第二十九章 圆（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 九年级圆单元高效培优强化卷，覆盖圆的概念、位置关系、定理应用等核心知识，融合中考真题与各地模拟题，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|弦、弧等概念，点与圆位置关系|结合网格图考查几何直观，选用山东东营等地区期末题| |填空题|6/18|垂径定理，圆周角，圆锥侧面积|融入矩形与圆综合题，体现空间观念| |解答题|8/72|外接圆作图与计算，切线性质，扇形面积|含钢梁拱高计算等实际情境，突出推理能力与应用意识，适配中考命题趋势|

第二十九章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（ ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 4．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ） A． B．3 C． D． 6．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（ ） A．或 B．或 C． D． 7．（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（2026·山东枣庄·三模）如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是的弦，于点．若，则半径的长是______． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 13．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，是半圆的直径，，则等于__________． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为_________．（结果保留） 15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 18．（8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 20．（8分）（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 21．（10分）（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，． (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 22．（10分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图作出的外接圆；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交、于点D、E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（10分）（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，是的弦，于点，且，连接，． (1)如图1，若是直径，且， ①求的度数； ②求阴影部分的面积． (2)如图2，求证：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（ ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．已知中最长的弦为，则的半径为（ ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 4．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 6．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 7．（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 8．（2023·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 9．（2026·山东枣庄·三模）如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是的弦，于点．若，则半径的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，再根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的弦，于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 13．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，是半圆的直径，，则等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理和圆内接四边形的性质等知识点，能根据直径所对的圆周角是直角得出是解此题的关键．由直径所对的圆周角为直角可得，由三角形内角和定理求，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积计算公式是解答本题的关键． 先根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径，最后求扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， 答：需要涂漆的面积为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 【答案】 【分析】连接，即可得到是圆O的直径，然后证明是等腰三角形，然后在中利用勾股定理求出长，再在中求出长即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴，，， ∴是圆O的直径，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值舍去） 即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 18．（8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2)这钢梁圆弧的半径长为 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】略 20．（8分）（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 21．（10分）（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，． (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴． 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键. （1）由正六边形的性质解得，，再根据扇形面积公式解答； （2）由直径所对的圆周角为解答； 【详解】（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴； （2）略 22．（10分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，． (1)请用尺规作图作出的外接圆；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作； (2) 【分析】本题考查了尺规作图作圆，垂径定理，勾股定理． （1）分别作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，交于D，连接，根据垂径定理得到，，根据勾股定理得到，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于D，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交、于点D、E，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质和圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到即可得到结论； （2）由（1）可得，根据勾股定理求出长，再根据的面积求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（10分）（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，是的弦，于点，且，连接，． (1)如图1，若是直径，且， ①求的度数； ②求阴影部分的面积． (2)如图2，求证：． 【答案】(1)①；②阴影部分的面积为： (2)证明：在上取点，使得，连接，如图所示： 不妨设， ∵， ， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①连接，先由弧与圆心角的关系得到，再由平角的意义求出的度数，然后由圆周角定理即可求解；②连接，先求得，然后利用勾股定理求得，接着利用，最后通过求得答案； （2）设，在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，再等量代换即可求证． 【详解】（1）解：①连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （2）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.c 6.B 7.C 8.D 9.D 10.A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.5 12.100 13.110 14.72π 15.2V5 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【答案】(1)如图，点O即为所求： 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 0 23456x (2)解：观察(1)中的图，得出点0的坐标为5,2外接圆的半径0A=22+4=25. 故答案为：5,2,2V5: (3)解：取AC的中点H,连接OH, .OA=OC,AH=CH, ∴.OH⊥AC, :该圆圆心到弦AC的距离为oH=P+3=10' 故答案为：10】 18. (8分) 【答案】(1) 如图，点O即为所求： E D B (2)解：设OB=OD=r,AB的垂直平分线交AB于点C,交AB于点D. .OD⊥AB, AC=CB=号AB=8m, 2 .CD=4m, .0C=r-4m 在Rt△OBC中，则有，2=82+r-4: 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=10, ∴，这钢梁圆弧的半径长为10m, 19.(8分) 【答案】 证明：，AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA ..BE=AF, .AF-EF=BE-EF, ..AE=BF, .AE=BF」 20.(8分) 【答案】(1) 证明：连接AE, AB是圆的直径， .AE⊥BC, .AB=AC, E是BC的中点： (2)解：，AB=AC, ∴.∠B=∠C=70° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=40°， :∠BAC=3∠BOD, .∠BOD=80° 21.（10分) 【答案】(1)(1)解：连接OE, 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P E B D ,正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形， .∠EOF=∠DOE=60°， .∠D0F=120°， ∴.S阴影 120元×6=12元： 360 (②)DF⊥AP:理由如下，连接OA' P 由题意可得，点A,O,D共线，即AD为⊙O的直径， .∠DFA=90°， .DF⊥AP 22.（10分) 【答案】(1) 解：如图，⊙O即为所求作： B (2)解：如图，连接OA,交BC于D,连接OB, 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .AB=AC. OABG.BD-BG-8 AB=10, ·AD=VAB-BD=6 则OD=r-6, 六r-6P+82=r2 解得：r=25 3 23.(10分) 【答案】(1) 证明：连接AE, AB B.: 是直径， ∴.∠ADB=∠AEB=90°， .∠CDB=90°， .AB=AC, CE-BE-BC. .DE~BC. .'DE=CE: (2)解：，BC=10, 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4既=号BC=6, ,∠AEB=90°， ÷AE=VAB-BE-813-5-12 .∠ADB=90°， ,号AcB0=CAE, 1 ∴.13BD=10×12, BD=120 13 24.(10分) 【答案】(1)(1)解：①连接OD, B D 图1 .BD=2 AD. .∠BOD=2∠AOD ,∠BOD+∠AOD=180°， ∴.3∠A0D=180°， ∴.∠AOD=60°， .∠BOD=120° ∠C=∠B0D×120=60: ②连接AC,CO,如图所示： 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 ,AB是直径， ∴.∠ACB=90°， .∠ECB=60°，∠CEB=90°， .∠CBE=30°， AB=4, AC=A9=2,B0=2, ÷BC=VAB2-AC=42-2=16-4=23 cE=B0=支×23-3， 5c50C-x2×93-5, ,∠CBO=30°，BO=C0, ∴.∠OCB=∠OBC=30°， .∠C0B=120°， ·阴影部分的面积为：S形c-S6c 120m×4-3=16m-93: 360° 3 (2) 证明：在AB上取点F,使得EF=AE,连接DF,BD,如图所示： E F ∠ABD= D 图2 不妨设 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=2 AD. ∴.∠BAD=2∠ABD=2a, CD⊥AB, ∴.CD垂直平分AF, .DA=DF. .∠BAD=∠AFD=2a, ,∠AFD=∠ABD+∠FDB,∠ABD=Q, ∴.∠FDB=∠AFD-∠ABD=a, ∴.∠FDB=∠ABD=a, .FD=FB .'AD=FD=BF, .BE=EF +FB, ..AE+AD=BE 8/8