第五章 二次函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级二次函数，以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，融合地域实景（如阜南中岗油菜花商机）与生活问题（自行车车棚设计），适配单元复习，培养数学抽象、运算及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移等|第1题考查定义辨析，第10题结合运动速度图像分析路程函数，体现数学眼光| |填空题|6/18|图像交点、解析式变形、不等式解集等|第14题以抛物线形沟渠为背景，第16题综合图像性质判断，强化推理意识| |解答题|8/72|作图、最值、动态几何与实际应用|21题构建利润模型，24题探究动点与等腰直角三角形存在性，契合中考综合命题趋势，发展应用意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章二次函数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 5 6 8 9 10 D B D B C A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.0或-3 12.（1,0) 13.y=(x-2}2-1 14.46 15.1≤x≤3 16.①③⑤ 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【解析】(1) 画出函数图象如图所示： 3 4-3-2-10 2月45元(2分) 2 (2)解：y=-4+3=(x-2}-1 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故抛物线的顶点坐标为2，) :(4分) (3)解：当x=-1时，y=(--4x(-)+3=1+4+3=8 由图象可得，当-1<x<3时，y的取值范围为1≤y<8. (6分) 18.(6分) 【解析】(1)解：把 (-2.0,B,0)代入y=-r+x+C得： 「-4-2b+c=0 1-1+b+c=0, b=-1 解得c=2: 二次函数解析式为'--x+2 :3分) (②)解：由(1)知，二次函数解析式为'=-r-x+2。 设点P坐标为m,m2-m+2) aPMB的面积为6，AB=1-(2)=3 :m号B3xm㎡-m+-6, :m2-m+2=4 即-m2-m+2=4或-m2-m+2=-4, 解得：m=-3或m=2, :P-34或2) (6分) 19.(8分) 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)解：将点 ,2）,点1代入为=+x+c得： [c=2 1+b+c=1, 「c=2 解得： b=-2, 二次函数的解析式为片=？-2x+2 将点4代入为=低得：k=1 =x ∴正比例函数的解析式为 令x2-2x+2=x, 解得：x=1或x=2, 时，1 当s1 当s2 时，2 （为点4的坐标。 .B的坐标为 2,2) (5分) (2)解：由(1)可得：x2-2x<x-2, B 0112 :-2x+2<x,即%<%， :片<少，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1<x<2 (8分) 20.(8分) 【解析】(1) 证明：a=4m-4(2m-） =4m2-8m+4 =4(m-1)2≥0 所以不论 m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；(3分) (2) 证明：y=r-2m+2m-1=(x-m}-(m-1 二次函数y=r-2mx+2m-1的顶点坐标为m,-(m-] 当=m时，y=-(-}=-(m-1 所以不论m为阿值，该二次函数的图象的顶点都在函数)-(：-1的图象上：《6分) (3)函数的对称轴为x= 2a =m,a=1>0' ∴抛物线开口向上， 点 A(-3,y)B(1, 在二次函数图像上，片> :m-（-3小>1-m 解得：m>-1」 故答案为：m>-1.(8分) 21.(8分) 【解析】(1)解：设燕子型风筝售价为x元时，销售量为)个， 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=180-10(x-12)=-10x+30012≤x≤30 根据题意可知： 销售量与售价之间的函数关系式为 =-10x+30012≤x≤3 ):(2分) (2)解：设锁大爷获得的利润为W元， 则P=(-10y=(-100-10x+30）)=-10r2+40x-300 令W=840,则-10x2+400x-3000=840, x=16x2=24 解得： ,锁大爷为了让利给孩子， .x=16 答：售价应定为16元；(5分) W=-10x2+400x-3000=-10(x-20)2+1000 (3)解： a=-10<0. ∴.当x=20时，W取最大值，最大值为1000 答：当售价定为20元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是1000元.(8分) 22.(8分) 【解析】(1)解：设AB=x,则BC=38-2x, x(38-2x)=180 根据题意得 解得专10 x2=9 当x=10时，38-2x=18； 当x=9时，38-2x=20>19(不合题意，舍去)： 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长和宽分别为18m、10m;(4分) (2)解：能， 设围成的矩形面积为y,AB=x, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据思意得y=x(38-2y=-2+38x=-20x-9.5}+180.5 :抛物线开口向下， 当95 y 180.5m2 ，有最大值，为 此时38-2x=19,符合题意， 综上所述，自行车车棚有最大面积，最大面积为180.5m2.(4分) 23.(14分) 【解析】(1)解：把 -10.B(3,0)代入y=+x-3得： [a-b-3=0 [a=1 9a+3b-3=0,解得： b=-2 y=x2-2x-3 ∴抛物线解析式为： 当x=0时，y=-3, C(0,-3) 点 设直线BC的解析式为y=c+C, 把 B3,0).C0,-3)代入得： 3k+c=0 [k=1 c=-3,解得：c=-3, 直线BC的解析式为y=x-3,(3分) (2)解：观察图象得：当x≥3或x≤0时，抛物线图象位于直线BC的上方， 此时x2-2x-3≥x-3,即x2-3x≥0， “.不等式x2-3x≥0的解集为x≥3或x≤0；(5分) 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①如图，过点P作PMLx轴于点M,交直线BC于点N, y B 设点Pm㎡-2m-),测Nmm-). PN=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m 5.-(OM)08) 2 m- 2 2 8, 27 ∴当m=2时，△PBC的面积最大，为8， (315 此时点P的坐标为24： (10分) ②y=-2x-3=(x-1}-4 抛物线的对称轴为直线x=1, ,以P,C,Q,B为顶点的四边形是平行四边形，且点B,Q均在x轴上， .PC∥QB,PC=QB. 点P和点 (0,-3) 关于对称轴对称， 2-3) 点P的坐标为 .BO=PC=2, B(3,0) 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点Q的坐标为 .0叭或5.0 (14分) 24.(14分) 【解析】(1)解：，抛物线的对称轴是直线x=3, -2=3, 2a 1 解得a=- 4’ 3 ∴抛物线的解析式为y=- x2+2x+4 4 2 12 3 令y=0,则4+2x+4=0, 解得2书=8 ∴.A(-2,0)B(8,0) ∴.AB=8-（-2)=10 (3分) (2②)解：①由(1)知抛物线的解折式为y=-+3x+4, 3 4 2 在y=-名++4中，当x=0时y=4 4 2 :c04 8k+b=0 设直线BC的解析式为y=x+b(k≠0)，则b=4, k=- 2 解得b=4’ 直线C的解打式为y=+4, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 由题意知点M的坐标为仍-4m+2m+④ 点N的坐标为 1 40, ∴.当m=4时，线段MN的长有最大值， 此时4m2+m 1 3 5m+4三-×42+3×4+4=6 4,6) 点M的坐标为 (8分) ②：MD⊥MN, ∠DMN=90°， △DMN为等腰直角三角形， .DM MN. 当点M在对称轴右侧，即3<m<8时，如图1所示， y个 D M A 3 B 图1 DM=2(m-3) 由题意，得 由(2)①得W=- 4㎡+2m. 2(m-3)=-m2+2m」 4 解得m=26或m=-26 (舍去)； 当点M在对称轴左侧，即0<m<3时，如图2所示， 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y◆ D A 3 B 图2 由题意得DM=23-m),MN=- m2+2m 4 20-j2m 解得m=8-210成8+2V10 或 (舍去)， 26.8-210 综上所述，m的值为 或 (14分) 10/10 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 13．把二次函数变形为的形式为_____ 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 19．(8分）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 20．（8分）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有公共点； (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (3)已知点，在二次函数图像上，若，则m的取值范围是______． 21．（8分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 22．（8分）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 23．（14分）已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC． (1)求抛物线和直线对应的函数表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（14分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 13．把二次函数变形为的形式为_____ 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 18． （6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 19．（8分）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 20．（8分）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有公共点； (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (3)已知点，在二次函数图像上，若，则m的取值范围是______． 21．（8分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 22．（8分）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 23．（14分）已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC． (1)求抛物线和直线对应的函数表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（14分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 4．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线图象的平移，解题思路是先将原抛物线一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标，再根据点的平移规律得到平移后的顶点坐标，用到平移规律：向右平移，横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：， 原抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，顶点平移规律与点的平移规律一致，向右平移横坐标加，纵坐标不变 ， 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 故平移后抛物线的顶点坐标为． 5．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 6．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴与只有一个交点， ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键． 7．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 8．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 9．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 10．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 13．把二次函数变形为的形式为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，通过配方法完成平方变形即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1) 画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；再描点、连线即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 19．(8分）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】 (1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 20．（8分）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有公共点； (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (3)已知点，在二次函数图像上，若，则m的取值范围是______． 【答案】 (1) 证明：∵ ， 所以不论 m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； (2) 证明：， 二次函数的顶点坐标为 当时，， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上； (3) 【分析】（1）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断； （3）先计算出抛物线的对称轴，然后根据开口方向及题意得出，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）函数的对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∵点，在二次函数图像上，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 21．（8分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)) (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元 (3)当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设燕子型风筝售价为元时，销售量为个，根据题意列出一次函数关系式； （2）设锁大爷获得的利润为元，根据题意写出函数关系式，令，解方程，即可求解． （3）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 22．（8分）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)自行车车棚的长和宽分别为、 (2)能，最大面积为 【分析】（1）设，则，由围成的矩形面积列方程求解； （2）设围成的矩形面积为，得到，由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； （2）解：能， 设围成的矩形面积为，， 根据题意得， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，为， 此时，符合题意， 综上所述，自行车车棚有最大面积，最大面积为． 【点睛】这是实际应用题，求解时一定要注意满足题中实际的限制条件． 23．（14分）已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC． (1)求抛物线和直线对应的函数表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】 (1)； (2)或 (3)①当的面积最大时，点P的坐标为；的面积为 ②或 【分析】（1）把代入，可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解； （2）观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方，此时，即可求解； （3）①过点P作轴于点M，交直线于点N，设点，则，可得，再由，列出函数关系式，即可求解；②根据平行四边形的性质可得，，从而得到点P和点关于对称轴对称，进而得到点P的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得： ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方， 此时，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：①如图，过点P作轴于点M，交直线于点N， 设点，则， ∴ ， ∴， ∴当时，的面积最大，为， 此时点P的坐标为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，且点B，Q均在x轴上， ∴，， ∴点P和点关于对称轴对称， ∴点P的坐标为， ∴， ∵， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用待定系数法解答是解答问题（1）的关键，将不等式转化为，然后利用函数图象求解是解答问题（2）的关键，得到与m的函数关系式以及判断出与为平行四边形的对边是解答问题（3）的关键． 24．（14分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $