第十五章 轴对称 培优测试卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测（人教版）

八数上单元测 第15章轴对称培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、花钿是中国古代妇女面部的花形装饰物，如图所示的花钿图案的对称轴条数是() A.2 B.3 C.4 D.6 米 答案：D 2、如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西43°的方向行驶70海里到达B地，再由B 地向北偏西17°的方向行驶70海里到达C地，则A,C两地相距() A.100海里 B.80海里 C.70海里 D.60海里 北 东 北 *东 答案：C 3、把一张正方形纸片如图(1)、图(2)对折两次后，再如图(3)挖去一个三角形小孔，则展开后 图形是() 图(1) 图(2) 图(3) 可 △ B. D. 答案：C 4、某社区准备在街道（直线)旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶。已知点A关于 直线L的对称点为A',AA'与直线L相交于点C1,A'B与直线L相交于点C2,BC31L于 67/129 八数上单元测 点C3,C4是C1C3的中点，为了使居民区A,B到奶站的距离之和最短，奶站应建在() A点C1处 B.点C2处 C.点C3处 D.点C4处 B 答案：B 5、根据下列图形中的作图痕迹判断，AD是△ABC的中线的是() 答案：B 6、已知点P(2a-1,3a+1)关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是() Ba<-3 1 1 C.a>2 D.不存在 答案：A 解析：根据平面直角坐标系对称规律，点P关于x轴的对称点在第三象限，则原点P在第 二象限。第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，因此列不等式组：{+1>0 ∫2a-1<0 1 不等式2a-1<0,得a<;解不等式3a+1>0,得0之3 1 1 综上，a的取值范围为：一3<a<2故选A。 7、如图在△ABC中，∠ABC=60°，BC=5,点E在BA的延长线上，点D在BC边上， 连接ED,EC,且ED=EC,过点E作EF 1 BC于点F,若BE=6,则BD的长为() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 B D 68/129 八数上单元测 答案：A 解析：EF1BC,∠EFB=90°。 在Rt△BEF中，∠ABC=60°，·∠BEF=180°-90°-60°=30°， 根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，“BF=2BE。 1 代入数据：BF=2×6=3,CF=BC-BF=5-3=2。 :ED=EC,EF1BC,根据等腰三角形三线合一性质，·DF=CF=2, ·BD=BF-DF=3-2=1。故选A。 8、如图，在△ABC中，∠BAC=80°，D,E为BC上的两个点，且AB=BE,AC=CD, 则∠DAE的度数为() A.60° B.50° C.45° D.40° 答案：B 解析：BE=BA,∴△ABE为等腰三角形，∠BAE=∠BEA, 由三角形内角和得：∠B=180°-2LBAE(1)。 :CD=CA,△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠CDA, 由三角形内角和得：∠C=180°-2LCAD(2)。 (1)+(2)得：∠B+∠C=360°-2(LBAE+∠CAD)。 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC, 又∠BAE+∠CAD=∠BAC+∠DAE,代入得： 180°-∠BAC=360°-2(LBAC+∠DAE), 展开整理公式：180°-∠BAC=360°-2LBAC-2∠DAE, 移项合并得：2LDAE=180°-∠BAC。 代入∠BAC=80°，得2LDAE=180°-80°=100°， ∠DAE=50°。故选B。 9、如图已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,在射线ON上，点B1,B2,B3,.在射线0M上， 69/129 八数上单元测 △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形。若0A1=1,则△An BnAn+1的边长 为() A.2n-2 B.2n-1 C.2n D.2n+1 B,…M B, 6 0 AA2 A3 A4…W 答案：B 解析：△A1B1A2为等边三角形，∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A20 由外角性质：∠0B1A1=∠B1A1A2-∠M0N=60°-30°=30°， ·∠0B1A1=∠M0N=30°，根据等角对等边，A1B1=0A1=1。 即第一个等边三角形边长A1A2=1=2°，0A2=0A1+A1A2=2。 同理可推：第二个等边三角形A2B2A3边长A2A3=2=21,第三个边长A3A4=4=22, 归纳数列规律可得：△AnBnAn-+1的边长为2n-1。故选B。 10、如图，在锐角△ABC中，AB,BC的垂直平分线0H,OF相交于点O,连接OA,OB,OC, 延长C0交AB于点D,作AE1BC于点E,交CD于点G。若AD=AC,S△AOG=8,OF= 3 则BC的长为() 32 40 B.12 D.16 B 答案：A H 解析： B 70/129 八数上单元测 :OH、OF分别垂直平分AB、BC,根据垂直平分线性质， .0A=OB=OC,BC=2CF,OF L BCo 设∠OBC=∠OCB=,∠OBA=∠0AB=B, 由三角形外角及内角和定理推导得：3+2βB=90°。 :AD=AC,结合角度关系可证△AD0兰△ACG(ASA),·AO=AG。 过A作AN1OG于点N,由等腰三角形三线合一得OG=2ON, 可证△AON兰ACOF(AAS),:ON=OF=)AN=CF。 1 肝算0G=2X3,由三角形面积公式Sa40c三74AN·0G=8, 代入数据：×AN×3-8,解得AN-识即C- 1 1632 ·.BC=2CF=2X 3二3。故选A。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11、命题“若a>0,b>0,则a+b>0"的逆命题是 (填“真”或“假”)命题。 答案：假 解析：原命题逆命题为：“若a+b>0,则a>0,b>0”。 举反例验证：取a=3,b=-1,满足a+b=3+(-1)=2>0,但b=-1<0,不满足结 论，故该逆命题为假命题。 12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,4)，△ABC是关于直线y=1对称的图 形，则点B的坐标为 0 答案：(4，-2) 解析：平面内点关于水平直线y=k对称规律：横坐标不变，纵坐标到直线距离相等。 点A(4,4)到直线y=1的距离为4-1=3， 对称点B横坐标为4，纵坐标为1-3=-2，即B(4,-2)。 71/129 八数上单元测 13、如图，在△ABC中，AB=AC,点D是AC的中点，过点D作DE1AC交BA的延长 3 线于点E,连接CE,若CD=),CE=4,则BE的长为一。 A 答案：7 解析：D为AC中点，DE1AC, ·.DE垂直平分线段AC,根据垂直平分线性质，AE=CE=4。 3 由AC=2CD,代入得AC=2×2=3, 又AB=AC,·AB=3。·BE=AB+AE=3+4=7。 14、如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,延长BC到点E,使得CE=AB,延长CB到 点P,使得BP+AB=AB,则4E+FC-CE DE 的值为一。 答案：2 解析：：AB=AC,AD1BC,根据等腰三角形三线合一，·BD=CD。 由题意得：CE=AB,AE=BF+AB, 化简分子：AE+FC-CE=(BF+AB)+FC-AB=BF+FC, 又FC=FB+BD+CD,且BD=CD,DF=DB+BF, 代入推导：AE+FC-CE=BF+BF+BD+CD=2BF+2BD=2(BF+BD)=2DF, AE+FC-CE 2DF DF DF2。 15、如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点，∠BAD=25°，在AD右侧作△ADE, 72129 八数上单元测 使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,DE交AC于点O,连接CE,若CEI‖AB,则∠DOC的度 数为 D 答案：95 解析：∠DAE=∠BAC,·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即LCAE=∠BAD=25°。 AB=AC 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=LCAE,∴.△ACE≈△ABD(SAS)。 AD-AE :CE IIAB,结合等腰条件可推得△ABC为等边三角形，∠BAC=60°。 ·.∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-25°=35°。 由LDAE=∠BAC=60°，AD=AE,得△ADE为等边三角形，∠ADE=60° 根据三角形外角性质：∠D0C=LDAC+∠ADE=35°+60°=95°。 16、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D在AB的延长线上，以D为顶点 作∠ADE=2∠ABC,DE交AC于E、交BC于R,DF=2CR,作AH L DE交DE延长 线于H,若AH=7,BD=4,则BC=。 答案：9 H 解析： B 73/129 八数上单元测 如图，过点D作DP/BC交AC的延长线于P,延长DP交 AH的延长线于Q,过点B作BN⊥DF于N.:DP/BC, LBDQ ZABC.LADE =2ABC ∠ADE=∠QDE.:AH1DH,÷∠AHD=∠QHD=90°.在△ADH和△QDH中， ∠AHD=∠QHD, DH=DH,·△ADH≌△QDH(ASA),·.AH=QH, LADE=∠QDE, ÷AQ=2AH.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ·∠CAB=∠CBA=45.:∠BDQ=∠ABC,∠CAB=∠BDQ=45°，∴AP=DP,∠APD= 90°.：∠AHD=∠APD=90°，LAHD=LQ+LEDP, LAPD=∠Q+∠QAP,∠QAP=∠EDP.在△APQ和△DPE中， ∠QAP=∠EDP, AP=DP,·△APQ≌△DPE(ASA), ∠APQ=∠DPE=90°， AQ DE.AQ 2AH,DE 2AH.LADE=ABC. ∠ABC=∠ADE十∠BFD,·∠ADE=∠BFD,BD=BF, LCFE=∠NFB, DN=FN.DF=2CF,CF=NF.在△CFE和△NFB中， CF=NF, ∠ECF=∠BNF=90°， △CFE≌△NFB(ASA), .EF BF.BD BF,..EF BD,.DE EF DF BD +2CF BD +2(BC-BF)= BD+2(BC-BD)=2BC-BD,·2AH=2BC-BD,则 BC BD+2AH_4+2×7=9,故答案为9， 2 2 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17、(8分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为底边BC延长线上任意一点，过点D 作DE II AB,与AC的延长线交于点E。求证：△CDE是等腰三角形。 74/129 八数上单元测 A 证明：：AB=AC,根据等腰三角形性质，.∠ABC=∠ACB。 :DE‖AB,根据两直线平行，同位角相等，∠ABC=∠CDE。 又：LDCE=∠ACB,·LDCE=∠CDE。 根据等角对等边，·CE=DE,“△CDE是等腰三角形。 18、（10分)如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，△ABC和△DEF顶点均在 格点上。 (1)作△ABC关于直线l对称的△A1B1C1; (2)△A1B1C1与△DEF是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m;若不是，说明理 由； (3)在直线m上找一点P,使得PC=PB,画出点P。 75/129 八数上单元测 解答： (1)△A1B1C1即为所求对称图形； (2)是轴对称图形。连接两组对应顶点，作出对应顶点连线的垂直平分线，该直线即为对称轴 m; (3)作线段BC的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，该垂直平分线 与直线m的交点即为所求点P。 19、（10分)如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD1BC于D,BE1AC于E,AD、BE交 于点F。 (1)猜想AF与BC的数量关系，并说明理由； (2)若∠ABC=67.5°，猜想AF与BD的数量关系，并说明理由。 E D B 解：(1)AF=BC 理由：：BE⊥AC,∠BAC=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，AE=BE。 :AD⊥BC,BE⊥AC,∠AEF=∠BEC=90°。 由直角三角形余角性质：∠EAF+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EAF=∠EBC。 (LAEF=∠BEC 在△AEF和△BEC中： AE=BE (LEAF=∠EBC 76/129 八数上单元测 △AEF兰△BEC(ASA),根据全等三角形对应边相等，AF=BC。 (2)AF=2BD 理由：∠BAC=45°，∠ABC=67.5°， 由三角形内角和定理：∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-45°-67.5°=67.5°， ·∠ABC=∠C,根据等角对等边，AB=AC。 1 :AD1BC,根据等腰三角形三线合一，“BD=CD=2BC,即BC=2BD。 由(1)已证AF=BC,·AF=2BD。 20、（12分)如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发， 沿AB、BC方向匀速运动，连接PQ。 (1)若P速度1cm/s,Q速度2cm/s,Q到C停止，运动时间为ts,当t=2时，判断 △BPQ的形状并说明理由； (2)若P、Q速度均为1cm/s,当点P到达点B时，P,Q两点都停止运动， 设点P,Q的运动时间为ts,则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ PA 解：(1)△BPQ是等边三角形 理由：当t=2时，由路程公式路程=速度×时间， 得AP=1×2=2cm,BQ=2×2=4cm, BP AB-AP=6-2=4cm, BP=BQ=4cm,△BPQ为等腰三角形。 77/129 八数上单元测 :△ABC是等边三角形，∠B=60°， ·有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，即△BPQ为等边三角形。 (2)由题意得：BP=(6-t)cm,BQ=tcm,等边三角形中LB=60°，分两种情况讨论： ①当∠BQP=90°时，∠BPQ=180°-90°-60°=30°， 1 根据直角三角形30°角性质：B0=2BP,列方程：t=2(6-),解得t=2。 ②当∠BPQ=90°时，∠BQP=180°-90°-60°=30°， 根据直角三角形30°角性质：BP=2B0,列方程：6-t=2t,解得t=4。 综上，当t=2或t=4时，△PBQ为直角三角形。 21、（12分)探究性问题： 【问题】如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于 E,交BC于F,连接AD、AF。当∠B=30°，∠BAF=90°时，求∠DAC的度数。 【探究】若把【问题】中的条件∠B=30°去掉，其余条件不变，∠DAC度数是否改变？说 明理由。 【拓展】若把【问题】中的条件∠B=30°去掉，将∠BAF=90°改为∠BAF=,直接写出 LDAC的度数 (用含的式子表示)。 B 解：【问题】 AB=BD,∠B=30°，△ABD为等腰三角形， 180°-30° 由内角和公式得：∠BAD=∠BDA= 2 =75°。 :EF垂直平分AC,根据垂直平分线性质，∴AF=CF,∠CAF=LC。 ∠BAF=90°，∠B=30°， ·∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-30°-90°=60°。 由三角形外角性质：∠AFB=∠C+∠CAF=2LC, 78/129 八数上单元测 y ∠C=2AFB=30°。 再由外角性质：∠ADB=∠C+∠DAC, ·∠DAC=∠ADB-∠C=75°-30°=45°。 【探究】不会改变。 理由如下：：AB=BD,÷∠BAD=∠BDA= 180°-∠B =90° 1 <B EF垂直平分AC,AF=CF,·∠CAF=∠C。 ∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°，∠AFB=90°-∠B。 1 空乙AB=∠C+∠CAE,2C=∠CAF专APB= Z90-周=4s8 1 2CAD=∠ADB-2C=90°-2B-(45-2B）=45, 故LDAC度数不变。 【拓展】 1 答案：2 180°-∠B 1 解析：AB=BD,∠BAD=∠BDA= 2 =90-2B. EF垂直平分AC,÷AF=CF,·∠CAF=∠C。 ∠B+∠AFB+BAF=180°，∠BAF=,∠AFB=180°-a-∠B。 1 /AFB=4C+4CAF./C=/CAF-7AFB=90B 1 11 1 2AD=ADB-G=902B-(（90-22B）=2 22、如图，已知等边三角形ABC,∠ACP=(0°<a<60),点A与点D关于射线CP对称，线 段AD,BD分别交CP于点E,F,连接AF。 (1)求LDBC的度数（用含的代数式表示）； (2)求LAFB的度数； (3)试猜想线段AF,BD,CF之间的数量关系，并说明理由。 79/129 八数上单元测 答案 (1)解：B 连接CD。点A与点D关于射线CP对称，∴AC=DC,LACE=∠DCE=a。 △ABC是等边三角形，÷.AC=BC,∠ACB=60°， BC=DC,LBCD=∠ACB+∠ACD=60°+2a。 :BC=DC,△BCD为等腰三角形， ·.∠DBC=LBDC= 2[180°-(60°+2a1=60°-a。 (2)解：由(1)得LDBC=∠BDC。 根据对称性可得∠FAC=∠FDC,·∠FAC=LDBC。 '∠FAC+∠AFB=∠DBC+LACB, 等式两边同时减去∠FAC(LDBC),·∠AFB=∠ACB=60°。 (3)猜想：BD=2AF+CF 理由如下：B 连接CD,在FB上截取FG=AF,连接AG。 ∠AFB=60°，FG=AF,∴△AFG是等边三角形，∴AF=AG,∠FAG=60°。 :△ABC是等边三角形，÷AB=AC,∠BAC=60°， ·∠BAC-∠GAC=∠FAG-∠GAC,即LBAG=LCAF。 80/129 八数上单元测 AB=AC 在△BAG和△CAF中 ∠BAG=∠CAF△BAG兰△CAF(SAS),÷BG=CF。 AG=AF :点A与点D关于射线CP对称，AF=FD, BD BG+GF +FD=CF+AFAF CF 2AF, 即BD=2AF+CF。 81/129八数上单元测 第15章轴对称培优测试卷 时间：90min满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、花钿是中国古代妇女面部的花形装饰物，如图所示的花钿图案的对称轴条数是() A.2 B.3 C.4 D.6 C 北 第1题图 第2题图 2、如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西43°的方向行驶70海里到达B地，再由B 地向北偏西17°的方向行驶70海里到达C地，则A,C两地相距() A.100海里 B.80海里 C.70海里 D.60海里 3、把一张正方形纸片如图(1)、图(2)对折两次后，再如图(3)挖去一个三角形小孔，则展开后 图形是() 图(1) 图(2) 图(3) 0 △ B D.N 4、某社区准备在街道（直线)旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶。已知点A关于 直线L的对称点为A,AA与直线L相交于点C1,AB与直线l相交于点C2,BC31L于 点C3,C4是C1C3的中点，为了使居民区A,B到奶站的距离之和最短，奶站应建在() A.点C1处 B.点C2处 C.点C3处 D.点C4处 B 31/67 八数上单元测 5、根据下列图形中的作图痕迹判断，AD是△ABC的中线的是() D 6、已知点P(2a-1,3a+1)关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是() 11 B.a<- 1 A.- 3<a<2 3 C.a72 D.不存在 7、如图在△ABC中，LABC=60°，BC=5,点E在BA的延长线上，点D在BC边上， 连接ED,EC,且ED=EC,过点E作EF⊥BC于点F,若BE=6,则BD的长为() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 第7题图BDF 第8题图BD E C 8、如图，在△ABC中，∠BAC=80°，D,E为BC上的两个点，且AB=BE,AC=CD, 则∠DAE的度数为() A.60° B.50° C.45° D.40° 9、如图已知LM0N=30°，点A1,A2,A3.在射线ON上，点B1,B2,B3…在射线OM上， △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形。若0A1=1,则△An BnAn+1的边长 为() A.2n-2 B.2n-1 C.2n D.2n+1 6 6y 04 A3 A4…W 32/67 八数上单元测 10、如图，在锐角△ABC中，AB,BC的垂直平分线0H,OF相交于点O,连接OA,OB,OC, 延长CO交AB于点D,作AE1BC于点E,交CD于点G。 若AD=AC,SaA0G=8,0F=2则BC的长为() 32 40 B.12 D.16 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11、命题“若a>0,b>0,则a+b>0"的逆命题是 （填“真"或“假”)命题。 12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,4)，△ABC是关于直线y=1对称的图 形，则点B的坐标为 。 = D 第12题图 第13题图 B 13、如图，在△ABC中，AB=AC,点D是AC的中点，过点D作DE1AC交BA的延长 3 线于点E,连接CE,若CD=2,CE=4,则BE的长为 -0 14、如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,延长BC到点E,使得CE=AB,延长CB到 AE+FC-CE 点F,使得BF+AB=AE,则 DF 的值为。 第14题图 F B D C 第15题图BD 15、如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点，∠BAD=25°，在AD右侧作△ADE, 使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,DE交AC于点O,连接CE,若CE IAB,则∠DOC的度 数为一。 33/67 八数上单元测 16、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D在AB的延长线上，以D为顶点 1 作∠ADE=2∠ABC,DE交AC于E、交BC于F,DF=2CR,作AH1DE交DE延长 线于H,若AH=7,BD=4,则BC=。 B D 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 17、(8分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为底边BC延长线上任意一点，过点D 作DE ll AB,与AC的延长线交于点E。求证：△CDE是等腰三角形。 A E 18、（10分)如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，△ABC和△DEF顶点均在 格点上。 (1)作△ABC关于直线1对称的△A1B1C1; (2)△A1B1C1与△DEF是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m;若不是，说明理 由 (3)在直线m上找一点P,使得PC=PB,画出点P。 34/67 八数上单元测 19、（10分)如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD1BC于D,BE1AC于E,AD、BE交 于点F。 (1)猜想AF与BC的数量关系，并说明理由； (2)若∠ABC=67.5°，猜想AF与BD的数量关系，并说明理由。 E D B 20、（12分)如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发， 沿AB、BC方向匀速运动，连接PQ。 (1)若P速度1cm/s,Q速度2cm/s,Q到C停止，运动时间为ts,当t=2时，判断 △BPQ的形状并说明理由； (2)若P、Q速度均为1cm/s,当点P到达点B时，P,Q两点都停止运动， 设点P,Q的运动时间为ts,则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 35/67 八数上单元测 21、（12分)探究性问题： 【问题】如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于 E,交BC于F,连接AD、AF。当LB=30°，∠BAF=90°时，求LDAC的度数。 【探究】若把【问题】中的条件∠B=30°去掉，其余条件不变，∠DAC度数是否改变？说 明理由。 【拓展】若把【问题】中的条件∠B=30°去掉，将∠BAF=90°改为∠BAF=u,直接写出 ∠DAC的度数 (用含的式子表示)。 DF 36/67 八数上单元测 22、如图，已知等边三角形ABC,∠ACP=(0°<a<60),点A与点D关于射线CP对称，线 段AD,BD分别交CP于点E,F,连接AF。 (1)求LDBC的度数（用含a的代数式表示）； (2)求LAFB的度数； (3)试猜想线段AF,BD,CF之间的数量关系，并说明理由。 37/67