第26章 二次函数 基础测试卷-2026-2027学年九年级数学上册单元测（人教版）

九数上单元测 第26章二次函数基础测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.某些运动轨迹可抽象为抛物线，在初中数学中我们通过二次函数研究抛物线。下列函数中， 是关于x的二次函数的是() A.y=x-1 B.y=a2x2+bx+c 1 Cy=x D.y=-x(x+3) 2.抛物线y=3(x+1)2+2的顶点坐标为（) A.（-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.(2,1) 3.若抛物线y=ax2+2x-10的对称轴是直线x=2,则a的值为（) A.2 B.1 C.-0.5 D.0.5 4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个近似根（精确到0.1），抛物线与x轴的一个交 点坐标为(-3.4,0)，抛物线的对称轴为直线x=一1，则方程的另一个近似根为（) A.x=2.4 B.x=2.6 C.x=1.4 D.x=1.6 X=-1 4 5.二次函数y=-3(x-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y=-3(x-2)2+3的图象() A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 6/54 九数上单元测 6若点A(-1,y1),B(0,y2),C(1,y3)都在二次函数y=2x2-x的图象上，则y1,y2,y3的大 小关系是（) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-x+a与二次函数y=ax2一a(a为常数，且a≠0) 的图象可能是() 8.某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是x,则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元)与x的函数关系式为() A.y=9(1+x)3 B.y=9+9x+9x2 C.y=9+9(1+x)+9(1+x)2 D.y=9(1+x)2 9.二次函数y=-x2-2x+m2-2m在-3≤x≤2的范围内有最小值为-5，则m的值为() A.3或-1 B.-1 C.-3或1 D.3 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：(1)abc>0; (2)b-a>c;(3)a+2b+c>0;(4)3a>-c;(5)a+b>m(am+b)(m≠1)。其中结论正 确的是() A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 7/54 九数上单元测 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.抛物线与x轴交于点(0,0)，(-2,0)，则该抛物线的解析式可以为 一。（填一个即可） 12.在同一平面直角坐标系中，作出①y=32,②y=2x,③y=2的图象，则从里到外的 三条抛物线对应的函数依次是 (填序号)。 12题图 13题图 13.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于A(-3,-1),B(0,2)两点，则关于x的 不等式ax2+bx+c>mx+n的解集是 14.A,B为二次函数y=2(x-2)2-1图象上的两点，且直线AB垂直于y轴，若AB=2,则点 B的纵坐标为。 y/m 3 2 14题图 15题图 B x/m 15.投壶时箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投出时箭头距地面 9M孚售对犟必I一学罩智玉工长鸚`用1【保罩本北州上杀嗯东‘u之4爸回阳 垂直于x轴，且BC=3m。若小西投壶恰好投中，则BC的长为m。 16.对于一个函数，当自变量x取t时，其函数值y等于3t,我们称t为这个函数的“三倍数”。 若二次函数y=x2+7x+2m有且只有一个“三倍数”，则m的值为。 8/54 九数上单元测 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A(1,-6),B(3,10)。 (1)求a,c的值； (2)求二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标。 18.已知抛物线y=x2-2x+2上有A(2,m),B(4,n)两点。 (1)通过计算判断点(3,4)是否在该抛物线上； (2)判断m和n的大小关系，并说明理由。 19.利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD IIBC,且∠C=90°。新建墙BCD 总长为15m。 (1)设储料场面积为Sm2,DC的长为xm,求S与x的函数关系式； (2)x取何值时，才能使储料场的面积最大？最大面积为多少？ D 135° B C 9/54 九数上单元测 20.已知抛物线y=x2-(m+2)x+2m-1。 (1)求证：不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与y轴交于点(0,3)，求当y>0时，x的取值范围。 21.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货价为50元。规定每件售价不低于进货价， 每月的销售量y（件)与售价x（元/件)满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x（元件) 60 65 70 销售量y(件) 1400 1300 1200 (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该衬衫每件的利润不允许高于进货价的50%，每月的总利润为w（元)，售价定为多 少可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若每月想获利24000元，该如何定价？ 10/54 九数上单元测 22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴交于A(1,0),B两点， 与y轴交于点C(0,3)。 (1)求抛物线与直线BC的解析式： (2)在抛物线的对称轴直线x=一1上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标； (3)设P为直线x=一1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。 B OA 11/54九数上单元测 第26章二次函数基础测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.某些运动轨迹可抽象为抛物线，在初中数学中我们通过二次函数研究抛物线。下列函数中， 是关于x的二次函数的是() A.y=x-1 B.y=a2x2+bx+c Cy-x 1 D.y=-x(x+3) 答案：D 解析：A选项，y=x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B选项，当a=0时，y= 1 bx+c不是二次函数，不符合题意；C选项，y=之不是二次函数，不符合题意；D选项，y=- x(x+3)=一x2-3x是二次函数，符合题意。故选D。 2.抛物线y=3(x+1)2+2的顶点坐标为（) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.(2,1) 答案：A 解析：抛物线y=3(x+1)2+2的顶点坐标为(-1,2)。故选A。 3.若抛物线y=ax2+2x-10的对称轴是直线x=2,则a的值为（) A.2 B.1 C.-0.5 D.0.5 答案：C b21 解析：抛物线y=ax2+2x-10的对称轴是直线x=2,x=- 2a=-2a=-a =2,∴a=- 0.5。故选C。 4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个近似根（精确到0.1)，抛物线与x轴的一个交 点坐标为(-3.4,0)，抛物线的对称轴为直线x=一1，则方程的另一个近似根为（) 10/118 九数上单元测 A.x=2.4 B.x=2.6 C.x=1.4 D.x=1.6 X=-1 4 答案：C 解析：抛物线与x轴的一个交点坐标为（一3.4,0），抛物线的对称轴为直线x=一1，“抛物线与 x轴的另一个交点坐标为(1.4,0)，即方程的另一个近似根为x=1.4,故选C。 5.二次函数y=-3(x-1)的图象经过怎样的平移可得到函数y=-3(x-2)2+3的图象() A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 答案：A 解析：y=-3(x-2)2+3=-3(x-1-1)2+3,二次函数y=-3(x-1)2的图象向右平移1 个单位，再向上平移3个单位可得到函数y=一3(x-2)2+3的图象。故选A。 6.若点A(-1,y1),B(0,y2),C(1,y3)都在二次函数y=2x2-x的图象上，则y1,y2,y3的 大小关系是（) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 答案：D 解析：r点A(-1,y1),B(0,y2),C(1,y3)都在二次函数y=2x2-x的图象上，y1=2×(-1)2- (-1)=3,y2=2×02-0=0,y3=2×12-1=1.0<1<3,y2<y3<y1。故选D。 11/118 九数上单元测 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-x+a与二次函数y=ax2-a(a为常数，且a≠0) 的图象可能是() B 答案：D 解析：A选项，根据二次函数图象可得a<0,由此判断直线y=-x+a需经过第二、三、四 象限，故本选项不符合题意；B选项，根据图象可得一次函数y=-x+a中a>0,则二次函 数y=ax2一a的图象应开口向上，故本选项不符合题意；C选项，根据图象可得一次函数y=一 x+a中a<0,则二次函数y=ax2一a的图象应开口向下，故本选项不符合题意；D选项，根 据图象可得一次函数y=-x+a中a>0,则二次函数y=ax2-a的图象应开口向上，且与y 轴交于负半轴，故本选项符合题意。故选D。 8.某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是x,则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元)与x的函数关系式为() A.y=9(1+x)3 B.y=9+9x+9x2 C.y=9+9(1+x)+9(1+x)2 D.y=9(1+x)2 答案：C 解析：·该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相 比增长率都是x,“该厂今年二月份新产品的研发资金为9(1+x)万元，三月份新产品的研发资 金为9(1+x)2万元。根据题意得y=9+9(1+x)+9(1+x)2。故选C。 9.二次函数y=-x2-2x+m2-2m在-3≤x≤2的范围内有最小值为-5，则m的值为() A.3或-1 B.-1 C.-3或1 D.3 12/118 九数上单元测 答案：A 解析：y=-x2-2x+m2-2m=-(x+1)2+m2-2m+1,抛物线开口向下，对称轴为 直线x=-1.2-(-1)>-1-(-3),在-3≤x≤2的范围内，x=2时，y=-4-4十 m2-2m=m2-2m-8=(m-1)2-9为函数最小值，：.(m-1)2-9=-5,解得m=3或 m=-1,故选A。 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：(1)abc>0; (2)b-a>c;(3)a+2b+c>0;(4)3a>-c;(5)a+b>m(am+b)(m≠1)。其中结论正 确的是（) A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 答案：B 解析：①对称轴在y轴的右侧，ab<0。由图象可知c>0,∴abc<0,故①不正确。②当x= 1时，y=a-b+c<0,∴b-a>c,故②正确。对称轴为直线x=1,b=-2a,∴a+2b+ c=a+2×(-2a)+c=a-4a+c=-3a+c。'a<0,.-3a>0,.-3a+c>0,∴a+2b+ c>0,故③正确。④：a-b+c<0,b=-2a,∴a+2a+c<0,∴3a<-c,故（④不正确。 ⑤当x=1时，y的值最大，此时y=a+b+c,而当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c, ∴.a+b+c>am2+bm+c,故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故⑤正确。综上， ②③⑤正确。故选B。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.抛物线与x轴交于点(0,0)，(-2,0)，则该抛物线的解析式可以为一。 (填一个即可) 13/118 九数上单元测 答案：y=x2+2x（答案不唯一) 解析：抛物线过点(0,0)，（-2,0)，可设此二次函数的解析式为y=ax(x+2)。把a=1代 入，得y=x2+2x。 12在同-平面直角坐标系中，作出①y-3,@y,⑧y-2的图象，则以里到外的 三条抛物线对应的函数依次是一（填序号）。 答案：①③② 解析：①y-3,@y-方，@①y-中，二次项系数分别为3，分1.3>1>7 1 1 抛物线②y=22的开口最大，抛物线①y=3x2的开口最小。 13.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于A(-3,-1),B(0,2)两点，则关于x的 不等式ax2+bx+c>mx+n的解集是 答案：-3<x<0 解析：由图象可知，当-3<x<0时，抛物线位于直线上方，不等式ax2+bx+c>mx+n 的解集是-3<x<0。 14.A,B为二次函数y=2(x-2)2-1图象上的两点，且直线AB垂直于y轴，若AB=2,则点 14/118 九数上单元测 B的纵坐标为一。 y个 X 答案：1 解析：抛物线y=2(x-2)2-1的对称轴为直线x=2。AB=2,∴点B横坐标为2+1=3。 将x=3代入y=2(x-2)2-1得y=1,点B的纵坐标为1。 15.投壶时箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投出时箭头距地面 的高度为m,当箭头行选的水平距离为1m时，箭头行进至最高点m处，壶的最左侧BC 垂直于x轴，且BC=3m。若小西投壶恰好投中，则BC的长为m。 y/m 32 0 B x/m 答案：0.3 3 6 解析：由题意知，抛物线的顶点坐标为(1，之)，A(0,)。 设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2 把点A坐标代入解析式得=0-1+2解得a= .6 3 3 抛物线解析式为y= 3 3 .3 0x一少2+3。当x=3时，y0×4+203 BC的长为0.3米。 15/118 九数上单元测 16.对于一个函数，当自变量x取t时，其函数值y等于3t,我们称t为这个函数的“三倍数”。若 二次函数y=x2+7x+2m有且只有一个“三倍数”，则m的值为一。 答案：2 解析：设二次函数y=x2+7x+2m的“三倍数”为t,则3t=t2+7t+2m, t2+7t+2m-3t=0,∴t+4t+2m=0。 :二次函数y=x2+7x+2m有且只有一个“三倍数”，“△=42-4×1×2m=0,解得m=2。 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A(1,-6),B(3,10)。 (1)求a,c的值； (2)求二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标。 答案 (1):二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A(1,-6),B(3,10), -a牛。-16解得0-二6 (2)由(1)知，y=2x2-8。 令x=0,则y=2x2-8=-8,二次函数y=2x2-8的图象与y轴的交点坐标为(0，-8)。 令y=0,则2x2-8=0,解得x=±2，∴二次函数y=2x2-8的图象与x轴的交点坐标为(2,0)， (-2,0)。 18.已知抛物线y=x2-2x+2上有A(2,m),B(4,n)两点。 (1)通过计算判断点(3,4)是否在该抛物线上； (2)判断m和n的大小关系，并说明理由。 答案 (1)当x=3时，y=32-2×3+2=5,点(3,4)不在该抛物线上。 (2)m<n。 16/118 九数上单元测 理由：抛物线的解析式为y=x2-2x+2,抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, ÷当x>1时，y随x的增大而增大。 又：抛物线y=x2-2x+2上有A(2,m),B(4,n)两点，且1<2<4，m<n。 19.利用135的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD IIBC,且∠C=90°。新建墙BCD 总长为15m。 (1)设储料场面积为Sm2,DC的长为xm,求S与x的函数关系式； (2)x取何值时，才能使储料场的面积最大？最大面积为多少？ A D 135 B 答案 (1)由题意可得BC的长为(15-x)m。 过A作AH1BC于H。AD II BC,∴AH1DC,LAHC=90°。又∠C=90°， 四边形AHCD是矩形，AD=HC,AH=DC=xmo :LBAD=135°，∠BAH=∠BAD-∠DAH=45°，LABH=45°=∠BAH,BH=AH=xm, ..AD HC BC-BH=(15-2x)m, 1 2+15x. 3 S=24D+B0)DC=2(15-2x+15-0x= (2)由(0)可知s=-2+15x, 3 抛物线S=-弓2+15x的对称轴为直线x=- b 15 2 =5。 2a 2× 3 抛物线开口向下，当x=5时，储料场的面积最大，最大面积为-2×52+15×5= 7 2m2。 17/118 九数上单元测 20.已知抛物线y=x2-(m+2)x+2m-1。 (1)求证：不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与y轴交于点(0,3)，求当y>0时，x的取值范围。 答案(1)证明：由题意得方程x2-(m+2)x+2m-1=0, 则△=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4。 (m-2)2≥0，(m-2)2+4>0,即△>0， :不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点。 (2)把(0,3)代入y=x2-(m+2)x+2m-1得2m-1=3,解得m=2, ∴该抛物线的解析式为y=x2-4x+3。 令x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, 抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)。 抛物线开口向上，∴当y>0时，x的取值范围为x<1或x>3。 21.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货价为50元。规定每件售价不低于进货价， 每月的销售量y(件)与售价x（元/件)满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x(元/件) 60 65 70 销售量y(件) 1400 1300 1200 (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该衬衫每件的利润不允许高于进货价的50%，每月的总利润为w（元)，售价定为多 少可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)若每月想获利24000元，该如何定价？ 答案 (1)设函数解析式为y=kx+b(k≠O), 18/118 九数上单元测 将x=60,y=1400;x=65,y=1300代入得： 60k+b=1400 65k+b=1300' 解得[260 y=-20x+2600。 (2)衬衫的最高售价为50×(1+50元/件，最低售价为50元/件，50≤x≤75。 w=(x-50)(-20x+2600)=-20(x-90)2+32000, 50≤x≤75，x=75时，w有最大值，为27500， 即售价定为75元/件时可获得最大利润，最大利润是27500元。 (3)令(x-50)(-20x+2600)=24000,解得x=70或x=110, 答：可定价为70元/件或110元/件。 22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，与x轴交于A(1,0),B两点， 与y轴交于点C(0,3)。 (1)求抛物线与直线BC的解析式； (2)在抛物线的对称轴直线x=一1上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标； (3)设P为直线x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标。 b (a=-1 答案(1)由题意得 2a 解得 b=-2, a+b+c=0 c=3 c=3 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3。 由对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),得B(-3,0)。 将8(-30，c03)代入y=mx+n得0”3+解得子 直线BC的解析式为y=x+3。 19/118 九数上单元测 (2)当点M为直线BC与抛物线对称轴直线x=-1的交点时，MA+MC的值最小。 将x=-1代入直线y=x+3得y=2,故M(-1,2)。 (3)设P(-1,t)。B(-3,0),C(0,3), BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18, PB2=(-1+3)2+t2=4+t2, PC2=(-1-0)2+(t-3)2=1+(t-3)2。 ①B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=1+(t-3)2, 解得t=-2,P(-1,-2); ②C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2,即18+1+(t-3)2=4+t2,解得t=4,P(-1,4); ③P为直角顶点，则P82+PC2=BC,即4+2+1+-3=18.解得t=3±厘 2 (3+9(2） 综上，点的坐标为-12减(-1w减(12+2平(12四） 20/118