第十六章 整式的乘法 培优测试卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测（人教版）

八数上单元测 第16章整式的乘法培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选 项符合题意) 1、若(a-2)°有意义，则a的取值范围是() A.a≠2 B.a≠1 C.a≠0 D.a≠-1 2、计算(-2xy2)3=(-2)3x3(y2)3=-8x3y6,其中第①步运算的依据是() 第①步 第②步 A.幂的乘方法则 B.乘法分配律 C.积的乘方法则 D.同底数幂的乘法法则 3、已知a-m=2,an=8,则am的值为() A.-6 B.4 C.4 D.6 4、若单项式2m+1n和单项式-16mn的积与20m3nl1是同类项，则a+b的值为() A.10 B.3 C.5 D.7 5、观察图(1)中多项式乘多项式的运算规律，将之迁移到图(2)所示运算中，可得n的 值是() 相加 (x+2)(x+5)=x2+7x+10 (x+m)(x+n)=x2-3x-10 图(1) 相乘 图(2) A.-3 B.3 C.-10 D.10 6、已知a=53,b=75,则3515可以表示为() A.a3b5 B.a5b3 C.a5+b3 D.a15b15 7、若x+y=1,则代数式3(4x-1)-2(3-6y)的值为() A.-8 B.8 C.-3 D.3 8、若用A类正方形卡片（边长为a)、B类正方形卡片（边长为b)和C类长方形卡片 (长为a、宽为b)拼成长为(2a+2b)、宽为(a+2b)的长方形，则需要C类卡片的张数 为() A.6 B.5 C.4 D.3 43/67 八数上单元测 9、在甲、乙、丙三个袋中分别装有小球16个、28个、28个， 丙袋 先从甲袋中取出2y个小球放入乙袋，再从乙袋中取出2x个小球 28 2+2 放入丙袋，最后从丙袋中取出(2x+2)个小球放入甲袋， 2 此时三个袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于() 16 28 2 A.12 B.32 C.64 D.128 甲袋 乙袋 10、图(1)为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图(2）、图(3)阴影部分)均 由边长为(2a+b)的大正方形红布裁剪而成，图(2)、图(3)空白部分为裁剪掉的部分。图 (②的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和四边形0PDQ分别是边长为Qa和号的正 方形，中间是边长为(b一a)的正方形，图(3)阴影部分由四个边长为α的正方形和一个边 长为b的正方形组成，且图(2)和图(3)中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红 布的面积为() ◆福 图(1) 图(2) 图(3) A.100 B.120 C.150 D.180 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11、计算：(-2)2+(22”= 12、已知9x2-mxy+16y2(m为常数)可以配成一个完全平方式，则m的值为一。 18、某长方体体积为后6e,长为26，宽为4山，则长方体的高为一。 14、若M=(x-2)(x-3),N=(x-1)x-4),则M与N的大小关系是 -0 15、对a,b定义一种新运算：a*b=a2+ab-b。计算：(-mm)*[mn*(-n)]=一。 16、计算：(2025+1)(20252+1)(20254+1)(20258+1)(202516+1)= 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、(8分)计算： 44/67 八数上单元测 (青）-(3y)-(-w (2)3x.(2x-x2+5)-x·(4x+1)(x-2); 20252 (3)2024×2026+1 (4)(x+y-z)(x-y+z)。 18、(10分)在信息传递的过程中，信息的发送方甲方为了保护传输的数据信息不被第三方窃 取，采用一个密钥，将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另 一个密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密。加密 规则：m=a2b4÷b3,n=(4a2b-2a3)÷(-2a)2,当发送方发出a=-4,b=3时，求解 密后m,n的值。 发送出a,b m=a2b4÷b3 n=(4a2b-2a)÷(←-2a2 解密出m,n 45/67 八数上单元测 19、(10分)小亮研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项 式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，此时x的值称为多项式A 的零点。 (1)已知多项式(3x-1)(x+2),则此多项式的零点为 5 7 (2)小亮继续研究(x-4)(x-2),x(x-6)及(x-)(x-)等多项式，发现在数轴上表示这 些多项式中每个多项式零点的两个点关于表示3的点对称，他把这些多项式称为“3一系多项 式”.若多项式M=(2x-b)(cx-7c)=ax2-(8a-4c)x+5b-4是"3-系多项式”，求非零 常数a,b,c的值。 20、(12分)观察下列等式并解决问题： 1×2×3×4+1=(12+3×1+1)2=52, 2×3×4×5+1=(22+3×2+1)2=112: 3×4×5×6+1=(32+3×3+1)2=192; 4×5×6×7+1=(42+3×4+1)2=292. (1)推测：5×6×7×8+1=_； (2)猜想：n×(m+1)×(m+2)×(m+3)+1=_; (3)试说明(2)中猜想的正确性。 46/67 八数上单元测 21、（12分)我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算. 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式除法（如图）. 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x,得到商式的第一项3x3; ③用商式的第一项3x3去乘除式2x+1,把积6x4+3x3写在被除式下面（同类项对齐），再 把两式相减； ④把相减所得的差-10x3加上被除式的下一项-x2,即-10x3-x2当作新的被除式，再按照 上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止， 被除式=除式×商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除 :余式为0,6x4-7x3-x2-1能被2x+1整除， 3x3-5x2+☐x-1 2x+16x4-7x3-x2+0·x-1 6x4+3x3 -10x3-x2 4x2+0·x 4x2+2x -2x-1 -2x-1 0 (1)图中两个方框内从上到下分别填入的数或式子应该是 (2)用竖式除法计算：(x2+5x-7)÷(x+6),填空：商式为一， 余式为 47167 八数上单元测 22、(14分)阅读下列材料：若x满足(9一x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2。设9-x= a,x-4=b,则ab=4,a+b=5,a2+b2=(a+b)2-2ab=25-8=17。仿照方法解题： (1)若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值。 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点，且AE=1,CF=3, 长方形EMFD的面积是48，分别以MF,DF为边作正方形。 ①MF= 一，DF=一；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积。 A E 1 48/67八数上单元测 第16章整式的乘法培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选 项符合题意) 1、若(a-2)°有意义，则a的取值范围是() A.a≠2 B.a≠1 C.a≠0 D.a≠-1 答案：A 解析：(a-2)°有意义，a-2≠0，a≠2，故选A。 2、计算(-2xy2)3=(-2)3·x3(y2)3=-8x3y6,其中第①步运算的依据是() 第①步 第②步 A.幂的乘方法则 B.乘法分配律 C.积的乘方法则 D.同底数幂的乘法法则 答案：C 解析：(-2xy)3=(-2)3·x3(y2)3,其运算依据是积的乘方法则，故选C。 3、已知an-m=2,an=8,则am的值为() 1 A.-6 B.4 C.4 D.6 答案：C 解析：an-m=2,an÷am=2。:an=8,.am=4,故选C。 4若单项式2m+ln5和单项式-16mm的积与20m3m是同类项，则a+b的值为() 1 A.10 B.3 C.5 D.7 答案：D 解析： 2m+1m5×(-16mn) 1 =-8ma+2nb+5 :单项式2ma+1n5和单项式-16mn的积与20m3n1是同类项， 1 a+2=3,b+5=11,解得a=1,b=6, a+b=1+6=7。故选D。 92/129 八数上单元测 上分点拨单项式与单项式相乘的注意事项 ①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不 要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式。 5、观察图(1)中多项式乘多项式的运算规律，将之迁移到图(2)所示运算中，可得mn的 值是() 相加 +2(+5=2+7x+10 (x+m)x+n)=x2-3x-10 图(1) 相乘 图(2) A.-3 B.3 C.-10 D.10 答案：C 解析：由题意可得mn=-10,故选C。 6、已知a=53,b=75,则3515可以表示为() A.a3b5 B.a5b3 C.a5+b3 D.a15b15 答案：B 解析： 3515=(5×7)5 =515×715 =(53)5×(75)3 =a5b3 故选B。 7、若x+y=1,则代数式3(4x-1)-2(3-6y)的值为() A.-8 B.8 C.-3 D.3 答案：D 解析： 93/129 八数上单元测 x+y=1 ·3(4x-1)-2(3-6y) =12x-3-6+12y =12(x+y)-9 =12-9 =3 选D。 8、若用A类正方形卡片（边长为a)、B类正方形卡片（边长为b)和C类长方形卡片 (长为a、宽为b)拼成长为(2a+2b)、宽为(a+2b)的长方形，则需要C类卡片的张数 为() A.6 B.5 C.4 D.3 答案：A 解析：根据多项式乘多项式的运算法则可得 (2a+2b)(a+2b)=2a2+4ab+2ab+4b2 =2a2+6ab+4b2 ab项系数为6，故C类卡片的张数为6。故选A。 9、在甲、乙、丙三个袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出2y个小球 放入乙袋，再从乙袋中取出2x个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出(2x+2)个小球放入甲 袋，此时三个袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于() A.12 B.32 C.64 D.128 丙袋 28 2+2 2 16 28 2 甲袋 乙袋 答案：B 解析：最终三袋球数量相等，总球数：16+28+28=72，每袋最终：72÷3=24 94129 八数上单元测 甲袋：16-2y+2x+2y=24→16+2x=24→2x=8 乙袋：28+2y-2x=24,代入2x=8,得28+2y-8=24→2y=4 2x+y=2x×2y=8X4=32 故选B。 10、图(1)为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图(2）、图(3)阴影部分)均 由边长为(2a+b)的大正方形红布裁剪而成，图(2)、图(3)空白部分为裁剪掉的部分。图 (②的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和四边形0PDQ分别是边长为a和号的正 方形，中间是边长为(b-a)的正方形，图(3)阴影部分由四个边长为a的正方形和一个边 长为b的正方形组成，且图(2)和图(3)中阴影部分的面积都是90，则裁剪前大正方形红 布的面积为() 福 QD 图(1) 图(2) B C 图(3) A.100 B.120 C.150 D.180 答案：C 解析： 题图(3)阴影面积：4a2+b2=90① 题图(2)阴影面积： 2a+oa9-4(0-) =90 4a2+4ab+b2-(G-2ab+吗-4×3 =90 4 4a2+4ab+b2-b2+2ab-a2-3a2 =90 6ab =90 4ab =60② ①+②得：4a2+4ab+b2=90+60=150, ·(2a+b)2=150,裁剪前大正方形红布的面积为150。故选C。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 95/129 八数上单元测 11、计算：(-2n)2+(22)n= 答案：22n+1 解析： 原式=22m+22m =2×22n =22m+1 故答案为22n+1。 12、已知9x2-mxy+16y2(m为常数)可以配成一个完全平方式，则m的值为一。 答案：±24 解析： 9x2-mxy+16y2=(3x)2±2×3x×4y+(4y)2 =9x2±24xy+16y ∴.-m=±24，·m=±24，故答案为±24。 1B、某长方体体积为c6c,长为226，宽为0山，则长方体的高为一 1 答案：3 解析： 1 1 b2c÷2a2h÷4ab 1 1 abc÷4b 3 1 故答案为C 14、若M=(x-2)(x-3),N=(x-1)(x-4),则M与N的大小关系是一。 答案：M>N 解析： M=(x-2)(x-3)=x2-5x+6, W=(x-1)(x-4)=x2-5x+4, M-N=x2-5x+6-x2+5x-4=2. 2>0,M-N>0,.M>N。故答案为M>N。 96/129 八数上单元测 15、对a,b定义一种新运算：a*b=a2+ab-b。计算：(-mn)*[mn*(-n)]=一。 答案：-m3n3+m2n3-n 解析：先算内层： mn*(-n)=(mn)2+mn·(-n)-(-n) =m2n2-mn2+n 再算外层： (-mn)(m2n2 -mn2+n) (-mm2+(-mm).(m2n2-mm2+n) m2n2-m3n3 m2n3-mn2-m2n2+mn2-n -m3n3+m2n3-n 故答案为-m3n3+m2n3-n。 16、计算：(2025+1)(20252+1)(20254+1)(20258+1)(202516+1)= 202532-1 答案： 2024 解析： 原式 2024×(2025-1)(2025+1)(20252+1)(20254+1)(20258+10(202516+1) =2024×(20252-10(20252+10(20254+10(20258+10(202516+1)） 1 2024×(20254-10(20254+1)(20258+10(202516+1) 1 1 -2024×(20258-1)(20258+1)(202516+1) 1 -2024×(202516-10(202516+1) 1 2024×(202532-1) 202532-1 2024 202532-1 故答案为 2024 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、(8分)计算： 四（号w）(）-(- 97/129 八数上单元测 解： 6 原式 5xy 11 (2)3x.(2x-x2+5)-x·(4x+1).(x-2); 解： 原式=6x2-3x3+15x-(4x2+x)(x-2) =6x2-3x3+15x-(4x3-8x2+x2-2x) =6x2-3x3+15x-4x3+7x2+2x =-7x3+13x2+17x 20252 (3) 2024×2026+1 解： 20252 原式 (2025-1)×(2025+1)+1 20252 20252-1+1 20252 20252 =1 (4)(x+y-Z)(x-y+Z). 解： 原式=[x+(y-z)][x-(y-z)] =x2-0y-z)2 =x2-0y2-2yz+z2) =x2-y2+2yz-z2 18、(10分)在信息传递的过程中，信息的发送方甲方为了保护传输的数据信息不被第三方窃 取，采用一个密钥，将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另 一个密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密。加密 规则：m=a2b4÷b3,n=(4a2b-2a3)÷(-2a)2,当发送方发出a=-4,b=3时，求解 密后m,n的值。 98/129 八数上单元测 发送出a,b m=a2b4÷b3 n=(4a2b-2a)÷(-2a2 解密出m,n 解： 先化简m,n: m=a2b4÷b3=a2b n =(4a2b-2a3)÷(-2a)2 =(4a2b-2a3)÷4a2 将a=-4,b=3代入： m=(-4)2×3=16×3=48 1 n=3-2×(-4=3+2=5 ∴m=48,n=5。 19、(10分)小亮研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项 式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，此时x的值称为多项式A 的零点。 (1)已知多项式(3x-1)(x+2),则此多项式的零点为 1 答案：x=3或x=-2 解：由零点定义，3x-1=0或x十2=0，解得x-日或x=-2, 小此多项式的零点为号或-2。 (2)小亮继续研究x-4)(-2,×6x-6)及(x-)x一)等多项式，发现在数 5 轴上表示这些多项式中每个多项式零点的两个点关于表示3的点对称，他把这些多 项式称为3-系多项式”.若多项式M=(2x-b)(cx-7c)=ax2-(8a-4c)x+5b-4是 “3-系多项式”，求非零常数a,b,c的值。 解： 99/129 八数上单元测 令M=(2x-b)(cx-7c)=0, 2x-b=0或cx-7c=0,解得零点x=2x=7。 b 由“3-系多项式”定义，两点中点为3： +7 b b b 22=3→2+7=6→2=-1→b=-2 将b=一2展开左边： (2x+2)(cx-7c)=2cx2-14cx+2cx-14c =2cx2-12cx-14c 与右边ax2-(8a-4c)x+5b-4对应系数相等： 常数项：5b-4=-14c,代入b=-2: 5×(-2)-4=-14c→-14=-14c→c=1 二次项系数：a=2c=2×1=2。 综上：a=2,b=-2,c=1。 20、(12分)观察下列等式并解决问题： 1×2×3×4+1=(12+3×1+1)2=52; 2×3×4×5+1=(22+3×2+1)2=112; 3×4×5×6+1=(32+3×3+1)2=192; 4×5×6×7+1=(42+3×4+1)2=292 (1)推测：5×6×7×8+1=-； 答案：412 解析：由规律，5×6×7×8+1=(52+3×5+1)2=412。 (2)猜想：n×(n+1)×(n+2)×(n+3)+1=_; 答案：(n2+3n+1)2 (3)试说明(2)中猜想的正确性。 证明： 左边： 100/129 八数上单元测 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(m+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)(m2+3m+2)+1 =(n2+3m)2+2(n2+3m)+1 =n4+6n3+9m2+2m2+6n+1 =n4+6n3+11n2+6n+1 右边： (n2+3n+1)2=(n2+3n)2+2(n2+3m)+1 =n4+6n3+9n2+2n2+6m+1 =n4+6n3+11n2+6n+1 左边=右边， n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,猜想成立。 21、（12分)我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算. 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式除法（如图）. 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x,得到商式的第一项3x3; ③用商式的第一项3x3去乘除式2x+1,把积6x4+3x3写在被除式下面（同类项对齐），再 把两式相减； ④把相减所得的差-10x加上被除式的下一项-x2,即-10x3-x2当作新的被除式，再按照 上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止. 被除式=除式×商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除. :余式为0，·6x4-7x-x2-1能被2x+1整除 3x3-5x2+☐x-1 2x+1/6x4-7x3-x2+0·x-1 6x4+3x3 -10x3-x2 4x2+0·x 4x2+2x -2x-1 -2x-1 0 (1)图中两个方框内从上到下分别填入的数或式子应该是； 答案：2，-10x3-5x2 101/129 八数上单元测 解析：完整竖式： 3x3-5x2+2x-1 2x+1/6x4-7x3-x2+0·x-1 6x4+3x3 -10x3-x2 -10x3-5x2 4x2+0·x 4x2+2x -2x-1 -2x-1 0 (2)用竖式除法计算：(x2+5x-7)÷(x+6),填空：商式为一， 余式为 答案：商式x-1,余式-1 解：竖式计算： x-1 x+6x2+5x-7 x2+6x -x-7 -x-6 -1 22、(14分)阅读下列材料：若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2。设9-x= a,x-4=b,则ab=4,a+b=5,a2+b2=(a+b)2-2ab=25-8=17。仿照方法解题： (1)若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值。 解：设5-x=a,x-2=b,则ab=2, a+b=(5-x)+(x-2)=3 (5-x)2+(x-2)2=a2+b2 =(a+b)2-2ab =32-2×2 =9-4 =5 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点，且AE=1,CF=3, 长方形EMFD的面积是48，分别以MF,DF为边作正方形。 ①MF=,DF=一；（用含x的式子表示） 102/129 八数上单元测 6 答案：x-1,x-3 解析：边长推导可得MF=x-1,DF=x-3。 ②求阴影部分的面积。 解：由题意得(x-1)(x-3)=48, 设x-1=a,x-3=b,则ab=48, a-b=(x-1)-(x-3)=2 (a+b)2=(a-b)2+4ab =22+4×48 =4+192 =196 :a,b为线段长度，a+b&gt,0,.a+b=14。 阴影面积： (x-1)2-(x-3)2=a2-b2 =(a+b)(a-b) =14×2 =28 答：阴影部分的面积是28。 103/129