第15章 轴对称（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 新教材人教版七年级下册第15章轴对称培优卷，120分钟120分，25题覆盖轴对称图形识别、性质应用等核心知识，通过生活情境与分层设计提升几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（如等边三角形组合）、坐标对称、等腰三角形性质|结合青岛、周口等地期末真题，注重基础概念辨析| |填空题|6/18|镜面对称（数字镜像）、尺规作图（垂直平分线）、动态几何（动点等腰三角形）|融入地铁闸机等生活场景，考察空间观念| |解答题|9/72|角平分线与全等证明（第17题）、坐标系对称作图（第20题）、动态平移与几何证明（第24题）|分层设计，从基础证明到创新探究，发展推理能力与应用意识|

第15章 轴对称·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，，，利用外角的性质求出，通过等量代换求出，最后根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ． ， ， ，，， ， ． ， ， ． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等边三角形的性质求出，然后利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵经旋转后到达的位置，旋转到， ∴旋转了． 4．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 5．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点，横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 9．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是斜边的中线，所以根据直角三角形斜边中线定理，可得到．因为垂直平分，所以，结合上一步结论，可推出，即是等边三角形，进而得到的度数，进而求出的度数，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，是的中线， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，． 在中， ， ∴的度数为． 10．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键，并灵活运用全等三角形的性质．由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，即可判断结论①；已知条件无法证明，即可判断结论②；利用周角减去两个直角可得，即可判断结论③；结合全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 已知条件无法证明，故结论②错误； ∵， ∴，故结论③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．看镜子里有一个数“”，这个数实际是_____． 【答案】8105 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是8105．故答案为8105. 【点睛】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握是关键. 12．（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 13．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线与平行线的性质推出，，然后等量代换求解即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：14． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，由尺规作图可知，垂直平分，则，从而得到，因此． 【详解】解：∵，， ∴， 由尺规作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段检测）在中，，．D为三角形内一点，且，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质，以为边在内作正，连接，证明是等腰三角形，得到 平分，进推出为等腰的底边的中垂线，即，证明，即可作答． 【详解】解：如图，以为边在内作正，连接， ∵， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴ 平分， ∴为等腰的底边的中垂线，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，平分，且， (1)过作垂足为，求证： (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 18．（6分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 19．（6分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 20．（8分）（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 【答案】(1)见解析 (2)，1；，；， 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点 的坐标，再描点，连线画出对应的图形即可； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：由（1）得． 21．（8分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 22．（9分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【答案】(1) 该图是轴对称图形，对称轴如图所示： (2) 共有四种方法，如图所示：        【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的定义，难点在第二问，注意不要漏解． （1）根据轴对称图形的概念，可得此图为轴对称图形，然后画出对称轴即可． （2）只要满足移动之后是轴对称图形即可，注意不要遗漏． 23．（9分）（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：① ，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证 ，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 24．（10分）（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，点，在轴上． (1)如图1，若，，则点的坐标是_____． (2)如图1，在（1）的条件下，在轴上取一点，过点作于点，交轴于点，连接，证明：平分． (3)如图2，将（1）中沿轴向左平移，边与轴交于一点不同于和两点），过作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且，在平移过程中，点的坐标是否发生变化？若不变，请求出点M的坐标，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图1，连接，过O作交于M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． (3)M点的坐标不发生变化， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形的性质等知识点，正确地作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，于是得到点C的坐标是； （2）如图1，连接，过O作交于M，求得，得到，推出，得到，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）过点P作交于N，证明，证明，则BM=MN，根据，计算求解可得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 故答案为：； （2）略 （3）解：M点的坐标不发生变化，，理由如下， 如图所示，过点P作交于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即M点的坐标不发生变化． 25．（10分）（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【详解】（1）①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 9．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．看镜子里有一个数“”，这个数实际是_____． 12．（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 13．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 15．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段检测）在中，，．D为三角形内一点，且，则的度数为_____． 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，平分，且， (1)过作垂足为，求证： (2)若，求的长． 18．（6分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 19．（6分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 20．（8分）（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 21．（8分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 22．（9分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 23．（9分）（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 24．（10分）（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，点，在轴上． (1)如图1，若，，则点的坐标是_____． (2)如图1，在（1）的条件下，在轴上取一点，过点作于点，交轴于点，连接，证明：平分． (3)如图2，将（1）中沿轴向左平移，边与轴交于一点不同于和两点），过作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且，在平移过程中，点的坐标是否发生变化？若不变，请求出点M的坐标，若变化，请说明理由． 25．（10分）（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $