第26章 二次函数 闯关练习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以二次函数概念为基础，通过定义辨析、性质应用及综合拓展，系统构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2|定义判断、顶点式直接应用|从二次函数定义生成表达式形式| |性质应用|选择3-8/填空11-15|平移规则、判别式、对称轴分析|性质推导（顶点/平移/最值）→坐标关系应用| |综合拓展|选择9-10/解答17-22|函数与方程结合、几何综合建模|性质拓展→跨知识（几何/方程）综合应用|

第26章二次函数闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•金寨县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 2．（2026•双城区一模）二次函数y＝5（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 3．（2025秋•遵义期末）点A（3，2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a≠0）上，则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c+3＝5的解是（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝x2＝3 C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝1，x2＝5 4．（2026•株洲校级自主招生）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 5．（2026•富平县模拟）已知抛物线C：y＝﹣x2+2mx﹣m（m为常数，且m≠0）与x轴只有一个交点，将抛物线C向左平移2 m个单位，再向下平移1个单位得到抛物线L，则抛物线L的顶点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 6．（2026•武功县一模）下列关于抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）的叙述，正确的是（　　） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．与y轴正半轴可以相交 7．（2026•岳池县模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 8．（2026•建瓯市模拟）二次函数y＝mx2+2mx+m（m是常数且m≠0）的图象经过点P（x1，y1），一次函数y＝mx+m的图象经过点Q（x2，y2），当m＜0时，下列结论不一定正确的是（　　） A．当x1＝x2＞0时，y1＜y2 B．当x1＝x2＜﹣1时，y1＜y2 C．当y1＝y2＜m时，x1＜x2 D．当y1＝y2＞m时，x1＞x2 9．（2025秋•威海期末）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 10．（2026•剑阁县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•锦江区校级月考）抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得的抛物线表达式为　 　 ． 12．（2026•静安区校级模拟）若函数y＝mx2﹣2x+m与x轴有且仅有1个交点，则m的值为　 　 ． 13．（2026春•青羊区校级同步）已知二次函数y＝x2﹣（m+5）x+m+4．则该二次函数经过的定点坐标为　 　 ；当1≤x≤1+m时，y有最小值﹣3m，则m的取值范围为　 　 ． 14．（2026春•开封期末）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＞”连接为　 　 ． 15．（2025秋•游仙区期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　 （s）． 16．（2026•青山区一模）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a是常数且a≠0）的开口方向向下，经过点（﹣1，0）．下列五个结论： ①b＜﹣4； ②当时，y随x的增大而减小； ③若a＞﹣2，则当﹣1＜x＜0时，a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4＞0； ④当9a2＜b2+16a时，4a﹣b﹣1＜0； ⑤当a＞﹣4时，4x2+bx﹣a＝0有一个大于0且小于1的根． 其中正确的是　 　 ．（填写序号） 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•临高县期末）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（2026•马鞍山三模）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 19．（2026•徐州）如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴的交点坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求a，c的值； （2）点P（x，y）在该函数的图象上，当p≤x≤p+2时，y有最大值3，求p的值； （3）点M（m，t），N（n，t+1）都在该函数的图象上，若m＜n且0≤t＜t+1≤2，求n﹣m的取值范围． 20．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 21．（2026•阜阳二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝ax+c同时经过A（0，3），B（3，0）两点． （1）求a，b，c的值； （2）若C（x1，y1），D（x2，y2）两点均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且x1≠x2．当x1+x2＝2（x1﹣x2）时，求y1﹣y2的最大值； （3）若点P（x3，y3）在线段AB上（不与点A，B重合），点Q（x4，y4）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且x3＜x4，当时，求x3的值． 22．（2026•营山县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 第26章二次函数闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•金寨县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（2026•双城区一模）二次函数y＝5（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 【分析】根据函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝5（x﹣1）2+2， ∴该函数的顶点坐标（1，2）， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以写出顶点坐标． 3．（2025秋•遵义期末）点A（3，2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a≠0）上，则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c+3＝5的解是（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝x2＝3 C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝1，x2＝5 【分析】先求出点（1，2）也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线y＝a（x﹣3）2+c﹣2经过点（2，0），（4，0），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c﹣2＝0的两个解为x1＝2，x2＝4，由此即可得． 【解答】解：∵点A（3，2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a≠0）上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴点（1，2）也在这个抛物线上， 将二次函数y＝a（x﹣2）2+c（a≠0）的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为y＝a（x﹣2﹣1）2+c﹣2，即为y＝a（x﹣3）2+c﹣2， 由平移的性质得：抛物线y＝a（x﹣3）2+c﹣2经过点（2，0），（4，0）， ∴关于x的一元二次方程a（x﹣3）2+c﹣2＝0，即a（x﹣3）2+c+3＝5的两个解为x1＝2，x2＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键． 4．（2026•株洲校级自主招生）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a是常数，且a≠0）与y轴正半轴交于点A，当时，y＞0；当时，y＜0．则a的值为（　　） A．4 B．3 C．8 D．6 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1与y轴正半轴交于点A，从而当x＝0时，y＝a﹣1＞0，则a＞1，又抛物线的对称轴为直线，且当时，y＞0，可得当时，y＞0，又当时，y＜0，从而当时，y＝0，即，求出a即可判断得解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1与y轴正半轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝a﹣1＞0． ∴a＞1． ∵抛物线的对称轴为直线，且当时，y＞0， ∴当时，y＞0． ∵当时，y＜0， ∴当时，y＝0． ∴． ∴a＝4． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5．（2026•富平县模拟）已知抛物线C：y＝﹣x2+2mx﹣m（m为常数，且m≠0）与x轴只有一个交点，将抛物线C向左平移2 m个单位，再向下平移1个单位得到抛物线L，则抛物线L的顶点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】先利用抛物线与x轴只有一个交点的条件，通过判别式求出m的值，再配方得到原抛物线顶点坐标，根据平移规则得到平移后顶点坐标，最后判断顶点所在象限． 【解答】解：∵抛物线C：y＝﹣x2+2mx﹣m与x轴只有一个交点， ∴判别式Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（﹣m）＝4m2﹣4m＝0， 整理得4m（m﹣1）＝0，可得m＝1（m＝0舍）， ∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2， ∴原抛物线C的顶点坐标为（1，0）， 根据平移规则，向左平移2m＝2个单位，横坐标减2，向下平移1个单位，纵坐标减1， ∴平移后抛物线L的顶点坐标为（1﹣2，0﹣1）＝（﹣1，﹣1）， ∴顶点在第三象限， 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．（2026•武功县一模）下列关于抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）的叙述，正确的是（　　） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．与y轴正半轴可以相交 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【解答】解：由题意得，y＝mx2+2mx﹣3＝m（x+1）2﹣m﹣3， ∵m＞0 ∴抛物线开口向上，故选项A错误，不合题意． 又∵顶点为（﹣1，﹣m﹣3）且m＞0， ∴﹣m﹣3＜0， ∴顶点为（﹣1，﹣m﹣3）在第三象限，故选项B正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，开口向上， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∵1＞﹣1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项C，不合题意． 令x＝0，得y＝﹣3，抛物线与y轴交于（0，﹣3），交点在y轴负半轴，故选项D错误，不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 7．（2026•岳池县模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 【分析】根据抛物线平移规则：向右平移a个单位，则x替换为x﹣a；向上平移b个单位，则y替换为y﹣b．对原抛物线逐步平移后，得到新解析式，再与标准形式比较得出a、h、k的值，最后求和． 【解答】解：∵原抛物线为 y＝（x﹣2）2+3向右平移4个单位可得：y＝[（x﹣4）﹣2]2+3＝（x﹣6）2+3； 抛物线y＝（x﹣6）2+3再向上平移2个单位得y＝（x﹣6）2+5， 即新抛物线为 y＝（x﹣6）2+5， 与 y＝a（x﹣h）2+k 比较， 得 a＝1，h＝6，k＝5， ∴a+h+k＝1+6+5＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移法则是关键． 8．（2026•建瓯市模拟）二次函数y＝mx2+2mx+m（m是常数且m≠0）的图象经过点P（x1，y1），一次函数y＝mx+m的图象经过点Q（x2，y2），当m＜0时，下列结论不一定正确的是（　　） A．当x1＝x2＞0时，y1＜y2 B．当x1＝x2＜﹣1时，y1＜y2 C．当y1＝y2＜m时，x1＜x2 D．当y1＝y2＞m时，x1＞x2 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点（﹣1，0），与y轴的交点都为（0，m）．当m＜0时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【解答】解：∵y1＝mx2+2mx+m＝m（x+1）2，y2＝mx+m＝m（x+1）， ∴抛物线y1＝mx2+2mx+m与直线y2＝mx+m都恒过定点（﹣1，0），与y轴的交点都为（0，m）． 当m＜0时， 当x1＝x2＞0时，y1＜y2，故A正确，不符合题意； 当x1＝x2＜﹣1时，y1＜y2，故B正确，不符合题意； 当y1＝y2＜m时，x1＜x2，故C正确，不符合题意； 当y1＝y2＞m时，若x1＜﹣1，则x1＜x2，若x1＞﹣1，则x1＞x2，故D不一定正确，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 9．（2025秋•威海期末）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 【分析】根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当x＝1时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， 把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为yx2x+1， 当x＝1时，y1＝2， 故a+b+c的最大值等于2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 10．（2026•剑阁县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点判断a，b，c的符号；利用x＝﹣1、x＝2时的函数值推导2a+c的符号；结合对称轴范围推导4a﹣b+2c的符号；再根据二次函数与一元二次方程的关系，判断方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0的根的分布情况． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴x0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①正确； 当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0， ∴2a+c＜0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴1， ∵a＞0， ∴a＜﹣b＜2a， ∴2a+b＞0，即2a+a+c＞0，即3a+c＞0， ∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）， ∵当x＝0时，y＝c， ∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0， 又∵m＜n， ∴m＜﹣1，n＞2，④正确； ∴正确的有①②④． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•锦江区校级月考）抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得的抛物线表达式为y＝2x2﹣2　 ． 【分析】由于原抛物线的顶点坐标为（0，0），则将抛物线y＝2x2向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝2x2向下平移2个单位， ∴根据“上加下减”的平移规律可得，平移后的抛物线的表达式为y＝2x2﹣2． 故答案为：y＝2x2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．（2026•静安区校级模拟）若函数y＝mx2﹣2x+m与x轴有且仅有1个交点，则m的值为　0或±1　 ． 【分析】需分类讨论函数类型，分m＝0时函数为一次函数、m≠0时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与x轴交点的性质求解m的值即可． 【解答】解：分两种情况讨论： 当m＝0时，函数解析式为y＝﹣2x，是一次函数，一次函数的图象与x轴有且仅有一个交点，符合题意，因此m＝0满足条件． 当m≠0时，函数y＝mx2﹣2x+m是二次函数，若二次函数的图象与x轴有且仅有一个交点，则根的判别式Δ＝0． 对于一元二次方程mx2﹣2x+m＝0，其中a＝m，b＝﹣2，c＝m，可得： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•m•m＝4﹣4m2 令Δ＝0，即4﹣4m2＝0， 解得m2＝1，即m＝1或m＝﹣1，均满足m≠0，符合题意． 综上，m的值为0或1或﹣1， 故答案为：0或±1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（2026春•青羊区校级同步）已知二次函数y＝x2﹣（m+5）x+m+4．则该二次函数经过的定点坐标为　（1，0）　 ；当1≤x≤1+m时，y有最小值﹣3m，则m的取值范围为　0≤m≤3　 ． 【分析】将函数化为y＝m（﹣x+1）+x2﹣5x+4，当﹣x+1＝0时，求出y＝0，即可求顶点；当1时，y有最小值；当m+1时，x＝m+1时，y有最小值；当11+m时，x时，y有最小值；分别求出满足条件的m的值即可． 【解答】解：y＝x2﹣（m+5）x+m+4＝m（﹣x+1）+x2﹣5x+4， 当﹣x+1＝0时，解得x＝1， ∴经过定点（1，0）， y＝x2﹣（m+5）x+m+4的对称轴为直线x， 当1时，x＝1时，y有最小值1﹣（m+5）+m+4＝﹣3m， 解得m＝0； 当m+1时，x＝m+1时，y有最小值（m+1）2﹣（m+5）（m+1）+m+4＝﹣3m恒成立， ∴m≤3； 当11+m时，x时，y有最小值（）2﹣（m+5）（）+m+4＝﹣3m， 解得m＝3（舍去）； 综上所述：0≤m≤3； 故答案为：（1，0），0≤m≤3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 14．（2026春•开封期末）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＞”连接为y1＞y3＞y2 ． 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【解答】解：将抛物线解析式配方可得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵点A到对称轴的距离：|﹣3﹣1|＝4，点B到对称轴的距离：|1﹣1|＝0，点C到对称轴的距离：|2﹣1|＝1， ∵4＞1＞0，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴y1＞y3＞y2． 故答案为：y1＞y3＞y2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025秋•游仙区期末）一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　8　 （s）． 【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，于是得到结论． 【解答】解：由题意可知：小球在发射后第2s与第6s时的高度相等， 则函数h＝at2+bt的对称轴t4， 故小球从发射到回到水平面共需时间8秒， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 16．（2026•青山区一模）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a是常数且a≠0）的开口方向向下，经过点（﹣1，0）．下列五个结论： ①b＜﹣4； ②当时，y随x的增大而减小； ③若a＞﹣2，则当﹣1＜x＜0时，a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4＞0； ④当9a2＜b2+16a时，4a﹣b﹣1＜0； ⑤当a＞﹣4时，4x2+bx﹣a＝0有一个大于0且小于1的根． 其中正确的是　①②③⑤　 ．（填写序号） 【分析】结论①（参数范围判断）：利用抛物线经过点（﹣1，0）得到a与b的关系式b＝a﹣4，结合开口向下即a＜0的条件，推导出b＜﹣4，从而判定结论正确； 结论②（单调性分析）：通过代入b＝a﹣4计算出对称轴公式为，根据a＜0确定对称轴在的左侧；再结合开口向下的性质，得出在对称轴右侧（包含的区域）函数值随x增大而减小，判定结论正确；结论③（不等式恒成立问题）：将原函数中的自变量x替换为（x﹣1），相当于图象向右平移1个单位．利用平移后的零点位置（x＝0）和对称轴位置（小于0），结合开口方向，判断出在区间（﹣1，0）内函数图象位于x轴上方，即函数值大于0，判定结论正确； 结论④（代数式符号判断）：将已知不等式化简为关于a的一元二次不等式（a﹣2）（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜2，结合a＜0锁定a的范围为（﹣1，0）；随后将代数式4a﹣b﹣1转化为只含a的式子3a+3，根据a的范围判断其值为正，从而否定原结论； 结论⑤（方程根的分布）：利用求根公式直接解出方程的两个根分别为x1＝1和；根据题目给定的a＞﹣4条件，分析得出第二个根必定小于1，且在特定条件下（如a＜0）满足大于0且小于1，从而验证了根的存在性，判定结论正确． 【解答】解：结论①已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点 （﹣1，0）， 将点（﹣1，0）代入抛物线方程可得：a﹣b﹣4＝0，即b＝a﹣4． 因为抛物线开口方向向下， 所以a＜0．由b＝a﹣4，且a＜0， 可得b＜﹣4， 所以结论①正确； 结论②：抛物线y＝ax2+bx﹣4的对称轴为， 将b＝a﹣4代入可得：． 因为a＜0， 所以， 则． 又因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧y随x的增大而减小， 即当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小也符合， 所以结论②正确； 结论③：令y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4， 当y＝0时，a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4＝0． 因为抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点（﹣1，0）， 所以当 x﹣1＝﹣1，即 x＝0时，a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4＝0． 又因为抛物线开口向下， 对称轴为， 当a＞﹣2时，． 所以当﹣1＜x＜0时，a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣4＞0， 结论③正确； 结论④：已知9a2＜b2+16a， 将b＝a﹣4代入可得：9a2＜（a﹣4）2+16a． 展开（a﹣4）2得a2﹣8a+16， 则9a2＜a2﹣8a+16+16a， 移项可得：9a2﹣a2﹣8a＜16， 即8a2﹣8a﹣16＜0， 两边同时除以8得a2﹣a﹣2＜0， 因式分解得（a﹣2）（a+1）＜0， 则﹣1＜a＜2． 又因为a＜0， 所以﹣1＜a＜0． 对于4a﹣b﹣1，将b＝a﹣4 代入可得：4a﹣（a﹣4）﹣1＝3a+3． 因为﹣1＜a＜0， 所以3a+3＞0， 即4a﹣b﹣1＞0， 所以结论④错误； 结论⑤：对于方程4x2+bx﹣a＝0，其判别式Δ＝b2+16a． 将b＝a﹣4代入可得：Δ＝（a﹣4）2+16a＝a2﹣8a+16+16a＝a2+9． 因为a＞﹣4， 所以Δ＞0， 方程有两个不同的实数根． 由求根公式可得：． 当时， 将b＝a﹣4代入可得：， 当时， 将b＝a﹣4代入可得：， 因为a＞﹣4， 所以，且当a＞0时，； 当﹣4＜a＜0时，， 所以方程有一个大于0且小于1的根， 结论⑤正确． 综上，正确的是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点评】题目考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与 x轴的交点，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•临高县期末）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）根据形如函数y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． （2）化成顶点是，根据二次函数的性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标． 【解答】解：（1）由题意：， 解得m＝﹣1， ∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数． （2）∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣3， ∴这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；也考查了二次函数的性质． 18．（2026•马鞍山三模）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 【分析】（1）把（4，5）代入一般式y＝ax2+bx+5得16a+4b＝0，从而b＝﹣4a，再用对称轴公式算得x＝2； （2）当a＝1时b＝﹣4，得具体抛物线；把点（m﹣2，h）代入，令t＝m﹣2后配方为h＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1，由平方非负性得最小值1； （3）先化为顶点式y＝a（x﹣2）2+5﹣4a，顶点（2，5﹣4a）．2﹣n≤x≤2+2n包含对称轴x＝2，且右端点离x＝2更远，故最值只在顶点或右端点x＝2+2n处取到．须按a＞0（顶点最小、右端最大）与a＜0（顶点最大、右端最小）两类讨论，分别令最值等于题给的﹣1与23，解出两组（a，n）； 【解答】解：（1）把点（4，5）代入y＝ax2+bx+5， 可得5＝16a+4b+5⇒16a+4b＝0⇒b＝﹣4a， 对称轴为， ； （2）当a＝1时，b＝﹣4， 所以抛物线为y＝x2﹣4x+5， 点（m﹣2，h）在抛物线上， 则h＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+5， 令t＝m﹣2， h＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1≥1， 当m＝4时等号成立， 故； （3）由b＝﹣4a， 把抛物线配方为顶点式：y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a 对称轴x＝2，顶点纵坐标为5﹣4a， 2﹣n≤x≤2+2n包含x＝2，且两个端点到对称轴的距离分别为n与2n（右端点更远）， 情形一：a＞0， 顶点是最低点， 故最小值在x＝2处： ， 当x＝2+2n时，y＝a（2n）2+5﹣4a＝4an2+5﹣4a， 将，y＝23代入上式， 所以6n2﹣1＝23⇒n2＝4⇒n＝2， 情形二：a＜0， 顶点是最高点，故最大值在x＝2处：， 当x＝2+2n时，y＝4an2+5﹣4a， 将，y＝﹣1代入上式， ． 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了二次函数对称轴、最值及含参数区间最值问题，利用过点代入建立a，b关系、把抛物线配成顶点式y＝a（x﹣2）2+5﹣4a以确定最值位置是解题的关键．第（3）问的难点在于2﹣n≤x≤2+2n关于对称轴x＝2不对称（右端更远），须按a的正负分类，且每种情形都要正确判断顶点与右端点谁取最大、谁取最小．整体训练了配方→定顶点→按开口分类→端点比较的二次函数最值通法． 19．（2026•徐州）如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴的交点坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求a，c的值； （2）点P（x，y）在该函数的图象上，当p≤x≤p+2时，y有最大值3，求p的值； （3）点M（m，t），N（n，t+1）都在该函数的图象上，若m＜n且0≤t＜t+1≤2，求n﹣m的取值范围． 【分析】（1）已知抛物线与x轴交点坐标，将交点代入解析式，通过待定系数法求出函数表达式中的参数； （2）给定自变量取值区间，结合抛物线开口方向和对称轴，分情况讨论区间位置，进而求出参数P； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数单调性确定代数式的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c， 过A（﹣1，0），B（3，0）， 代入两点， ， 两式相减：8a+8＝0， a＝﹣1， 把a＝﹣1代入a﹣2+c＝0， ﹣1﹣2+c＝0， c＝3， ∴a＝﹣1，c＝3， （2）函数解析式：y＝﹣x2+2x+3， 配方：y＝﹣（x﹣1）2+4，抛物线开口向下，对称轴x＝1，顶点（1，4）． 令y＝3：﹣x2+2x+3＝3， ﹣x2+2x＝0， ﹣x（x﹣2）＝0， 解得x1＝0，x2＝2，即函数值等于3的两个点：x＝0和x＝2． 抛物线开口向下，最大值为4（顶点）， 区间[p，p+2]上最大值是3， 说明区间不能包含对称轴x＝1（包含x＝1最大值就会是4）． 情况①：区间整体在对称轴左侧，p+2＜1， 最大值在右端点x＝p+2处取3， ∴p+2＝0， p＝﹣2； 验证区间[﹣2，0]，在x＝0取y＝3，区间不含x＝1，符合． 情况②：区间整体在对称轴右侧，p＞1， 最大值在左端点x＝p处取3， ∴p＝2， 验证区间[2，4]，在x＝2取y＝3，区间不含x＝1，符合． ∴p＝﹣2或p＝2； （3）二次函数解析式：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 对称轴x＝1，开口向下． ∵0≤t＜t+1≤2， ∴0≤t≤1，1≤t+1≤2，作直线y＝1交抛物线于点M1，M2（M1在M2左侧）， 作直线y＝2交抛物线于点N1，N2（N1在N2左侧）， 令y＝﹣x2+2x+3＝1， 解得或， ∴，， 令y＝﹣x2+2x+3＝2， 解得或， ∴，， ∵m＜n，t＜t+1， ∴点M在曲线段AM1上，点N在曲线段M1N1或M2N2上， ①当点N在曲线段M1N1上时， 将 M（m，t），N（n，t+1）分别代入y＝﹣x2+2x+3， 得 两式相减，整理得 （n﹣m）（2﹣m﹣n）＝1， ∴， ∴当 m+n 取最小值时，n﹣m 取最小值， 当 m+n 取最大值时，n﹣m 取最大值， 当点M在点A处，点N在点M1处时，m+n 取最小值，为，此时； 当点M在点M1处，点N在点N1处时，m+n 取最大值，为， 此时． ∴． ②当点N在曲线段M2N2上时，点M在点A处，点N在点M2处时， n﹣m 取得最大值，为； 当点M在点M1处，点N在点N2处时， n﹣m 取得最小值，为． ∴． 综上，或． 【点评】题目考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 20．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①已知火箭第二级的引发点坐标，即可求解； ②算出最高点的纵坐标即可得出要求位置的点的纵坐标，解方程即可； （2）已知火箭第二级的引发点横坐标，代入抛物线和直线方程中即可得a、b的关系，再求出落地点的横坐标，利用关系式消元，即可得一元不等式． 【解答】解：（1）①由题意，将（9，3.6）代入抛物线y＝ax2+x得： 3.6＝92a+9， ∴a； 将（9，3.6）代入直线yx+b得：3.69+b， ∴b＝8.1； ②由题意可得：抛物线方程为和直线方程为， 又∵， ∴抛物线的最高点为， ∴方程的根为3， ∴方程.4的根为11.4， ∴这两个位置之间的距离为11.4﹣3＝8.4（km）． （2）由题意，当x＝9时，，即， ∴落地点的横坐标为 2b＝162a+27，则162a+27＞15的解为． ∵抛物线开口向下， ∴． 又∵9， ∴a． ∴当a时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 21．（2026•阜阳二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝ax+c同时经过A（0，3），B（3，0）两点． （1）求a，b，c的值； （2）若C（x1，y1），D（x2，y2）两点均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且x1≠x2．当x1+x2＝2（x1﹣x2）时，求y1﹣y2的最大值； （3）若点P（x3，y3）在线段AB上（不与点A，B重合），点Q（x4，y4）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且x3＜x4，当时，求x3的值． 【分析】（1）将A（0，3），B（3，0）代入y＝ax+c可求得a、c，再将B（3，0）代入y＝ax2+bx+c可求得b； （2）先说明抛物线的对称轴为直线x＝1，再分C（x1，y1），D（x2，y2）两点关于直线x＝1对称和不对称两种情况，分别求最值即可； （3）由（1）知直线AB为y＝﹣x+3，即，进而得到，整理得（x3﹣1）（x3+2t）＝0，然后求解并取符合题意的解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得， ∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（3，0）， ∴9a+3b+c＝0，即﹣9+3b+3＝0， 解得b＝2． 综上，a＝﹣1，b＝2，c＝3． （2）由（1）知抛物线为y＝﹣x2+2x+3， ∴其对称轴为直线x＝1， 若C（x1，y1），D（x2，y2）两点关于直线x＝1对称，则y1﹣y2＝0； 若C（x1，y1），D（x2，y2）两点不关于直线x＝1对称， 则由题意得， ∴， ∵x1+x2＝2（x1﹣x2）， ∴， ∴，即y1﹣y2的最大值为． 综上，y1﹣y2的最大值为． （3）由题意得：， ∵x4＝x3+t， ∴， ∵， ∴， ∵y3＝﹣x3+3， ∴， 整理得， ∴（x3﹣1）（x3+2t）＝0， 解得：x3＝1或x3＝﹣2t， 由条件可知t＝x4﹣x3＞0， ∴x3＝﹣2t＜0（不合题意，舍去）， ∴x3＝1． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2026•营山县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3），由BE∥PF，得△BDE∽△PDF，可得（t）2，即取得最大值，结合S△APD＝kS△ABD，即可求得答案； （3）过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，可证得△OMK≌△OQT（AAS），得出OK＝OT，MK＝QT，设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3，可得Q（x+3，﹣x），当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x），代入抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1， 故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，取得最大值， ∵S△APD＝kS△ABD， ∴k， ∴k的最大值为， ∴0＜k； （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°， ∴∠MOK+∠QOK＝90°， ∵∠QOT+∠QOK＝90°， ∴∠MOK＝∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK＝OT，MK＝QT， 设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3， ∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3， ∴Q（x+3，﹣x）， ∵点Q在抛物线上， ∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3， 解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去）， ∴M（﹣5，﹣2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）． 【点评】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式、直角三角形的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点M． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $