专题3.2 立体图形的视图（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦立体图形的视图核心知识点，从投影（中心投影、平行投影、正投影）的概念及特征出发，系统梳理三种视图（主视图、左视图、俯视图）的定义、画法及关系，进而延伸到由视图还原几何体、求小正方体个数及表面积等，构建从基础概念到综合应用的完整知识支架。 该资料以10种典型题型为核心，通过例题与变式题结合，引导学生从观察具体几何体到抽象视图规律，培养空间观念与几何直观（数学眼光），在推理小正方体个数、计算表面积过程中发展推理能力（数学思维），课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过举一反三练习巩固知识、查漏补缺。

专题3.2 立体图形的视图（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 判断平行投影、中心投影或正投影】 3 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 3 【题型3 判断简单几何体的三视图】 5 【题型4 判断组合体的三视图】 7 【题型5 画出指定几何体的三视图】 9 【题型6 根据三视图判断几何体形状】 12 【题型7 根据三视图求小正方体最多个数】 15 【题型8 根据三视图求小正方体最少个数】 17 【题型9 由三视图求侧面积或表面积】 20 【题型10 由俯视图中所标数字推断主视图或左视图】 23 考点1 立体图形的视图 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点3 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点4 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点5 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【题型1 判断平行投影、中心投影或正投影】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列光源所形成的投影是平行投影的是（   ） A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，平行投影的光线需平行，太阳光因距离远可视为平行，其他选项为点光源，光线发散，形成中心投影，由此即可得解，熟练掌握平行投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：平行投影要求光线平行；太阳光近似平行，形成平行投影；蜡烛、台灯、电灯为点光源，光线发散，形成中心投影， 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）．根据平行投影的定义判断即可． 【详解】解：①灯是点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ②太阳光近似平行光线，形成平行投影，符合题意； ③萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ④灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； 故答案为：②． 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（    ） A．②④①③ B．①④③② C．②④③① D．①③②④ 【答案】B 【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断，太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向； 【详解】太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始时应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列为：①④③②， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影的判定，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 【变式2-2】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 【题型3 判断简单几何体的三视图】 【例3】如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从左侧看到的图形进行作答即可． 【详解】解：左视图为： 【变式3-1】（2026·山西太原·三模）模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图：从上面看到的物体的形状图，根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从上面看，俯视图如图所示： 【变式3-2】（2026·山西晋中·二模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，其示意图的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】七巧桌的主视图就是从七巧桌的正面观察到的平面图形，从七巧桌的正面看到的是三个连着的矩形，矩形之间的边应用实线． 【详解】解：七巧桌的主视图如下图所示： 【变式3-3】（2026·河南商丘·二模）汝窑是宋代五大名窑之首，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，器物古朴大方，釉色天青，在中国陶瓷史上素有瓷窑之魁的美誉．观察如图所示的汝窑瓷器，有关其三视图说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同 【答案】A 【分析】分别确定三种视图即可． 【详解】解：仔细观察这件汝窑瓷器，可以发现主视图和左视图看到都是一个相同的图形，而从俯视图看到的是一个同心圆，所以主视图和左视图相同． 故选：A． 【题型4 判断组合体的三视图】 【例4】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将小正方体A移到小正方体B上方后，得到俯视图为 ． 【变式4-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，用个小正方体摆成如下的几何体，若将①号小正方体移动到②号小正方体的正前方有关三视图变化的说法正确的是（     ） A．仅主视图和左视图改变 B．仅主视图和俯视图改变 C．仅俯视图和左视图改变 D．三视图都发生改变 【答案】D 【分析】对比移动前后的三视图即可得出结论. 【详解】解：移动前后的几何体的三视图如下，可知三视图都发生改变． 【变式4-2】（2026·河南郑州·模拟预测）如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（    ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】B 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，反映物体的长和高．观察立体图形可知，其主视图从左到右共有列，每列小正方形的个数分别为，，．若取走一个小正方体后主视图不变，说明该小正方体不是决定主视图轮廓的关键部分，或者取走后该位置有其他小正方体填补． 【详解】解：观察图形可知，该立体图形的主视图从左往右分列，高度分别为层，层，层． 号小正方体位于左列最上方，取走后左列高度变为层， 主视图发生改变，故A不符合题意； 号小正方体位于右列最上方，取走后右列高度变为层， 主视图发生改变，故C不符合题意； 号小正方体位于右列下方，取走后号小正方体失去支撑，右列高度改变， 主视图发生改变，故D不符合题意； 号小正方体位于左列中间，其后方有小正方体（支撑号），取走号后，后方小正方体显露，左列高度仍为层， 主视图没有改变，故B符合题意． 【变式4-3】（25-26九年级下·河北承德·阶段检测）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是（    ） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．俯视图与左视图 【答案】A 【分析】根据三视图的特点即可作答． 【详解】 主视图：，翻滚之后仍然为：， 俯视图：，翻滚之后变为：， 左视图：，翻滚之后变为：， 故不变的是主视图， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，具备一定的空间想象力，并理解三视图的定义是解答本题的关键． 【题型5 画出指定几何体的三视图】 【例5】（25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）如图1，在平整的地面上，请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 解：如图所示， 【分析】本题考查了立体图形，三视图，理解三视图的定义是解题的关键．从三种图形的几何特征画图即可． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）画出图中几何体的三视图． 【答案】 解：该几何体由下方圆柱、上方圆锥（底面与圆柱上底面重合）组成，其三视图画法如下：   【分析】本题考查了组合几何体（圆锥与圆柱组合）三视图的画法，解题的关键是掌握圆柱、圆锥的三视图特征，以及组合体中两几何体视图的对齐关系（底面重合时视图对应边相等且对齐）．根据圆锥与圆柱的组合体特征作三视图即可． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，甲是由5个棱长为1cm的小正方体搭成的几何体． （1）请在下面方格纸中分别画出甲的主视图和左视图；       （2）该几何体甲的表面积为 cm²． （3）若用n个同样的正方体搭几何体乙，使其主视图、左视图与甲完全相同，则n的最大值为 ． 【答案】（1）画图见解析；（2）22（3）7 【分析】（1）根据主视图和左视图的定义画出图形即可． （2）利用三视图数出六个方向的小正方形的个数，总个数乘一个小正方形的面积即可求解． （3）根据主视图可知这个几何体有2层3列，从左视图看有2层2列，底层最多有6个小正方体，顶层最多有1个，两层的个数相加即可． 【详解】（1）如图所示： （2）∵从主视看有4个小正方形，从对面看也有4个， 从左视图看有3个小正方形，从对面看也有3个， 从俯视图看4个小正方形，从对面看也有4个， ∴几何体的表面共有22个小正方形，每个小正方形面积为1cm²， ∴该几何体甲的表面积为22cm²． （3）∵根据主视图可知这个几何体有2层3列，从左视图看有2层2列， ∴结合主视图与左视图，底层最多有6个小正方体，顶层最多有1个， ∴乙几何体最多由7个小正方体搭成， ∴． 【点睛】本题考查三视图，从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，并由三视图还原几何体，易错点是由三视图确定立方体的最多块数． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图是由若干个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图（网格中所画的图形要画出各个正方形边框并涂上阴影）． （2）如果在这个几何体上，再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体，最多可以拿掉几个？ 【答案】（1）三视图见解析；（2）最多添加3个小正方体，最多可以拿掉1个小正方体． 【分析】(1)由已知条件可知,主视图有3列,每列小正方数形数目分别为3,1,2;左视图有4列,每列小正方形数目分别为3,2,1,1;俯视图有3列,每列小正方数形数目分别为4,1,1,据此可画出图形. (2)可在第二层第四行第二列加一个;第三层第四行第二列加一个, 第四行第三列加1个,相加即可求解;可在第二层第三列拿掉1个;依此即可求解. 【详解】解：（1）三视图如图所示： （2）保持这个几何体的俯视图和左视图不变，最多添加3个小正方体，最多可以拿掉1个小正方体． 【点睛】本题考查几何体的三视图画法.由立体图形,可知主视图、左视图、俯视图,并能得出有几列即每一列上的数字. 【题型6 根据三视图判断几何体形状】 【例6】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由俯视图确定该几何体底层的形状即可得到答案． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体的底层有3个小正方体，且最底层的形状为： 四个选项中，只有B选项中的几何体符合题意． 【变式6-1】（2026·安徽安庆·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三视图逐一分析选项：主视图下半部分为矩形，上半部分是直角边在左下的直角三角形（斜边左上到右下）；左视图为上下拼接的两个矩形；俯视图是正方形． 【详解】解：A、主视图会得到顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图的直角三角形特征，排除； C、主视图上半部分为顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图，排除； D、主视图会得到上下两个矩形，没有上半部分的三角形，不符合题干，排除； B、从正面看，得到“下方矩形+上方直角三角形（斜边左上到右下）”，符合题干中的主视图；从左面看，得到上下两个拼接矩形，符合左视图；从上方看，得到正方形，符合俯视图，完全匹配． 【变式6-2】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角． 故选B． 考点：由三视图判断几何体． 【变式6-3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察主视图发现右上角缺失三角形，排除B、C选项； 观察俯视图发现右下角缺失三角形，D选项俯视图缺失长方形，排除D选项； ∴该几何体可能是A选项． 【题型7 根据三视图求小正方体最多个数】 【例7】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最多要_____个小立方块． 【答案】7 【分析】根据主视图和俯视图可判断组成该几何体的小立方块的最多个数的分布情况． 【详解】解：如图所示： 故这样的几何体最多要：（个）． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要______个小立方体． 【答案】9 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，根据不同方向上看到图形的特点进行分析即可求解． 【详解】解：从正面看，包括上下两层，上层最少有2个，结合从上面看的图形可得，最多有4个， 从上面看，包括两排，共5个， ∴搭出这个几何体最少需要7个小立方体，最多需要9个小立方体， 故答案为：9 ． 【变式7-2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层小正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 【答案】(1)， (2) (3) 根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 【分析】题主要考查三视图和有理数的运算： （1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． （2）根据题意可知，，结合，可得，异号． （3）根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 【详解】（1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． 这样的几何体最少需要：(个)． 这样的几何体最多需要：（个）． 所以，． 故答案为：，． （2）∵，，，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． （3）略 【题型8 根据三视图求小正方体最少个数】 【例8】（25-26九年级下·全国·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图和左视图确定各个位置最少的小正方体的个数，即可求解． 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查根据三视图判断由小正方体堆砌的几何体中小正方体的个数，先确定位置，再根据俯视图和左视图，确定个数即可． 【详解】解：观察物体的俯视图和左视图可知：该几何体有两层，下面一层最少要有4个小正方体，上面一层最少要有1个小正方体，其主视图如下： 故组成该几何体所需小正方体的个数最少是； 故选：B． 【变式8-2】（25-26七年级上·四川·阶段检测）下图是由几个小立方块所搭成几何体的从左面、从上面看到的形状图． （1）这样搭建的几何体最少，最多各需要多少个小立方块？ （2）请画出最少时候的主视图． 【答案】（1）最少6个，最多8个 （2）这样搭几何体最少时的主视图，如下所示： 如图都可能是最少时候的主视图． 【分析】（1）先通过俯视图确定最下层的立体图形，再根据左视图确定第二层的，最终确定结论； （2）根据最少的个数及左视图及俯视图确定最后的答图． 【详解】解：（1）①这样搭建的几何体最少时，共有（个）． ②这样搭建的几何体最多时，共有（个）． ∴最少有6个小立方体，最多有8个小立方体． （2） 略 【点睛】本题考查三视图，要求学生能够熟练掌握相关知识，并能灵活应用，同时也考查了空间的想象能力，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”能够更快的得到答案． 【变式8-3】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：从图可得，，； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图，画出立体几何图形 ∴几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． （3）略． 【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． 【题型9 由三视图求侧面积或表面积】 【例9】（25-26九年级上·山东威海·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【答案】该几何体的表面积是 【分析】先通过三视图得出几何体是一个圆柱上半部分切除半圆柱，分别算出侧面积和以及底面积和，然后两者相加即可． 【详解】解：． ， ， 所以，该几何体的表面积是． 【变式9-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是从三个方向看几何体得到的形状图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若从正面和左面看到的图形为长方形，从上面看到的图形是斜边为10cm的直角三角形，如图所示．求这个几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 如图所示： (3)这个几何体的表面积为，体积为 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及几何体的展开图等知识，正确得出物体的形状是解题关键． （1）只有柱体的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）根据三棱柱的表面展开图的特征作图即可； （3）利用已知各棱长分别得出表面积和体积即可． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱； （2）略 （3）解：（）， （）， 答：这个几何体的表面积为，体积为． 【变式9-2】（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，长方体的表面积．先根据三视图得到该几何体是长方体，再根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得几何体是长方体，长方体的长、宽、高分别为，、， 长方体的表面积为． 故答案为：104． 【变式9-3】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3． 故该几何体的表面积为． 故答案为：． 【题型10 由俯视图中所标数字推断主视图或左视图】 【例10】（2026·广东广州·二模）如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可． 【详解】解：∵共3列，从左到右各列最高为2，3，1， ∴主视图为B． 【变式10-1】（25-26七年级上·四川·阶段检测）如图，一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，则这个几何体的表面积是______． 【答案】396 【分析】首先确定该几何体的裸露的正方形的个数，然后确定面积即可． 【详解】解：由该位置小立方体的个数可知， 主视图为：有个正方形 左视图为：有个正方形， 俯视图为：有个正方形， 另外，该几何体有个正方形的表面被遮挡， 这个几何体的表面积是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．解题的关键是由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 【变式10-2】（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定左视图的观察方向为从几何体左侧向右看，明确左视图的列数对应俯视图的行数．提取俯视图每一行小正方体个数的最大值，左视图每列的小正方形数量等于对应行的最大值．根据得到的每列小正方形数量，匹配对应选项． 【详解】左视图的列数等于俯视图纵向（上下方向）的行数，本题俯视图从上到下共3行，因此左视图共有3列； 左视图从左到右对应几何体从后到前（即俯视图从上到下），每一列的高度等于对应行里小正方体个数的最大值： 俯视图第一行（几何体后排）最大数字是3，因此左视图第一列高度为3； 俯视图第二行（几何体中排）最大数字是3，因此左视图第二列高度为3； 俯视图第三行（几何体前排）最大数字是2，因此左视图第三列高度为2； 综上，左视图从左到右三列高度依次为3、3、2，对应选项B． 【变式10-3】（25-26七年级上·山西运城·期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 【答案】 （1）如图所示： （2）填图如下： 【分析】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键． （1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可； （2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可． 【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图 从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形． （2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形， 从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形， 左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 立体图形的视图（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 判断平行投影、中心投影或正投影】 3 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 3 【题型3 判断简单几何体的三视图】 4 【题型4 判断组合体的三视图】 5 【题型5 画出指定几何体的三视图】 6 【题型6 根据三视图判断几何体形状】 7 【题型7 根据三视图求小正方体最多个数】 9 【题型8 根据三视图求小正方体最少个数】 10 【题型9 由三视图求侧面积或表面积】 11 【题型10 由俯视图中所标数字推断主视图或左视图】 12 考点1 立体图形的视图 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点3 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点4 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点5 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【题型1 判断平行投影、中心投影或正投影】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列光源所形成的投影是平行投影的是（   ） A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（    ） A．②④①③ B．①④③② C．②④③① D．①③②④ 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【变式2-2】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【题型3 判断简单几何体的三视图】 【例3】如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·山西太原·三模）模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·山西晋中·二模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，其示意图的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河南商丘·二模）汝窑是宋代五大名窑之首，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，器物古朴大方，釉色天青，在中国陶瓷史上素有瓷窑之魁的美誉．观察如图所示的汝窑瓷器，有关其三视图说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图各不相同 【题型4 判断组合体的三视图】 【例4】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，用个小正方体摆成如下的几何体，若将①号小正方体移动到②号小正方体的正前方有关三视图变化的说法正确的是（     ） A．仅主视图和左视图改变 B．仅主视图和俯视图改变 C．仅俯视图和左视图改变 D．三视图都发生改变 【变式4-2】（2026·河南郑州·模拟预测）如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（    ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式4-3】（25-26九年级下·河北承德·阶段检测）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°，与原几何体比较，三视图没有发生改变的是（    ） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．俯视图与左视图 【题型5 画出指定几何体的三视图】 【例5】（25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）如图1，在平整的地面上，请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）画出图中几何体的三视图． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，甲是由5个棱长为1cm的小正方体搭成的几何体． （1）请在下面方格纸中分别画出甲的主视图和左视图；       （2）该几何体甲的表面积为 cm²． （3）若用n个同样的正方体搭几何体乙，使其主视图、左视图与甲完全相同，则n的最大值为 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图是由若干个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图（网格中所画的图形要画出各个正方形边框并涂上阴影）． （2）如果在这个几何体上，再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体，最多可以拿掉几个？ 【题型6 根据三视图判断几何体形状】 【例6】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·安徽安庆·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 【题型7 根据三视图求小正方体最多个数】 【例7】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最多要_____个小立方块． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要______个小立方体． 【变式7-2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 【题型8 根据三视图求小正方体最少个数】 【例8】（25-26九年级下·全国·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【变式8-1】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-2】（25-26七年级上·四川·阶段检测）下图是由几个小立方块所搭成几何体的从左面、从上面看到的形状图． （1）这样搭建的几何体最少，最多各需要多少个小立方块？ （2）请画出最少时候的主视图． 【变式8-3】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）一个几何体由几个相同的小正方体搭成，从上面和从前面看这个几何体得到的平面图形如图所示，从上面看到的平面图形中，小正方形中的字母表示在该位置的小正方体的个数． (1)填空：___________，___________，___________． (2)这个几何体最少由___________个小正方体搭成，最多由___________个小正方体搭成． (3)当，时，请画出从左面看这个几何体得到的平面图形． 【题型9 由三视图求侧面积或表面积】 【例9】（25-26九年级上·山东威海·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【变式9-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是从三个方向看几何体得到的形状图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若从正面和左面看到的图形为长方形，从上面看到的图形是斜边为10cm的直角三角形，如图所示．求这个几何体的表面积和体积． 【变式9-2】（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 【变式9-3】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________． 【题型10 由俯视图中所标数字推断主视图或左视图】 【例10】（2026·广东广州·二模）如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·四川·阶段检测）如图，一个几何体是由若干个棱长为的小正方体搭成的，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，则这个几何体的表面积是______． 【变式10-2】（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级上·山西运城·期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $