第十八章 分式 培优测试卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测（人教版）

八数上单元测 第十八章分式培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、能使分式 1x|-2 x-2 的值为零的所有x的值是() A.x=2 B.x=-2 C.x=2或x=-2 D.x=0 2、下列各式中，与23相等的是() 1 A.2×2×2 B.(-2)×(-2)×(-2) C.2÷2÷2 D.2×2×2 3如果分式，y 2x-3y 中的x,y都扩大为原来的2倍，那么分式的值() A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的 2 4、已知一个水分子的直径约为4×10-10米，某花粉的直径约为5×10-4米，用科学记数 法表示这种花粉的直径是一个水分子直径的()倍 A.1.25×10-6 B.1.25×106倍 C.8×10-6 D.1.25×106 △+6x-2 5、计算2-4x+42+3x 的过程中，发现公因式为(x-2)(),则单项式△代表的式 子是() A.2x B.3x C.4x D.6x 6、某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路 线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元。已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6 示晓华根据这一情境中的数量关系列出方程为46则末知致x表示的意义为( A.每行驶1千米纯用电的费用 B.每行驶1千米纯燃油的费用 C.每1元电费可行驶的路程 D.每1元油费可行驶的路程 61/67 八数上单元测 n2+n 7、如图，若n为正整数，则表示分式 (n+2)(n+1) 的值的点落在() ① ② ④ -0.2 0.4 1.6 2.2 A.线段①上 B.线段②上 C.线段③上 D.线段④上 2x-7≥X-8, 8、若整数a使关于x的不等式组 0>-2 有且只有4个整数解，且使关于y的 分式方程a一 3 y-44-y =-1的解满足y>-6,则所有满足条件的整数α的值之和为() A.15 B.11 C.10 D.18 ,卫知6方实数，且Q-山6女1m=8=会品则下5脱法正确的是() A.若a>b,则m>n B.若a<b,则m<n C.若a+b=0,则mn=1 D.若a+b=0,则mn=-1 10、观察下列方程： x+名3，可变形为x十1X2-1+2,其解为x=1或x=2; x+65,可变形为x+ 2×3 =2+3,其解为x=2或x=3; 12 3×4 x+- =7,可变形为x+ =3+4,其解为x=3或x=4; 根据以上材料，若0为正整数，关于×的方程x+-2n-1的较小解是x=10, 则n的值是() A.12 B.13 C.11或12 D.12或13 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1、开放性问题若M是一个式子，且M,二的化简结果为整数，清写出一个满足条件的M 所代表的式子： 一。（答案不唯一） 6267 八数上单元测 12,若将分式3与分式刀通分后，分式刀 3x2 X 的分母变为2(x-y)(x+y), 3x2 则分式产 的分子应变为 13、绿化队原来用漫灌方式浇绿地，α天用水m吨，改用喷灌方式，可使这些水多用3天， 现在比原来每天节约用水吨。 14、已知m2-4m+1=0,则代数式m2+ m8的值为 15、某同学在解关于x的分式方程x-3十 x-2 +6三”2去分母时，由于常数6漏乘了公分母 最后解得x=一1。x=一1是该同学去分母后得到的整式方程的解，则原分式方程的解为 0 16、若干个同学参加课后舞蹈社团，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以0为圆 心，？为半径的圆周上，相邻两个同学之间的距离（指圆周上两点间的距离，即所对的圆弧的 长)相等。后来又有2个同学要加入队伍，先到的同学都沿各自所在半径往后移α米，再左 右调整位置，使这个(n+2)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距 离相等。如果再有1个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人需往后移 米（请用含α的代数式表示），才能获得(n+3)个同学之间的距 离与原来n个同学之间的距离相等。 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、（8分)计算： 岩 (1)2 t 63/67 八数上单元测 a-3 1 (2) a-2 l0a+3)(a-3)+(a+3)a-3 2a+6 18、（10分)解方程： (1) 2x+1 =-1; (2),21 -=0。 3-x x2-1x2+ 19、（10分)商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为 a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且a≠b,则m千克A种糖和n千克B种糖混合 而成的什锦糖的单价为ma+nb 元/千克。把质量相同的A种糖和B种糖混合在一起，记为 m+n 甲种什锦糖（单价记为W甲）；把总价相同的A种糖和B种糖混合在一起，记为乙种什锦糖（单 价记为Wz)。请解决以下问题： (1)分别求出W甲，Wz(用含有a,b的式子表示)；(5分) (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？(5分) 6467 八数上单元测 20、（12分)新定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=MN,则称分式 N是分式M的“关联分式”。 2 2 2 (1)已知分式。试说明2十1是a21的关联分式：(3分) ②)小聪在求分式2十3的“关联分式”时，用了以下方法 1 1 设2+少 的“关联分式”为N,则 1 2+y2W=、 2+y2×W, 1 1 1 (2+y+10W= x2+y2,N= x2+y2+19 ←分式2士的"关联分式是1 x2+y2+1 请你仿照小聪的方法求分式，+y的关联分式.(4分) 2x-3y (3)①观察（①）2)的结果，寻找规律，直接写出分式”。的关联分式： -；（2分) ②若 n-2 是m+2 。(3分) mx+m2+n 是mx+m的“关联分式”，则m+n的值为 65/67 八数上单元测 21、（12分)为迎接第39届全国青少年科技创新大赛，某校创客社团积极备战，一节社团课 上，小明用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛。 比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号"到达终点时，“和谐号”离终点还差3m。 已知“畅想号"的平均速度为2.5m/s。 （1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决。（不添加条件，题目中的数据全部用上）（7 分) （2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m,两车同时出发，两车能否同时达 到终点？若能，求出两车到达终点所需时间；若不能，请重新调整“畅想号”的平均速度，使两 车能同时到达终点。（5分) 66/67 八数上单元测 22、综合与实践（14分)小滨、小江在探索“求代数式的值"时发现，在一定条件下，有些代 数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值。 已知ab=1。 小滨：1+a+历 1 1 的值始终等于1。 小江：尽管α2+b2的值不能确定，但能求出最小值。其说理过程如下： a2+b2=(a-b)2+2ab=(a-b)2+2。 由(a-b)2≥0知，当a=b时，a2+b2存在最小值2。 （1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由；（3分) (2)在ab=1的条件下，有下列代数式： 1 1 1 1 1+a+1+4:④1+a+1+n≥3，n 为整数)。 (i)上面代数式的值始终保持不变的有 (填序号)；（3分) 根据这些代数式的特点，写出一个类似地值始终保持不变的代数式： 。(2分) （ⅱ)上述代数式是否有最大值或最小值？若有，请求出此代数式的最大值或最小值；若没有， 请说明理由。（6分) 67/67八数上单元测 第十八章分式培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、能使分式 1x|-2 x-2 的值为零的所有x的值是() A.x=2 B.x=-2 C.x=2或x=-2 D.x=0 答案：B 解析：由题意得 x-2=0,解得x=-2。 x-2≠0， 2、下列各式中，与23相等的是() A.2×2×2 B.(-2)×(-2)×(-2) C.2÷2÷2 D.2×2×2 答案：D 解析：23= 1 23=2×2×2 故选D。 3、如果分式2x-3y xy 中的x,y都扩大为原来的2倍，那么分式的值() A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的 2 答案：B 解析：将x,y都扩大为原来的2倍，则 (2x)(2y) 4xy 4xy Xy 2(2x)-3(2y)-4x-6y2(2x-3y) 2 2x-3y 分式的值扩大为原来的2倍，故选B。 4、已知一个水分子的直径约为4×10-10米，某花粉的直径约为5×10-4米，用科学记数 法表示这种花粉的直径是一个水分子直径的()倍 A.1.25×10-6 B.1.25×106倍 C.8×10-6 D.1.25×106 答案：D 解折：由照痘得0-125×10，故选D 5、计算 △+6x-2 x2-4x+4x2+3x 的过程中，发现公因式为(x-2)(),则单项式△代表的式 121/129 八数上单元测 子是() A.2x B.3x C.4x D.6x 答案：A 解析：△+6和x+3还存在公因式，令△+6=k(x+3),则k=2,△+6=2(x+3)= 2x+6,△=2x,故选A。 6、某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路 线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元。已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6 元，晓华根据这一情境中的数量关系列出方程为4,1？。则末知数x表示的意义为(】 A.每行驶1千米纯用电的费用 B.每行驶1千米纯燃油的费用 C.每1元电费可行驶的路程 D.每1元油费可行驶的路程 答案：A 解析：每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，x表示每行驶1千米纯用电的费用， x+0.6表示每行驶1千米纯燃油的费用，故选A。 7、如图，若n为正整数，则表示分式0m+2m+ n2+n 的值的点落在() ① ② ③ ④ ” -0.2 0.4 1.6 2.2 A.线段①上 B.线段②上 C.线段③上 D.线段④上 答案：B 解析：由题意知n为正整数， n2+n n(n+1) 0m+2)n十1)（m+2)(m+1)n+2<1。当n=1时， 1 一3≈0.33；当n≥2时，，士)随n增大而增大，趋向于1。故表示分式的值自 在线段②上，故选B。 2x-7≥x-8, 8、若整数a使关于x的不等式组 a-6x 4—>-2 有且只有4个整数解，且使关于y的 122/129 八数上单元测 分式方程a一 3 y-44-y =一1的解满足y>-6,则所有满足条件的整数a的值之和为() A.15 B.11 C.10 D.18 答案：B 解析：解2x-7≥x-8得x≥-1。解06x>-2得x<a+8 4 “。“、不等式组有且只有4 个整数解，得2<“古8≤3解得4<as10。分式方程一 3 y-4+y-4 -1,化简得y= 1-a。由y>-6得a<7。综上4<a<7,整数a为5,6，和为11，故选B。 9,已知a,6为实数，且a一1，b女山m8十-十则下列说法正疏的是() A.若a>b,则m>n B.若a<b,则m<n C.若a+b=0,则mn=1 D.若a+b=0,则mm=-1 答案：C a-1b-1ab-(a+b)+1 ab+1 解析：mn a+b+ib+a+b+1。若a+b=0,则mn=b+1=1,故C正 确。A、B选项中无法判断(a+1)(b+1)的正负，不能确定m-n的正负。D选项mn=1≠ -1,错误。故选C。 10、观察下列方程： 2 1×2 x+二=3，可变形为x+ =1+2,其解为x=1或x=2; 6 2×3 x+一=5，可变形为x+ =2+3,其解为x=2或x=3; .12 3×4 x+二=7，可变形为x+ =3+4,其解为x=3或x=4; 根据以上材料，若m为正整数，关于x的方程x+文十2 .n2+n =2n-1的较小解是x=10, 则n的值是() A.12 B.13 C.11或12 D.12或13 答案：A 解析：将原方程变形为(x+2)+ n(n+1) x+2 =n+m+1),方程的解是x+2=n或x+2= n+1,即x=n-2或x=n-1。较小解为x=n-2=10,n=12,故选A。 123/129 八数上单元测 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 开放性问题若M是一个式子，且M,的化简结果为整数，请写出一个满足条件 所代表的式子： 一。（答案不唯一） 答案：6x2(答案不唯一) 解析：由条件可知M中一定只含有字母x,且x的指数为2，符合题意的M可以为6x2。 3x2 12、若将分式y 与分式2x- 通分后，分试20二刀 的分母变为2(x-y)(x+y), 3x2 则分式 x2-y2 的分子应变为 答案： 6x2 3x2 3x2 解析：由题意知分式 y的分母也变为2x-01功，则分式的分千应变为 3x2×2=6x2。 13、绿化队原来用漫灌方式浇绿地，α天用水m吨，改用喷灌方式，可使这些水多用3天， 现在比原来每天节约用水 吨。 3m 答案： a(a+3) 解析：原来每天的用水量为”吨，改用喷灌方式后，每天的用水量为 。3电，现在比原 来每天节约用水 m 3m 吨。 aa+3a(a+3) 4,已知m-4m+1=0,则代数式m2+8的值为 答案：6 解析：m=0时，m2-4m+1=0不成立，m≠0m-4+=0,m+=4,0m+2= 1 m m m 16m2121品6，m21点-14，m21京g-6 1 124/129 八数上单元测 15、菜同学在解关于文的分式方程+6-”2去分母时，由于常数6漏柔了公分@， 最后解得x=-1。x=-1是该同学去分母后得到的整式方程的解，则原分式方程的解为 0 7 答案：x=7 解析：该同学去分母时漏乘6，得x-3+6=m,代入x=-1得m=2。分式方程为-3 t2+ 6乙2去分母得x316c)-2,7水15-乙，-经检验，x-号是原方 2 程的解。 16、若干个同学参加课后舞蹈社团，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以0为圆 心，”为半径的圆周上，相邻两个同学之间的距离（指圆周上两点间的距离，即所对的圆弧的 长)相等。后来又有2个同学要加入队伍，先到的同学都沿各自所在半径往后移α米，再左 右调整位置，使这个(+2)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等。如果再有 1个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人需往后移 米（请用含a的代数式表示）， 才能获得(n+3)个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等。 答案：2 解析：原来n个同学之间的距离为2贺，似十2)个同学之间的距离为 2π(r+a) n+2 。由题意可 知 2πr2π(r+a) n+2, 整理得2x=na,即=”设又有1个同学要加入队伍时，每人需往 2π(r+a+x) 后移x米，则这(n+3)个同学之间的距离为 。由题意得 2π(r+a+x)2πr n+3 n+3 解得x-积a-3×号a=号 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、（8分)计算： 1)2.yx2y2 4y22xy2÷x 125/129 八数上单元测 a-3 1 a-2 (2) la+3)(a-)+a+3)a-3÷2a+6 解： 1)原式 x2 y xxx x2 xy3-4x2 4y22x2‘2282 8y4 a-3+12(a+3) a-2 (2) 原式= 2(a+3)2 (a+3)(a-3)a-2 (a+3)(a-3)a-2a-3 18、(10分)解方程： (1) 2x+1 =-1; 3-x 2 (2)2-1x2+x =0。 解：（1)方程两边同时乘(3-x)得2x+1=-(3-x)=-3+x,解得x=-4。检验： 当x=一4时，3一x=7≠0，·原方程的解是x=-4。 （2)方程两边同时乘x(x+1)(x-1)得2x-(x-1)=0,解得x=-1。检验：当x=-1 时，x(x+1)(x-1)=0,原方程无解。 19、（10分)商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为 a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且a≠b,则m千克A种糖和n千克B种糖混合 而成的什锦糖的单价为ma+b 元/千克。把质量相同的A种糖和B种糖混合在一起，记为 m+n 甲种什锦糖（单价记为W甲）；把总价相同的A种糖和B种糖混合在一起，记为乙种什锦糖（单 价记为Wz)。请解决以下问题： (1)分别求出W甲，W乙（用含有a,b的式子表示）；(5分) (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？(5分) 解：（1)甲种什锦糖由相同质量的A种糖和B种糖混合而成，设A种糖和B种糖的质量均 为c千克，则年-“（元/干克。乙种什华船由总价相同的A种度和B种 c+c 混合而成，设A种糖和B种糖的总价均为w元，则wz四十罗。十 2w 2ab (元/千克)。 a+ (2)购买乙种什锦糖较便宜。理由如下：we一w2-a十”-2ab-a+b2二4ab 2 a+b 2(a+b) 126/129 八数上单元测 (a-b)2 2a+a≠b,a>0,b>0,(a-b2>0,2(a+b)>0,W甲-Wz>0,即w甲>w2, 购买乙种什锦糖较便宜。 20、（12分)新定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=MN,则称分式 N是分式M的“关联分式”。 (D已知分式2试说明子是的关联分式，日分列 2 〔②)小聪在求分式的关联分式时，用了以下方法： 1. 设 x2+y2 的关联分式为N,则，1 x2+y2-N=- 1 2+2xN, 1 1 (+y+10N=2+yN= 1 x2+y2+19 1 分式+y的“关联分式”是x+y2+ 清你仿照小聪的方法求分式的关联分式4分》 (3)①观察①2)的结果，寻找规律，直接写出分式。的关联分式 ；（2分) ②若 n-2 是m+2 mx+m2+n是mx十的“关联分式”，则m+n的值为 一。（3分) 2 2 2(a2+1)-2(a2-1) 4 2 2 解： （1)-1a2+1(a2-1(a2+1)）=a2-10a2+'a2-1a2+1 4 2222 2 2 (a2-1)a2+1a2-1a2+1a2-1a2+1“a2t1 是a2一1的关联分式”。 是 2设的关联分式为成则0= xty.N, （2x-3y +y+1w十+y叶23yN于 x+y 2x-3y 2x-3V“N三3x2。 3①号②元 1 解析：由题意得m+2=n-2,mx+m2+n=mx+n2+m+2, .n-m=4,n2-m2+m-n=-2, .(n-m)(m+n)-(n-m)=-2, .4(m+n)-4=-2, 127/129 八数上单元测 1 ∴m+n= 故答案为 (12分) 21、（12分)为迎接第39届全国青少年科技创新大赛，某校创客社团积极备战，一节社团课 上，小明用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号"和“和谐号”两辆赛车进入了决赛。 比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m。 已知畅想号”的平均速度为2.5m/s。 (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决。（不添加条件，题目中的数据全部用上）(7 分) （2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3，两车同时出发，两车能否同时达 到终点？若能，求出两车到达终点所需时间；若不能，请重新调整“畅想号”的平均速度，使两 车能同时到达终点。（5分) 解：(1)提出问题：求“和谐号”的平均速度，设“和谐号”的平均速度为m/s,则2石 5050-3 解得x=2.35。经检验，x=2.35是分式方程的解，且符合题意。答：“和谐号”的平均速度 为2.35m/s。 (2)两车不能同时到达终点。“畅想号”到达终点所需时间 53 2.5=21.2,“和谐号"到达终点 50 所需时间是 2.35≈21.3s,故两车不能同时到达终点。设"畅想号”的平均速度降低ym5时能 使两车同时到达终点，则 2.5-y=235解得y=0.009。经检验，y=0.009是分式方程 5350 的解，且符合题意。答：将畅想号”的平均速度降低0009m/s,两车能同时到达终点。 22、综合与实践（14分)小滨、小江在探索“求代数式的值"时发现，在一定条件下，有些代 数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值。 已知ab=1。 小滨：，1。十、士5的值始终等于1。 小江：尽管a2+b2的值不能确定，但能求出最小值。其说理过程如下： a2+b2=(a-b)2+2ab=(a-b)2+2。 由(a-b)2≥0知，当a=b时，a2+b2存在最小值2。 (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由；(3分) 128/129 八数上单元测 (2)在ab=1的条件下，有下列代数式： at+6®1+a+1十6：③ ① a b 1 1+Q2+1+4b: 1 一十 1+a+1+bm(n≥3，n 为整数)。 （1)上面代数式的值始终保持不变的有 (填序号)；（3分) 根据这些代数式的特点，写出一个类似地值始终保持不变的代数式： 。(2分) （ⅱ)上述代数式是否有最大值或最小值？若有，请求出此代数式的最大值或最小值；若没有， 请说明理由。(6分) 解：(1小滨的说法正确。理由如下：，1 11+b+1+a 2+a+b 1+aT1+b-(1+a)(1+b)-1+a+b+ab 2+a+b2+a+b =1。·小滨的说法正确。 1+a+b+12+a+b 1 1 (2)（1)①②④。（答案不唯一，例如 1+a2+1+b2:k为正整数) (ⅱ)①②④中的代数式的值始终不变，故没有最大值或最小值。 4 2 对于®：a2+4b2+5=2+4(日2+5=a2+京+5=a-日》2+9。 2 当a=二即a2=2时，a2+4b2+5有最小值9。 .当a2+4b2+5有最小值9时， 1 1 1+a2+1+4b2 a2+4b2+2 a2+4b2+2 1+a2+1+4b(1+a2)(1+4b3)a2+4b2+1+4a2ba2+4b2+5 当2+4+5有景小值9时，十有最小值专 a2+4b2+2 4 “③有最小值。无最大值。 129/129