9-11|线性相关、向量垂直、投影数量|延伸数量积性质，关联向量共线与垂直条件，强化推理意识| |几何综合|单选7-8、填空15、解答16-17|坐标法、动态最值、实际建模|通过坐标系转化几何问题，培养用数学语言表达现实问题的能力|

高三数学一轮复习平面向量的数量积专项训练 一、单选题： 1.已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，是单位向量，，若，则 (    ) A. B. C. D. 3.若向量，满足，，则在上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 4.已知向量，满足，，且，设，的夹角为，则(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 6.对于个向量，，，，，若存在个不全为的实数，，，，，使得：成立；则称向量，，，，是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.在四边形中，，，，是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.若向量，，，则(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量是 10.已知向量，的夹角为，且，，则和在方向上的投影的数量分别等于(    ) A. B. C. D. 11.已知单位向量，的夹角为，为的外心，，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题： 12.已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是            ． 13.已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则          ． 14.已知均为单位向量，且，则的夹角为          ． 15.已知平行四边形中，，是边上的动点，则的取值范围为           四、解答题： 16.已知向量与的夹角为，且，． 若与共线，求； 求，； 求与的夹角的余弦值． 17.已知，，，为坐标原点． 若，求的值； 若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 平面向量的数量积答案和解析 1.【答案】  【解析】解：向量与的夹角为，，， 则， 即， 解得． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 由向量垂直得，从而，由此能求出 【解答】 解：，是单位向量，，， ， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由题意，，， 所以在上的投影向量为：． 4.【答案】  【解析】解：因为，所以，展开得， 又，得，即，解得， 由，、，得： ， 又， 所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：向量，，且在上的投影向量为， 根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以． 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得， 再计算，根据向量模长公式：可得，那么． 所以． 所以． 得，所以与的夹角为． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的坐标运算，属基础题． 由线性相关的定义可得，从而可得，，问题得以解决． 【解答】 解：由于向量，，线性相关， 所以， 即， 即， 所以，， 所以， 故选：． 7.【答案】  【解析】 解：以为原点，，所在直线为，轴，建立如图的坐标系， ，， ，，， 直线的方程为，设，， 则 所以， 当时，则的最小值为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积运算以及模的应用，属于中档题． 把原等式变形可得，设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上，由已知得到的终点在不含端点的两条射线上，画出图形，数形结合得答案． 【解答】 解：由，得， ， 如图， 不妨设， 则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上， 又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上． 不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减． 即． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于，，故A错误 对于，，与不平行，故B错误 对于，，，，故C正确 对于，设在上的投影向量为，故D正确． 故选CD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积运算、向量的投影数量，属于基础题． 根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的数量的运算公式计算对应的数值． 【解答】 解：向量的夹角为，，， 所以， 所以， 在方向上的投影的数量为 ． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：， 同理可得，故A正确； ， 所以，即， 从而在等腰三角形中，，故B错误； 如图，外心在的外部，连接，， 显然四边形为菱形，所以，故C正确； 易得，，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量的数量积公式，以及向量平行的性质，属于基础题． 根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解． 【解答】 解：由于，，与的夹角是锐角， 则且、不同向，即，解得且， 故实数的取值范围是． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由及在上的投影向量为，得， 则，解得，因此，即， 所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：设的夹角为，， 则由均为单位向量，且， 可得，即， 解得，则， 即的夹角为． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，属于中档题． 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积的坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可． 【解答】 解：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图， 则，，，， 因为点在边上，所以设点的坐标为， ， 则当时，， 即的取值范围为． 故答案为 16.【答案】解：若与共线， 则存在，使得， 即， 又因为向量与不共线， 所以，解得，所以． ， ， ．   【解析】本题考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积和平面向量共线的充要条件，是中档题． 设存在，使得，得出方程组解出即可； 直接由向量的数量积得出，由展开计算得出； 直接由向量夹角公式得出结果． 17.【答案】解：因为，，， 所以，， 又，所以， 则，即； 因为，， 所以， 因为， 所以， 即，即， 又是第二象限角，所以， 因为，， 所以， 所以  【解析】本题主要考查向量共线的充要条件，投影向量，向量的数量积的坐标运算，向量的模的坐标表示，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 由，，根据，可得，利用同角三角函数的基本关系可得； 由向量的坐标运算得，根据向量的模的坐标公式及同角三角函数的基本关系可得的值，结合是第二象限角，求出，由向量的数量积的坐标运算可得，再由计算可得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $