专题3.3 立体图形的表面展开图（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦立体图形的表面展开图与截面问题，系统梳理几何体展开图（如三棱柱、圆锥等）、展开图折叠成几何体、正方体相对面判断，以及截面形状的识别与反推，构建从直观到抽象的递进式学习支架。 资料以题型归纳为框架，例题与变式题结合，融入“一线不过四”等口诀及“磁力健构片”“航天日”等情境，通过空间观念培养数学眼光，借助截面推理发展数学思维，课中辅助教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题3.3 立体图形的表面展开图（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 几何体的展开图】 1 【题型2 展开图折叠成几何体】 2 【题型3 正方体相对两个面上的文字】 3 【题型4 判断常见几何体被平面截切后的截面形状】 4 【题型5 根据截面形状反推原几何体】 5 考点1 几何体的展开与折叠 知识点1 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 【题型1 几何体的展开图】 【例1】在研究立体图形的展开图时，下面是四位同学画出的某些立体图形的展开图，根据画出的图形可知，其中是三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）下列图形中是圆锥展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下面四个图形是多面体的展开图，其中哪一个是四棱锥的展开图(         ) A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·陕西汉中·一模）下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 展开图折叠成几何体】 【例2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）“磁力健构片“通过磁铁连接重心，能制作出锥体、正方体等百种造型，立体提拉魔幻成型，直观立体，是开发脑力的益智玩具．如图所示的平面图形经过立体提拉后，立体图形为___________． 【变式2-1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图是某个几何体的平面展开图，则该几何体是（   ） A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．三棱锥 【变式2-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列展开图中经折叠不能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【题型3 正方体相对两个面上的文字】 【例3】有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【变式3-1】（25-26九年级下·吉林松原·期中）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．国 B．天 C．精 D．神 【变式3-2】（25-26七年级下·云南·期中）如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是（    ） A．中 B．华 C．文 D．化 【变式3-3】（25-26六年级上·山东威海·期中）把正方体的六个面分别写上“青、山、绿、水、长、流”六个字，将上述完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，则正方体中与“长”字所在面相对的面上的字是（   ） A．绿 B．水 C．青 D．山 考点2 截一个几何体 知识点2 截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 【题型4 判断常见几何体被平面截切后的截面形状】 【例4】一个物体的外形是长方体（如图（1）），其内部构造不祥．用平面横向自上而下截这个物体时，得到了一组截面，截面形状如图（2）所示，这个长方体的内部构造是（　　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱或球 【变式4-1】（25-26七年级上·山西运城·期中）截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，该几何体的截面是（   ） A．平行四边形 B．三角形 C．正方形 D．长方形 【变式4-2】若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是_____________；最多是____________． 【变式4-3】（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【题型5 根据截面形状反推原几何体】 【例5】用一个平面去截以下几何体：圆柱，圆锥，球，三棱柱，长方体，七棱柱；能截得三角形截面的几何体有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】用平面去截一个几何体，如果截面是圆形，则原几何体可能是（    ） A．正方体、球 B．圆锥、棱柱 C．球、长方体 D．圆柱、圆锥、球 【变式5-2】（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，这个几何体可能是________． 【变式5-3】用一个平面去截三棱柱，最多可以截得五边形．用一个平面去截四棱柱，最多可以截得六边形．用一个平面去截五棱柱，最多可以截得七边形． (1)若用一个平面去截棱柱，最多可以截得边形，则被截的是_____棱柱； (2)若用一个平面去截（为大于2的自然数）棱柱，最多可以截得_____边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 立体图形的表面展开图（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 几何体的展开图】 1 【题型2 展开图折叠成几何体】 3 【题型3 正方体相对两个面上的文字】 5 【题型4 判断常见几何体被平面截切后的截面形状】 7 【题型5 根据截面形状反推原几何体】 8 考点1 几何体的展开与折叠 知识点1 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 【题型1 几何体的展开图】 【例1】在研究立体图形的展开图时，下面是四位同学画出的某些立体图形的展开图，根据画出的图形可知，其中是三棱柱的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱柱的展开图底面均应是三角形直接判断即可． 【详解】解：根据题意，三棱柱的展开图的是图形A， 故选：A 【点睛】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是熟练掌握各立体图形的展开图． 【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）下列图形中是圆锥展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，根据三棱锥、圆柱、圆锥、三棱柱的展开图，逐一判断即可． 【详解】解：A.三棱锥的展开图，故不符合题意； B.圆柱的展开图，故不符合题意； C.圆锥展开图，故符合题意； D. 三棱柱的展开图，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下面四个图形是多面体的展开图，其中哪一个是四棱锥的展开图(         ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】A.6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误； B.6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误； C. 一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确； D. 三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误. 故选:C. 【点睛】考查简单几何体的表面展开图，熟记常见的立体图形的平面展开图是解决此类问题的关键. 【变式1-3】（2024·陕西汉中·一模）下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，对几何体的正确认识以及运用空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形． 故选：D． 【题型2 展开图折叠成几何体】 【例2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）“磁力健构片“通过磁铁连接重心，能制作出锥体、正方体等百种造型，立体提拉魔幻成型，直观立体，是开发脑力的益智玩具．如图所示的平面图形经过立体提拉后，立体图形为___________． 【答案】五棱柱 【分析】本题主要考查立体图形的展开图，通过平面图形还原立体图形是解题的关键． 首先判断上下两底面是正五边形即可得到立体图形的形状． 【详解】解：由展开图可得：上下两底面是正五边形， ∴可以得到平面图形经过立体提拉后，立体图形为五棱柱， 故答案为：五棱柱． 【变式2-1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图是某个几何体的平面展开图，则该几何体是（   ） A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．三棱锥 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，解题的关键是理解题意；由题意结合该几何体的特征可直接进行排除选项 【详解】解：∵该几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列展开图中经折叠不能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握棱柱的展开图是解题的关键． 由平面图形的折叠及棱柱的展开图逐项判断即可解答． 【详解】解：A、可以围成四棱柱，该选项不符合题意； B、可以围成五棱柱，该选项不符合题意； C、可以围成三棱柱，该选项不符合题意； D、不能围成棱柱，该选项符合题意． 故选：D． 【变式2-3】下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠、正方体的展开图的特点即可得． 【详解】解：由正方体的展开图的特点可知，选项A、B、C折叠后，均能围成一个正方体， 选项D折叠后，有两个面重合，不能围成一个正方体． 【题型3 正方体相对两个面上的文字】 【例3】有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【答案】A 【分析】根据图形，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5； 由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6； 所以剩下4的对面是2． 综上，A选项错误． 【变式3-1】（25-26九年级下·吉林松原·期中）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．国 B．天 C．精 D．神 【答案】D 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个面，即可解答． 【详解】解：原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”， 故选：D． 【变式3-2】（25-26七年级下·云南·期中）如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是（    ） A．中 B．华 C．文 D．化 【答案】B 【详解】解：由图可知：与“承”字所在面相对的面上的字是“华”． 【变式3-3】（25-26六年级上·山东威海·期中）把正方体的六个面分别写上“青、山、绿、水、长、流”六个字，将上述完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，则正方体中与“长”字所在面相对的面上的字是（   ） A．绿 B．水 C．青 D．山 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，解题关键是熟练掌握正方体的六个面中，任一个面有四个相邻面，只一个相对面，从相邻面入手分析即得相对面． 以“水”字为突破口，“水”字与“绿”字、“山”字、“青”字、“长”字相邻，所以“水”字与“流”字相对；所以“山”字与“流”字相邻，另“山”字与“水”字、“绿”字、“青”字相邻，得“山”字与“长”字相对．即得答案． 【详解】解：由最右边的3个正方体可知： “水”字与“绿”字、“山”字、“青”字、“长”字相邻， ∴“水”字与“流”字相对； ∴“山”字与“流”字相邻， ∵“山”字与“水”字、“绿”字、“青”字相邻， ∴“山”字与“长”字相对． 即与“长”字所在面相对的面上的字是“山”字． 故答案为：D． 考点2 截一个几何体 知识点2 截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 【题型4 判断常见几何体被平面截切后的截面形状】 【例4】一个物体的外形是长方体（如图（1）），其内部构造不祥．用平面横向自上而下截这个物体时，得到了一组截面，截面形状如图（2）所示，这个长方体的内部构造是（　　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱或球 【答案】C 【分析】观察截面形状可发现，长方体内部的圆自上而下由大圆逐渐变成小圆、点，符合圆锥截面的性质． 【详解】解：观察截面形状可知，这个长方体的内部构造是长方体中间有一圆锥状空洞， 故选：C． 【点睛】本题考查了截一个几何体，解答的关键是熟悉常见的几何体的截面，由截面的形状想象复杂几何体的组成． 【变式4-1】（25-26七年级上·山西运城·期中）截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，该几何体的截面是（   ） A．平行四边形 B．三角形 C．正方形 D．长方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据所给图形即可得到截面的形状． 【详解】解：由题意得，该几何体的截面是一个长方形， 故选：D． 【变式4-2】若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是_____________；最多是____________． 【答案】 3 7 【分析】根据五棱柱的截面形状判断即可． 【详解】解：用一个平面去截一个五棱柱， 截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，六边形，七边形， 故答案为：3，7． 【点睛】本题考查了截一个五棱柱，熟练掌握五棱柱的截面形状是解题的关键． 【变式4-3】（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤. 故答案为：①②④⑤． 【题型5 根据截面形状反推原几何体】 【例5】用一个平面去截以下几何体：圆柱，圆锥，球，三棱柱，长方体，七棱柱；能截得三角形截面的几何体有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查判断平面截立体图形的截面，根据立体图形的组成逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 能截得三角形截面的几何体是：圆锥，三棱柱，长方体，七棱柱， 故选：B． 【变式5-1】用平面去截一个几何体，如果截面是圆形，则原几何体可能是（    ） A．正方体、球 B．圆锥、棱柱 C．球、长方体 D．圆柱、圆锥、球 【答案】D 【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面． 【详解】解：用平面去截球体，圆锥、圆柱，截面是圆， 故选：D． 【点睛】本题考查的是几何体的截面，解答本题的关键是认识几何体的截面只是几何体的其中一个方面的体现，同一个几何体可能会有不同的截面，不同的几何体也可能会有相同的截面． 【变式5-2】（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，这个几何体可能是________． 【答案】圆柱 【分析】本题主要考查了截一个几何体，圆柱用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，据此可得答案． 【详解】解：一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，这个几何体可能是圆柱， 故答案为：圆柱． 【变式5-3】用一个平面去截三棱柱，最多可以截得五边形．用一个平面去截四棱柱，最多可以截得六边形．用一个平面去截五棱柱，最多可以截得七边形． (1)若用一个平面去截棱柱，最多可以截得边形，则被截的是_____棱柱； (2)若用一个平面去截（为大于2的自然数）棱柱，最多可以截得_____边形． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题考查了用平面截几何体，找到规律是关键． （1）根据题意，根据截面经过几个面，得到的最多的多边形就是进行填空； （2）根据题意，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：若用一个平面去截棱柱，最多可以截得边形，则被截的是棱柱； 故答案为：． （2）解：若用一个平面去截（为大于2的自然数）棱柱，最多可以截得边形． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $