第25章 一元二次方程 综合测试卷-2026-2027学年九年级数学上册单元测（人教版）

九数上单元测 第25章一元二次方程综合测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.若一元二次方程3x一5=2x2化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是() A.3 B.-3 C.5D.-5 答案：B 2.一元二次方程(x+11)2=81可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+11=9,则 另一个是() A.x-11=-9 B.x-11=9 C.x+11=9 D.x+11=-9 答案：D 解析：方程两边直接开平方得x+11=9或x+11=-9,故选D。 3.关于x的一元二次方程x2-x+k2+2=0根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 答案：C 解析：△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(k2+2)=-4k2-7=-(4k2+7)<0,方程无实数 根，故选C。 4.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x(x-1)=3(x-1),解答过程如下： 甲：两边同时除以x一1，得x=3。 乙：移项，得x(x-1)-3(x-1)=0,·(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,解得 X1=3,X2=1。 下列判断正确的是() 1/118 九数上单元测 A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 答案：C 解析：x一1可能为0,0不能作除数，甲的解法漏解；乙用因式分解法求解正确，故选C。 11 5.一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,则二+的值为() X1 x2 3 A.3 B.-3C 3 D.-2 答案：A 6,若关于x的-元二次方程的根为x=二（-2)±V(-2)2-4×3×(-) 2×3 则该一元二次方程为() A.3x2-2x-1=0 B.3x2+2x+1=0 C.-3x2-2x+1=0 D.-3x2+2x-1=0 答案：A 解析：由求根公式得a=3,b=-2,c=-1,方程为3x2-2x-1=0,故选A。 7.如图，在五角星ABCDE中，F,G,H,M,N分别是边与边的交点，若AF:AG=FG:AF 且AG=2,则AF的值为() A.V2-1 R5+1C.5-1D. +1 2 2 答案：C 2/118 九数上单元测 解析：设AF=x,则FG=2-x,由AF2=AG·FG得x2=2(2-x),整理为x2+2x-4=0, 解得x=V5-1（负根舍去)，故选C。 8.2023年生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，2025年生产1吨药 品的成本是3200元，设这种药品生产成本的年平均下降率为x,下列说法错误的是() A.2023-2025年这种药品生产成本的年平均下降额是900元 B.2024年生产1吨这种药品的成本为5000(1-x)元 C.x=20 D.按照这种下降速度，2026年生产1吨这种药品的成本为2300元 答案：D 9.传统文化，我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正 根)的几何解法，以方程x2+2x一8=0为例说明。在下面四个选项中，能正确说明方程x2一 3x-10=0的解法的是() x+2 x+2 x+2 x+2 答案：C 解析：方程变形为x(x-3)=10,中间小正方形边长为3，大正方形面积(2x-3)2=4×10+ 9=49,对应图形为C,故选C。 10.规律探究，如图是由同样大小的圆按一定规律排列组成的，第1个图形有4个圆，第2 个图形有8个圆，第3个图形有14个圆，第4个图形有22个圆..按此规律，第n个 图形中圆的个数是134，则n=() 3/118 九数上单元测 第1个图形88 第3个图形C文 第4个图形○ A.10 B.11 C.12 D.13 答案：B 解析：第n个图形圆的个数为n(n+1)+2,列方程n(n+1)+2=134,解得n=11（负根舍 去)，故选B。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.已知(m-1)xlm+1-3x-5=0是一元二次方程，则m= 答案：-3，解析：由lm+1=2且m-1≠0，解得m=-3。 12.如果一元二次方程x2+px+45=0配方后得到(x-7)2=4,那么p=一 答案：-14，解析：(x-7)2=4展开为x2-14x+45=0,故p=-14。 13.若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2倍，则这个多边形的边数为。 答案：7，解析：设边数为m,列方程0，)=2m,解得n=7(n=0舍去)。 2 14.在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错一次项系数b,解得x1=-1,x2=-4; 小颖看错常数项c,解得x1=2,x2=3。正确的一元二次方程： 答案：x2-5x+4=0 解析：由根与系数关系得c=(-1)×(-4)=4,-b=2+3=5,即b=-5。 4118 九数上单元测 15.如图是2025年4月份的月历，圈出4个数，最小数与最大数的乘积为153，则最小 数为 二 四五六 日 123456 初四初五初六清明初八初九 78910111213 初十十一十二十三十四十五十六 14151617181920 十七十八十九二十廿一廿二谷雨 21222324252627 廿四廿五廿六廿七廿八廿九三十 282930 四月初二初三 答案：9 解析：设最小数为x,最大数为x+8,列方程x(x+8)=153,解得x=9（负根舍去)。 16.Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A以1cm/s向B移动，点Q从B以 2cm/s向C移动，t秒后PQ将△ABC面积分成1：2两部分，则t= 8 cm 6 cm 答案：2或4 解析：BP=6-t,BQ=2t,由S△P0=S△ABc或号SAABC,解得t=2或4。 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17.(8分)解方程： (1)x2+2V5x+2=0 (2)(3x+2)(x+3)=4(x+1) 解：(1)移项得x2+2V5x=-2,配方得x2+2V5x+5=3, 即(x+V5)2=3,开方得x+V5=±V3,解得x1=-V5+V3,x2=-V5-V3。 解：(2)整理得3x2+7x+2=0,△=72-4×3×2=25>0， 由求根公式得x=7士5 1 6,解得x1=-2,=-30 5/118 九数上单元测 18.（10分)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m+3=0,m为常数。 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 1 解：△=[-2(m+1)]2-4×1×(m2-2m+3)=16m-8>0,解得m> (2)小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由。 解：小明的观点正确。当x=0时，m2-2m+3=0, △=(-2)2-4×1×3=-8<0，此方程无实数根，故原方程的根不会为0。 19.（10分)某水果店以640元成本收购水果80kg,现价12元kg,储藏每星期损失2kg, 费用16元，价格每星期涨2元kg。 (1)储藏x个星期后出售，售出价格为元kg。 答案：12+2x (2)要获利1156元且减少浪费，应储藏几个星期出售？ 解：设储藏m个星期，列方程：(12+2m)(80-2m)-16m-640=1156, 解得m1=11,m2=19,为减少浪费，取m=11。 20.新定义，（12分)定义：方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根满足x1+x2l=|x1x2,称为“和 谐方程”。 (1)方程x2-x=0“和谐方程”（填“是”或“不是”)。 答案：不是 解析：x1十x2=1,X1x2=0,不满足x1+x2l=|x1X2。 6/118 九数上单元测 (2)若方程x2-(m+2)x+2m=0是“和谐方程”，求m的值。 解：△=(m-2)2≥0，x1+x2=m+2,x1x2=2m, 2 由m+2l=12ml得(m+2)2=4m2,解得m1=2,m2=-3° (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，直接写出b,c满足的数量关系。 答案：b=c2,解折：1-名=1，Q≠0，故1b1=1,即62=c2。 b 21.综合与实践，（12分)用长100cm、宽40cm硬纸板做收纳盒。 【任务要求】 (1)任务一：如图(1)，设计无盖长方体收纳盒在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒 (2)任务二：如图（2)设计有盖长方体收纳盒在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的 小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分. 裁剪 裁剪 P(M) 裁剪 裁剪 EOMH 图（1) 图(2) G 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2,求剪去的小正方形 的边长.（6分) 解：设小正方形边长为xcm,列方程(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x1=10,x2=60（舍去)。答：边长为10cm。 (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608c,求该收纳盒的高.（6分) 解：设高为acm,底面长(50-a)cm,宽(40-2a)cm, 列方程(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58（舍去)。 7/118 九数上单元测 22.探究性问题，（14分)我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方 程通过“降次”转化为一次方程求解按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转 化为二次方程或一次方程进行求解， ①换元法求解四次方程：x4-5x2+4=0. 设x2=y,则原方程可变为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 当y=1时，即x2=1,x=士1； 当y=4时，即x2=4,x=±2. 原方程有四个根：x1=1,X2=-1,X3=2,x4=-2. ②因式分解法求解三次方程：x3-5x+2=0. 将其变形为x3-(4+1)x+2=0, ·x3-4x-x+2=0, .(x3-4x)-(x-2)=0, ·x(x+2)(x-2)-(x-2)=0, (x-2)(x2+2x-1)=0, x-2=0或x2+2x-1=0, “原方程有三个根：x1=2,x2=-1+√2，x3=-1-√2. (1)仿照以上方法解方程： ①x4+x2-12=0;②x3-17x+4=0. 解：①设x2=y,则原方程可变为y2+y-12=0,解得y1=-4,y2=3. 当y=-4时，即x2=-4,此时无解； 当y=3时，即x2=3,x1=V3,x2=-V3: 原方程有两个根：x1=√3，x2=-V5. ②将原方程变形为x3-(16+1)x+4=0,.x3-16x-x+4=0, (x3-16x)-(x-4)=0,·x(x+4)(x-4)-(x-4)=0, x-4)x2+4x-1)=0,÷x-4=0或x2+4x-1=0, ∴原方程有三个根：X1=4,x2=-2+√5，x3=-2-V5. 8/118 九数上单元测 (2)已知x2-x-1=0,且x>0,则x4-2x3+3x的值为 解标2发1=0,0，x-15,-×1, ·x4-2x3+3x=(x+1)2-2x(x+1)+3x =x2+2x+1-2x2-2x+3x=-x2+3x+1 =-x-1+3x+1=2x=1+V5.故答案为1+5. 9/118九数上单元测 第25章一元二次方程综合测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一项符合题意) 1.若一元二次方程3x-5=2x2化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是() A.3 B.-3 C.5D.-5 2.一元二次方程(x+11)2=81可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+11=9,则 另一个是() A.x-11=-9 B.x-11=9 C.x+11=9 D.x+11=-9 3.关于x的一元二次方程x2-x+k2+2=0根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 4.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x(x-1)=3(x-1),解答过程如下： 甲：两边同时除以x一1，得x=3。 乙：移项，得x(x-1)-3(x-1)=0,(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,解得 x1=3,x2=1。下列判断正确的是() A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 5.一元二次方程2+3x-1=0的两根为x1,2,则+1的值为(） 1 X1 X2 A.3B.-3 C 6若关于x的一元二次方程的根为x=(-2)士V(一2)2-4×3×(-D 2×3 则该一元二次方程为() A.3x2-2x-1=0 B.3x2+2x+1=0 C.-3x2-2x+1=0 D.-3x2+2x-1=0 7.如图，在五角星ABCDE中，F,G,H,M,N分别是边与边的交点，若AF:AG=FG:AF且AG=2, 则AF的值为() A.V2-1 B②+1 V5+1 2 C.5-1D 2 1/54 九数上单元测 8. 2023年生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，2025年生产1吨药 品的成本是3200元，设这种药品生产成本的年平均下降率为x,下列说法错误的是() A.2023-2025年这种药品生产成本的年平均下降额是900元 B.2024年生产1吨这种药品的成本为5000(1-x)元 C.x=20 D.按照这种下降速度，2026年生产1吨这种药品的成本为2300元 9.传统文化我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根) 的几何解法，以方程x2+2x-8=0为例说明。在下面四个选项中，能正确说明方程x2-3x一 10=0的解法的是() x+2 +2 x+2 x+2 10.规律探究，如图是由同样大小的圆按一定规律排列组成的，第1个图形有4个圆，第2 个图形有8个圆，第3个图形有14个圆，第4个图形有22个圆..按此规律，第n个 图形中圆的个数是134，则n=() 第1个图形ǒ 第2个图形父 第3个图形C 第4个图形( A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.已知(m-1)xlm+1-3x-5=0是一元二次方程，则m= 12.如果一元二次方程x2+px+45=0配方后得到(x-7)2=4,那么p= 13.若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2倍，则这个多边形的边数为 14.在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错一次项系数b,解得x1=-1,x2=-4; 小颖看错常数项c,解得x1=2,X2=3。正确的一元二次方程： 2/54 九数上单元测 15.如图是2025年4月份的月历，圈出4个数，最小数与最大数的乘积为153，则最小 数为 二三四五六日 初四祈五初六清明初入初 4 7 8910111213 初十十 十二十三十四 十五十六 8cm 14 15 1617181920 十七十八十九二十廿一廿二谷雨 2122 2324252627 廿四廿五廿六廿七廿八廿九三十 A→P 28 2930 15题图四月初二初目 16题图 6 cm 16.Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A以1cm/s向B移动，点Q从B以 2cm/s向C移动，t秒后PQ将△ABC面积分成1：2两部分，则t= 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.(8分)解方程： (1)x2+2V5x+2=0 (2)(3x+2)(x+3)=4(x+1) 18.（10分)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m+3=0,m为常数。 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围。 (2)小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由。 19.(10分)某水果店以640元成本收购水果80kg,现价12元kg,储藏每星期损失2kg, 费用16元，价格每星期涨2元kg。 (1)储藏x个星期后出售，售出价格为元kg。 (2)要获利1156元且减少浪费，应储藏几个星期出售？ 3/54 九数上单元测 20.新定义，（12分)定义：方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根满足x1+x2l=|x1x2,称为“和 谐方程”。 (1)方程x2-x=0“和谐方程”（填“是”或“不是"）。 (2)若方程x2-(m+2)x+2m=0是“和谐方程”，求m的值。 (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，直接写出b,c满足的数量关系。 21.综合与实践，（12分)用长100cm、宽40cm硬纸板做收纳盒。 【任务要求】 (1)任务一：如图（1)，设计无盖长方体收纳盒在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒， (2)任务二：如图（2)设计有盖长方体收纳盒在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的 小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分 裁剪 裁剪 M P(M) 裁剪 裁剪 EQAH 图（1) 图 (2) G 【问题解决】 （1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm,求剪去的小正方形 的边长.(6分) (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm2，求该收纳盒的高.（6分) 4/54 九数上单元测 22.探究性问题，（14分)我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方 程通过“降次”转化为一次方程求解按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转 化为二次方程或一次方程进行求解 ①换元法求解四次方程：x4-5x2+4=0. 设x2=y,则原方程可变为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. 当y=1时，即x2=1,x=±1；当y=4时，即x2=4,x=±2. 原方程有四个根：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2: ②因式分解法求解三次方程：x3-5x+2=0 将其变形为x3-(4+1)x+2=0，,x3-4x-x+2=0,·(x3-4x)-(x-2)=0, .x(x+2)(x-2)-(x-2)=0,.(x-2)(x2+2x-1)=0, “x-2=0或x2+2x-1=0,·原方程有三个根：x1=2,x2=-1+V2,x3=-1-V2. （1)仿照以上方法解方程： ①x4+x2-12=0;②x3-17x+4=0. (2)已知x2-x-1=0,且x>0,则x4-2x3+3x的值为 5/54