第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上第二十六章二次函数单元复习卷，涵盖定义、图象性质、最值应用等核心知识，通过矩形窗子设计、铅球运动轨迹等情境，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数定义、图象与性质、交点距离|结合图象比较系数大小，发展几何直观| |填空题|5题|最值、对称变换、解析式确定|以水幕电影为背景，体现模型观念| |解答题|5题|面积计算、利润最值、动态几何综合|18题销售利润问题培养应用意识，19题动态点探究提升推理能力|

第二十六章二次函数 单元练习 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 8．（第五章二次函数高效同步练习2二次函数的图象第1课时二次函数y）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的最大值是_____． 12．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 13．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 15．（吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题）已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 三、解答题 16．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 17．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值； 20．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章二次函数 单元练习2026-2027学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B C C D C C 1．A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 3．A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 4．A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 5．B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 6．C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 7．C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 8．D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 9．C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 10．C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 11． 【分析】根据二次项系数，得到抛物线开口向下，并有最大值，根据抛物线顶点坐标公式得到顶点坐标的纵坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 最大值为． 12． 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 13．3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 15．①②③ 【分析】根据二次函数的图象与性质可依次排除选项，然后问题可求解． 【详解】解：根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称， ∴，即，故①正确； ∵为抛物线上纵坐标相同的两点， ∴轴，故②正确； ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴根据轴对称的性质可知：，故③正确； 由图象可知：当时，则有，故④错误； ∵抛物线过原点， ∴当时，则，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 16．(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 17．(1)，顶点坐标为 (2)，与x轴的交点坐标为 (3)所作函数图象如图所示： 【分析】（1）根据配方法配成顶点式，然后可得函数的顶点坐标； （2）根据十字相乘法把函数化成的形式，然后令时进行求解即可； （3）根据二次函数图象的画法进行作图即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； （2）解：由题意得：， 当时，则有，解得：， ∴此函数图象与轴交点的坐标为； （3）解：由题意可列表如下： x ….. 1 …... y ….. 5 0 0 …… 所作函数图象略． 18．(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将代入得到关于的二元一次方程组求解即可； （2）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可； （3）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求点的坐标，根据题意画出图形，分情况求解即可； （4）抛物线，顶点，对称轴，分区间讨论的范围，根据“最大值最小值”列方程求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解这个方程组得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， 则， 当时，有最大值为． （3）解：由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 由（2）知直线的解析式为：， 把代入，得， 点的坐标为； 如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ，， ， 若以点为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点作轴于点，，则为等腰直角三角形， 过点作，则为等腰直角三角形， 则四边形为正方形， 依题意，知与重合，， ， 则点的坐标为； ②以为中心分别作点的对称点，连接， ，，，为等腰直角三角形， 则四边形是菱形，为等腰直角三角形，点的坐标为 ， 则四边形是正方形，则点的坐标为； ③延长到使，作于点， ， 则四边形是矩形， 又， 则四边形是正方形， ， 即为的中点， 又， 则的坐标为； ④取的中点，的中点，连接， 由①②得，为等腰直角三角形， ，为等腰直角三角形， 则为正方形， ， 则的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：． （4）解：抛物线，顶点，对称轴， 在区间： ①当，区间最小值为， 区间最大值． 当，最大值在处为，，不满足； 当，右端点的函数值更大， 令，解得（负根舍去）； ②当时，函数在单调递减， 最小值在，最大值在， 则有， ，，方程无实根， 综上，． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $