第26章 二次函数 培优测试卷-2026-2027学年九年级数学上册单元测（人教版）

九数上单元测 第26章二次函数培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.抛物线y=3x2-2x-1与y轴的交点坐标为（) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) 2.已知二次函数y=一4x2-2,当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为（) A.x<2 B.x>0 C.x>-2 D.x<0 3.抛物线y=2x2与抛物线y=-2x2具有的相同性质是（) A.开口向上 B.开口向下 C.有最高点 D.对称轴是y轴 4.若抛物线y=x2一2x+3不动，将平面直角坐标系x0y先沿水平方向向右平移1个单位 长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线在新坐标系中对应的函数解析式为 () A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 5.用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出表格： 从表中信息可得m的值为() -2-1012… A.0 B.-1 C.-2 D.1 … m-2-204… 6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c=m总有一正 一负两个实数根，则m的取值范围是() A.m>3 B.m<3 C.m≥3 D.m≤3 12/54 九数上单元测 7某物理兴趣小组研究饮水机工作电路，变阻器R消耗的电功率P随电流Ⅰ变化的图象是 过原点抛物线一部分，图象过(1,165)、(4,0)，则变阻器R消耗的电功率P最大为（) A.160W B.180W C.200W D.220W ↑P/W 165 011 4 I/A 01 7题图图（1) 220V 图(2) 8题图 8.二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则Ia+c+Ib一c的化简结果是() A.a+b B.-a-b C.-a+b-2c D.a-b+2c 9.判断函数y=4(x-3)x-2的图象是（) w… 10.平面直角坐标系中，A(-3,0),B(0,1),抛物线Cn顶点在直线AB上，对称轴与x轴 交点横坐标依次为2,3,5,8,12，，则抛物线Cm的顶点坐标为（) A(2-n+10n2-n+4 B.(心-n+4,n2-n+10 2 6 2’ 6 cn2-n+4n2-n+10 0.(-n+10n2-n+ 6 6，2 C A 0235 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.若y=(m2+m)xm2+1-x+3是关于x的二次函数，则m=。 12.无论k为何实数，二次函数y=2x2-(3-)x+k的图象必过定点的坐标为一。 13/54 九数上单元测 13.新考法，用总长为am铝合金做“日”字形窗框，透光面积y与宽x函数图象如图，则 a的值是 y/m2 1.5- 图(1)图(2) 14.已知二次函数y=x2+bx+c图象如图，点M、N、P、Q在x轴上，满足①与x轴负 半轴相交；②x<0时y随x增大而减小，则原点可能是点。 +2 N P 0 (C)o 14题图 16题图 15.新定义，抛物线y=a(x-m)2+k(a≠0)上存在点P(x,y)使x-m=y-k≠0， 称2x-m为“开口大小”，则抛物线y=-x2+2x-2的“开口大小”为一。 1 1 16,直线y=2X+2与y轴交于A,与y=Zx交于B,以AB为边向右作菱形ABCD, C与原点重合，抛物线y=(x-h)2+k顶点在y=-x上， 若抛物线与菱形边AB、BC都有 公共点，则h的取值范围是。 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17.(8分)抛物线y=-x2+mx+6经过点M(-4,6)。 (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标。(4分) (2)当-4≤x≤1时，求y的最小值。(4分) 14/54 九数上单元测 18.（10分)抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于A(2,0)和B。 (1)求m和b的值。(2分) (2)求点B的坐标，并写出不等式x2+mx>-x+b的解集。（4分) (3)在抛物线上找一点P(a,c),若点P的个数为2，求c的取值范围。(4分) 19.（10分)某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造 隔热层，隔热层建造费用P=10x,年能源消耗T=21-区+2x+)0≤x≤9) 8 设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元)· (1)若y=148,求隔热层厚度。(6分) (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元)，且t=y+x2,当172≤t≤192时， 求隔热层厚度x的取值范围.(4分) 1 20.（12分)如图，抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点E, 过点B的直线与y轴交于点C,与抛物线交于点D,连接0D,已知OE=20C=20A=4。 (1)求0B的长。(6分) (2)求△OBD的面积。(6分) 15/54 九数上单元测 21.项目式学习（12分) 项目主题：无人机灌溉研究。 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化。 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉。 建立模型：如图(1)，设无人机控制中心为点O,两个喷水口分别为点A,B,且点A,B, 0在同一条水平直线上，AB=60cm。如图(2)，以0为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷 水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C, 0C=300cm。 入 O/B 图(3) 图(4) (1)求点A所在抛物线的函数解析式。（3分) (2)无人机控制中心距地面的初始高度为300cm,为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到 合适位置。如图(3)，要使宽度为EF=30c的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水， 求无人机应下降的高度。(4分) (3)如图(4)，在直线AB上再增加2个喷水口M和N,M在A左侧，N在B右侧， 且MA=AB=BN,当无人机上升到距地面的高度为675cm时，求此时喷洒水覆盖区域宽 度PQ的长。(5分) 16/54 九数上单元测 22.探究性问题（14分) 如图，在平面直角坐标系中，直线&y=kx+b经过抛物线y=x2+2mx+2m2-m(m≠0) 的顶点P。已知抛物线经过原点。 (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标。(4分) (2)当t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值。(4分) (3)当k=2时，动点E在直线L下方的抛物线上，过点E作EFIx轴交直线1于点F, 令S=EF,求S的最大值。（6分) 10 P 备用图 17/54九数上单元测 第26章二次函数培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.抛物线y=3x2-2x-1与y轴的交点坐标为（) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) 答案：C 2.已知二次函数y=-4x2-2,当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为（) A.x<2 B.x>0 C.x>-2 D.x<0 答案：D 解析：y=-4x2-2,-4<0,抛物线开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的 增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，故选D。 3. 抛物线y=2x2与抛物线y=-2x2具有的相同性质是（) A.开口向上 B.开口向下 C.有最高点 D.对称轴是y轴 答案：D 解析：抛物线y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点；抛物线y=-2x2开口向下， 对称轴为y轴，有最高点，故两个抛物线对称轴都是y轴，故选D。 4.若抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系x0y先沿水平方向向右平移1个单 位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线在新坐标系中对应的函数解析式 为() A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 答案：C 21/118 九数上单元测 解析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2,题中平移方式可看作将抛物线y=(x-1)2+2先向 左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得y=(x-1+1)2+2-3,即y=x2- 1,故选C。 5.用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出表格： X -2 -1012… y· m-2-204… 从表中信息可得m的值为（) A.0 B.-1 C.-2 D.1 答案：A 解析：由表格得，x=-1时y=-2,x=0时y=-2, 二次函数对将轴为直线x=10-分分(-2)1-(-》 1 1 x=-2时函数值等于x=1时函数值，m=0,故选A。 6.如图是二次函数y=ax2+bx十c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c=m总有一 正一负两个实数根，则m的取值范围是() A.m>3 B.m<3 C.m≥3 D.m≤3 0 答案：A 解析：方程ax2+bx+c=m有一正一负两实根，即抛物线与直线y=m交点在y轴两侧， 符合条件的直线在抛物线与y轴交点上方，即m>3,故选A。 7.某物理兴趣小组研究饮水机工作电路，变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的图象 是过原点抛物线一部分，图象过(1,165)、(4,0)，则变阻器R消耗的电功率P最大为() A.160W B.180W C.200W D.220W 22118 九数上单元测 ↑P/W 165 R R 011 4 TA 图（1) 220V 图（2) 答案：D 解析：设P-+6,代入{中65。解得侣二2西 P=-5512+2201=-55(I-2)2+220,当1=2时，Pmax=220W,故选D。 8.二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则Ia+c+b-c的化简结果是（) A.a+b B.-a-b C.-a+b-2c D.a-b+2c 答案：D 解析：抛物线开口向下，a<0;对称轴在y轴左侧，b<0;与y轴交于正半轴，c>0。 过(1,0)，a+b+c=0,即a+c=-b>0,b-c<0,a+c+lb-c=a+c+c-b= a-b+2c,故选D。 9.判断函数y=4(x-3)x-2引的图象是() nfo 答案：A 5 解析：当x≥2时，y=4x-3)x-2)=4(x-)2-1, 5 当x<2时，y=-4(x-3)x-2)=-4(x-)2+1,对应图象为A,故选A。 23/118 九数上单元测 10.平面直角坐标系中，A(-3,0),B(0,1),抛物线Cn顶点在直线AB上，对称轴与x轴 交点横坐标依次为2,3,5,8,12，，则抛物线Cm的顶点坐标为() A(2-n+10,n2-n+号) B.-n+42-n+10、 2 6 29 6 c62-n+4n2-n+10、 D.(2-n+10.n2-n+4、 6 2 6, 2 C C B A 3A 8 答案：B 解析：设直线AB的解析式为y=心+b.把A(-3,0),B(0,1)代入得 3k+b=0, b=1, 解得 3 ·直线AB的解析式为y=x+1.:抛物线C,的顶点的横坐标为2，且顶点在 b =1, 直线AB上，抛物线C,的顶点坐标为(2，)，同理可得抛物线C的顶点坐标为(3,2)，抛 物线C,的顶点坐标为(5，)，抛物线C4的顶点坐标为(8，学)，…，抛物线C的顶点的横 坐标为”，将-产代入y=×+1得。-2。”，抛物线C,的顶点坐标为 2 (巴，)，故选B 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.若y=(m2+m)xm2+1-x+3是关于x的二次函数，则m=一。 答案：1 解析：由题意得m2+1=2且m2+m≠0，解得m=1。 12.无论k为何实数，二次函数y=2x2-(3-kx+k的图象必过定点的坐标为一。 24/118 九数上单元测 答案：(-1,5) 解析：y=2x2-3x+k(x+1),令x+1=0得x=-1,此时y=5,定点为（-1,5)。 13.新考法，用总长为am铝合金做“日”字形窗框，透光面积y与宽x函数图象如图，则 a的值是 y/m2 1.5 01日 2 x/m 图（1) 图（2) 答案：6 解折：设y=c1P+15-+业，又y-0+m ,1 1 20=3,a=6。 14.已知二次函数y=x2+bx+c图象如图，点M、N、P、Q在x轴上，满足①与x轴 负半轴相交；②x<0时y随x增大而减小，则原点可能是点一。 N P 答案：N 解析：图象与x轴负半轴相交，排除M;x<0时y递减，y轴在顶点左侧，原点为N。 15.新定义，抛物线y=a(x-m)2+k(a≠0)上存在点P(x,y)使x-m=y-k≠0， 称2x-m为“开口大小”，则抛物线y=-x2+2x-2的“开口大小”为一。 答案：2 25/118 九数上单元测 解析：y=-(x-1)2-1,设点(m,-n2+2n-2)满足n-1=-n2+2m-2+1≠0，解 得n=0,开口大小为20-1=2。 1 16直线y=x+2与y轴交于A,与y=- x交于B,以AB为边向右作菱形ABCD, 1 1 C与原点重合，抛物线y=(x-h)2+k顶点在y=- 2x上， 若抛物线与菱形边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是。 +2 (C0 1 答案：-2≤h≤2 x=-2, 解析：联立得 2+2, 1 解得 y=- y=1, ·点B的坐标为（一2,1）.由抛物线的解析式可知， 1 抛物线的顶点坐标为，k).将，)代入y=-2×,得-=k, 抛物线的解析式为y=(x-h)?-h.如图(1)，当抛物线经过点c时， 将c0,0)代入y-(-)22,得2=0，解得，=0，g7 =x+2 -x+2 C(O) 图(1) 图(2) 如图(2)，当抛物线经过点B时，将8(-2，D代入y=(x-b-, 26/118 九数上单元测 3 得(-2-2-7动=1，整理得2h+7+6=0,解得1=-2，=一之： 综上所述，h的取值范围是-2≤h≤2故答案为-2≤h≤ 1 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.（8分)抛物线y=-x2+mx+6经过点M(-4,6)。 (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标。(4分) 答案：m=-4,J顶点坐标为(-2,10) 解析：代入M(-4,6)得-16-4m+6=6,解得m=-4;y=-x2-4x+6=-(x+ 2)2+10,顶点为(-2,10)。 (2)当-4≤x≤1时，求y的最小值。(4分) 答案：1 解析：抛物线开口向下，x=-4时y=6,x=1时y=1,最小值为1。 18.（10分)抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于A(2,0)和B。 (1)求m和b的值。(2分) 答案：m=-2,b=2 27/118 九数上单元测 解析：代入A(2,0)得0=-2+b,b=2;0=4+2m,m=-2。 (2)求点B的坐标，并写出不等式x2+mx>-x+b的解集。（4分) 答案：B(-1,3)；解集为x<-1或x>2 解析：联立x2-2x=-x+2,解得x=-1或2，B(-1,3);由图象得解集x<-1或x> 2。 (3)在抛物线上找一点P(α，c),若点P的个数为2，求c的取值范围。(4分) 答案：c>-1 解析：y=(x-1)2-1,最小值为-1，c>-1时P有2个。 19.(10分)某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造 隔热层，隔热层建造费用P=10x,年能源消耗T-21- (x+2Cx+4(0≤x≤9) 8 设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元)· (1)若y=148,求隔热层厚度。(6分) 答案：6cm 解析：y=-x2+4x+160,令-x2+4x+160=148,解得x=6（x=-2舍去)。 (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元)，且t=y+x2,当172≤t≤192 时，求隔热层厚度x的取值范围.(4分) 【解】由(1)得y=-x2+4x+160. :t=y+x2,÷t=-x2+4x+160+x2=4x+160(172≤t≤192)(8分) :4>0,·t随x的增大而增大 当t=172时，4x+160=172,解得x=3;当t=192时，4x+160=192,解得x=8. 故x的取值范围为3≤X≤8.…(10分) 28/118 九数上单元测 20.(12分)如图，驰物线y+bx+:与x轴交于A,B两点，与)轴交于点E, 过点B的直线与y轴交于点C,与抛物线交于点D,连接0D,已知OE=2OC=2OA=4。 (1)求0B的长。(6分) 解：：0E=20A=4,0A=2,A(-2,0),E(0,-4).将点A(-2,0),E(0,-4) 分别代入y= x+bx+c 得 ×(-2)2-2b+c=0, 解得 b=-1, c=-4, c=-4, ·抛物线解析式为y= 22-x-4…（4分) 令y=0,则x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=4,点B的坐标为(4,0)，0B=4(6 分) (2)求△OBD的面积。(6分) 解：设直线BD的解析式为y=kx+h.20C=4,∴OC=2, C(0,2),把点B(4,0),C(0,2)分别代入y 1 [4k+h=0, =kx+h, 得 解得 k=-2' h=2, h=2, …直线BD的解析式为y= 2x+2.…(10分) 1 y=- 2x+2, X1=-3, 联立 解得 7 y三5x2-x二4 y1=2' ·S△OBD= 0By2=7（(12分） 2 29/118 九数上单元测 21.项目式学习（(12分) 项目主题：无人机灌溉研究。 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化。 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉。 建立模型：如图(1)，设无人机控制中心为点O,两个喷水口分别为点A,B,且点A,B, 0在同一条水平直线上，AB=60cm。如图(2)，以0为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷 水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C, 0C=300cm. 入d 图(1) B 图(2) 图(3) 图(4)-4-… (1)求点A所在抛物线的函数解析式。（3分) 解：AB=60cm,点A与点B到点O的距离相等， 0A=OB=30cm,÷点A的坐标为(-30,0)。 :0C=300cm,÷.点C的坐标为(0，-300)。 设点A所在抛物线的函数解析式为y=a(x+30), 将点C(0,300)代入得：-300=900a,解得a三 ·点A所在抛物线的函数解析式为y=一 3x+30)2。 30/118 九数上单元测 (2)无人机控制中心距地面的初始高度为300cm,为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到 合适位置。如图(3)，要使宽度为EF=30c的田埂（高度忽略不计)恰好不被喷洒到水， 求无人机应下降的高度。（4分) 解：EF=30cm,点E和点F关于y轴对称， 设点E的坐标为(-15，k)。 将点E(-15,0代入y=+30识，得k-号×(-15+302-75， 点E的坐标为(-15，-75)， ·无人机喷水口距离地面的高度为75cm时符合要求， ·无人机应下降的高度为300-75=225(cm)。 答：无人机应下降的高度为225cm。 (3)如图(4)，在直线AB上再增加2个喷水口M和N,M在A左侧，N在B右侧， 且MA=AB=BN,当无人机上升到距地面的高度为675cm时，求此时喷洒水覆盖区域宽 度PQ的长。(5分) 解：由题意得，MA=AB=60cm,A点坐标为(-30,0)， 六M点坐标为(-90,0)，M所在抛物线解析式为y=-3c+90)P。 :无人机上升到距地面的高度为675cm,·点P的纵坐标为-675。 1 把y=-675代入y=-3x+90)2中， 得-7x+90)2=-675,解得x1=-45,为=-135，P(-135,-675) :P,Q关于y轴对称，PQ=2×135=270(cm)。 22.探究性问题（14分) 如图，在平面直角坐标系中，直线：y=kx+b经过抛物线y=x2+2mx+2m2-m(m≠0) 的顶点P。已知抛物线经过原点。 31/118 九数上单元测 备用图 (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标。(4分) 解：抛物线经过原点，2m2-m=0, 1 1 解得m=0或m=2。:m≠0，sm=2,÷抛物线的解析式为y=2+x。 1 1 11 y=2+x=x+乞年顶点P的坐标为(-元年： (2)当t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值。(4分) 解：当t+1<-即t<-时，y随x增大而减小， 1 由题意得(t+1)2+(t+1)=2,解得t1=-3,t2=0(舍去)，t的值为-3； 当号t≤时，y的最小值为 ,不符合题意； 当t>-2时，y随x增大而增大， 由题意得t2+t=2,解得t1=-2(舍去)，t2=1,“t的值为1。 综上，t的值为-3或1。 (3)当k=2时，动点E在直线1下方的抛物线上，过点E作EFⅡx轴交直线1于点F, 令S=EF,求S的最大值。(6分) 11 解：由题意得，当k=2时，直线y=2x+b经过点P(-2,一， 62x(-2+b=-年b-是y=2x+是 3 32/118 九数上单元测 315 易得直线1与抛物线的另一个交点坐标为(，年) 设点m,2+,且-m<是》 :EFIx轴，点F的纵坐标为n2+n, 2,13 1 13 令2x±2+，解得x=2中音 2 13、1 131 ,1 1 、113 1 2<0,一2<n<2当m=2时，S取得最大值，为 33/118