2025-2026学年人教版九年级下册数学 综合能力测试

综合能力测试 (时间:100分钟 满分:100分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1.2sin 60°的值等于 ( ) A. B. C. D. 2.如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是 ( ) 3.在平面直角坐标系中,已知点A(-6,9),B(-9,-3),以原点O为位似中心，相似比为 ,把△ABO 缩小,则点 A 的对应点A'的坐标是 ( ) A.(-2,3) B.(-18,27) C.(-18,27)或(18,-27) D.(-2,3)或(2,-3) 4.如图，点A 是反比例函数 图象上一点，过点 A 作x轴的平行线，交反比例函数 的图象于点 B，连接OA,OB,若△OAB 的面积为1,则 k 的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图,在Rt△ABC 中,BD 是斜边AC上的高,AB≠BC,则下列比值中等于 sin A 的是 ( ) A. B. C. D. 6.若点 在反比例函数 的图象上，则 v₂，y₃的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 7.如图，在边长为6 的正方形ABCD 中，DE=CF=2,连接DF,AE,G,H 分别是AE,DF 的中点,连接GH,则GH 的长为( ) A.2 B. C. D.4 8.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F 分别为BC,CD的中点,连接 AE,BF 交于点 G,将 沿 BF 对折，得到 延长 FP 交BA 延长线于点 Q.下列结论(①QB=QF; 正确的结论个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9.已知反比例函数 的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是 . 10.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序正确的排列是 (填序号). 11.如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，若在此基础上(不改变原几何体中小正方形的位置)，继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要 个小正方体. 12.由边长为1的小正方形构成的网格图形中， 的顶点A，B，C都在格点上，则 13.如图,在 中， 分别交 AB,AC 于点 D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,,则 DE 的长为 . 14.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D,E 分别是边CA,CB 的中点,∠CAB 的平分线与DE 交于点F,则CF 的长为 . 三、解答题(本大题共6小题，共50分) 15.(6分)作图与推理：如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体. (1)图中有 块小正方体； (2)从正面看到该几何体的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左面、上面看到该几何体的形状图. 16.(8分)如图,在 中， 于点D，若AD=6,BC= 求： (1)CD 的长; 的值. 17.(8分)如图,MN 经过 的顶点A， MC 交AB 于D,NB 交AC 于E,连接DE. (1)求证: (2)如果DE=1,BC=3,求 MN 的长. 18.(8分)当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生，通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散.学生注意力指标y 随时间x(单位：分钟)变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段，当 时，图象是反比例函数的一部分. (1)求反比例函数的解析式和点 A 对应的指标值； (2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30 属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段. 19.(10分)如图，从建筑物AB 的顶部A 点，测得建筑物CD 顶部D点的俯角α为 底部C 点的俯角β为( 且两座建筑物的水平距离 BC 为40m.求这两座建筑物AB，CD的高度.(结果保留小数点后一位， 20.(10分)如图,点E 是正方形ABCD 中BC 边上一点,将 沿 AE 翻折得到 使点 B 落在点 G 处,延长 AG 与CD边交于点 H,直线 EG 与CD 交于点F. (1)如图①,求证:DF=GF; (2)如图②,若直线EG与AD 的延长线交于点N.求证:AD. (3)如图③,若直线EG 与AB,AD 的延长线分别交于点 M,N,AG交BD 于点 P.求证: 1. D 2. B 3. D 4. A 设A( ,m),m>0,则 由题意，得 即k-1=2,解得k=3. 5. D 6. D 7. B 如图,连接DG 并延长交AB 于M,连接MF, ∵正方形ABCD 的边长为6,DE=CF=2, ∴AB∥CD,BF=4, ∴△DEG∽△MAG, ∵G是AE 的中点, ∴DG=MG,AM=DE=2, ∴MB=AB-AM=6-2=4, ∴在 Rt△BMF 中, ∵DG=MG,H 是DF 的中点, ∴GH 是△DMF 的中位线, 8. A 根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∵CD∥AB, ∴∠BFC=∠ABF, ∴∠ABF=∠PFB, ∴QB=QF,故①正确; ∵E,F 分别是正方形ABCD 边BC,CD 的中点, ∴CF=BE, 在△ABE 和△BCF 中. ∴△ABE≌△BCF(SAS), ∴∠BAE=∠CBF, ∵∠BAE+∠BEA=90°, ∴∠CBF+∠BEA=90°, ∴∠BGE=90°, ∴AE⊥BF,故②正确; ∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF, ∴△BGE∽△BCF, ∴BE: BF=1: ∴S四边形ECFG=4S△BGE,故③正确; 由①知,QB=QF, 由题意知,PF=1,BP=2,∠BPQ=∠FPB=90°, 在 Rt△BPQ 中,设QB=x, 故④正确. 9. k<-101110.③④①② 11.54 根据勾股定理，得 ∴AB=BC. 如图,取格点 D,连接BD,则BD⊥AC, 在Rt△BCD中, 13. 如图,过点 F 作FH⊥BC 于点H,∵Rt△ABC 中,AC=6,BC=8,D,E 分别是边 AC,BC 的中点， ∴∠1=∠3, ∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,DF=AD=3,∴EF=DE-DF=2,易知 15.解:(1)11; (2)左视图，俯视图分别如下图： 16.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°, 在 Rt△ADC 中, ∴CD=4; (2)由(1)得 CD=4, ∴BD=BC-CD=8, 在 Rt△ABD 中, 即 17.解:(1)证明:∵MN∥BC, ∴∠DAM=∠DBC,∠DMA=∠DCB, ∴△DAM∽△DBC, 同理： ∵AM=AN, ∵∠DAE=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC; (2)∵△ADE∽△ABC,DE=1,BC=3. 由(1)得 又AM=AN, ∴MN=3. 18.解:(1)当20≤x≤45时,设反比例函数的解析式为 将C(20,45)代入得: 解得k=900, ∴反比例函数的解析式为 当x=45时, ∴D(45,20), ∴A(0,20),即点 A 对应的指标值为20; (2)当0≤x<10时,设AB 的解析式为y= mx+n, 将 A(0,20),B(10,45)代入得 解得 ∴AB 的解析式为 当y≥30,即 时， 解得4≤x<10, 由(1)得反比例函数的解析式为 当y≥30,即 时， 解得 20≤x≤30, ∴学生在课堂上的学习高效时间段是第4~30分钟. 19.解：如图，延长CD，交过点A 的水平线AE 于点 E，可得四边形ABCE 是矩形. 有 DE⊥AE,AE=BC=40 m,EC=AB, ∠EAD=α=45°,∠EAC=β=∠ACB=60°. 在 Rt△AED 中, 在 Rt△ABC 中, 答:这两座建筑物AB,CD 的高度分别约为69.3m 和29.3m . 20.证明:(1)如图,连接AF, ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD,∠B=∠D=90°, ∵将△ABE 沿AE 翻折得到△AGE, ∴AB=AG,∠B=∠AGE=90°, ∴AD=AG,∠D=∠AGF=90°, 又AF=AF, ∴Rt△ADF≌Rt△AGF(HL), ∴DF=GF; (2)由(1)可得:Rt△ADF≌Rt△AGF, ∴AD=AG, ∵∠NDF=∠NGA=90°,∠ANG=∠FND, ∴△NAG∽△NFD, ∴AD·FN=AN·FD; (3)∵AB∥CD, ∴△ABP∽△HDP, ∴∠N=∠AHD, 又∠ADH=∠BAD=90°, ∴△MAN∽△ADH, 学科网（北京）股份有限公司 $