第十八章 相似形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册相似形单元，以文化传承（如《孙子算经》古题）与生活实践（路灯影长、鹦鹉螺黄金分割）为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|比例性质、相似多边形（如六边形相似比）|结合北京、河南等地期中真题，基础概念辨析| |填空题|8/24|黄金分割（鹦鹉螺）、影长计算（灯光问题）|融入动态问题（动点相似），考察空间观念| |解答题|10/72|相似三角形判定、重心性质探究（综合实践）|设置《孙子算经》古题、赵爽弦图拓展，体现数学文化与模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C D C A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分） 9． 11． 11． 12．6 13． 14．3或7.5 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ．·························2分 （2）， ， ， ， ，，．·························5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 四边形四边形， ．·························5分 19．（6分） 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；·························2分 （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴．·························6分 20．（6分） 【答案】(1) 证明：在中，，于点， ，， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． 【详解】（1）略·························2分 （2）解：， ， ，， ．·························6分 21．（6分） 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米；·························3分 （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米．····················6分 22．（8分） 【答案】(1) 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）略·························3分 （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ．·························8分 23．（8分） 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴；·························2分 （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴；·························4分 （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；·························6分 （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12·························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2) ①根据题意作图如下所示： ②，证明如下： 延长使，过点M作的垂线交于点H，连接和 根据旋转的性质，， ，， 在和中，根据勾股定理 又，， ≌ ， 在四边形中，， ，， 在和中，，，， ， 在中，根据作法可知为边上的垂直平分线，则， ，， 根据两点关于对称，则， 又， 在和中，， ， ， 故的数量关系为： 【分析】在内构造等腰直角，根据题意可得为等腰三角形，进而得出，然后由求出的长度． ①根据题干描述作图即可； ②先通过构造得出，再构造结合平行线分线段成比例得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 过A作交于E， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故线段长度为·························3分 （2）略·························8分 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，构造和是解答本题的关键． 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据题意证明或构造相似三角形是解题关键． （1）证明，得到，即可得到； （2）①由（1）可求出，证明，得到，求出，即可得到； ②作交延长线于Q，设，得到，证明，得到，求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；·························2分 （2）解：①由（1）可知， 即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·························6分 ②如图，作交延长线于Q， 设， ∵M是中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴．·························10分 26．（10分） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；·························2分 （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴；·························5分 （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴．·························10分 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，那么下列比例式成立的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，掌握知识点是解题的关键．根据比例的性质，由已知等式可直接推导出比例式． 【详解】解：∵，且， ∴两边同除以，得 ， 即选项B成立，其他选项与已知等式不符，故错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵，且，， ∴ 相似比为， ∴与的周长比是. 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 5．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 7．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 8．（25-26八年级下·北京大兴·期中）在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，对结论①通过证明三角形全等进行判断；对结论②利用相似三角形的性质和三角形面积公式进行判断；对结论③通过反证法和相似三角形的性质进行判断，最终确定所有正确结论的序号． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵是对角线的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴． ∵，设，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴， ，故②正确． 若点是的中点，则， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即点与点重合，此时点与点重合，与题设中分别在上（非端点）矛盾，故③错误． 综上所述，①②正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京顺义·期中）若，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．由已知分式等式变形，分离出 ，再通过倒数关系求解 . 【详解】解：由 ，得， 所以， 故， 故答案为 . 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为___________m． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 即该同学的身高为． 故答案为：． 11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 12．（2026·北京昌平·二模）如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由正方形的性质得到，，由点E是的中点得到，由得到，根据同角的余角相等得到，进而证得，利用相似三角形的性质求出的长，从而求得的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，于点F．于点G．若，，则是________． 【答案】 【分析】先结合正方形的性质，证明，得出，运用勾股定理得，再证明，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 【答案】3或7.5 【分析】主要考查的是相似三角形的性质和判定、含30度的直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质和判定、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当时，，， ， ； ②当时，，， ， ． 或7.5秒时，与相似． 故答案为：3或7.5． 15．（25-26八年级下·北京·期末）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 【答案】 【分析】设四个全等的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边为，过作于，证明，可得，，结合，证明，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设四个全等的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边为，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴. 16．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则______ 【答案】 【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据矩形的性质与判定可得四边形和四边形都是矩形，设，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， 同理可得：四边形是矩形， ， 设，则， ∵， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，即， 解得：或， 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意；不是所列分式方程的根，舍去， ， ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ．·························2分 （2）， ， ， ， ，，．·························5分 18．（5分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 四边形四边形， ．·························5分 19．（6分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；·························2分 （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴．·························6分 20．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：在中，，于点， ，， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． 【详解】（1）略·························2分 （2）解：， ， ，， ．·························6分 21．（6分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米；·························3分 （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米．····················6分 22．（8分）（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1) 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）略·························3分 （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ．·························8分 23．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴；·························2分 （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴；·························4分 （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；·························6分 （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12·························8分 24．（8分）（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①根据题意作图如下所示： ②，证明如下： 延长使，过点M作的垂线交于点H，连接和 根据旋转的性质，， ，， 在和中，根据勾股定理 又，， ≌ ， 在四边形中，， ，， 在和中，，，， ， 在中，根据作法可知为边上的垂直平分线，则， ，， 根据两点关于对称，则， 又， 在和中，， ， ， 故的数量关系为： 【分析】在内构造等腰直角，根据题意可得为等腰三角形，进而得出，然后由求出的长度． ①根据题干描述作图即可； ②先通过构造得出，再构造结合平行线分线段成比例得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 过A作交于E， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故线段长度为·························3分 （2）略·························8分 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，构造和是解答本题的关键． 25．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据题意证明或构造相似三角形是解题关键． （1）证明，得到，即可得到； （2）①由（1）可求出，证明，得到，求出，即可得到； ②作交延长线于Q，设，得到，证明，得到，求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；·························2分 （2）解：①由（1）可知， 即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·························6分 ②如图，作交延长线于Q， 设， ∵M是中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴．·························10分 26．（10分）（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；·························2分 （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴；·························5分 （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴．·························10分 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，那么下列比例式成立的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京大兴·期中）在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京顺义·期中）若，则______． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为___________m． 11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 12．（2026·北京昌平·二模）如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 13．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，于点F．于点G．若，，则是________． 14．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 15．（25-26八年级下·北京·期末）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 16．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则______ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 18．（5分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 19．（6分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 20．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 21．（6分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 22．（8分）（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 23．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 24．（8分）（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 25．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． 26．（10分）（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，那么下列比例式成立的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）若，和是对应边，且，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）大自然巧夺天工，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京大兴·期中）在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京顺义·期中）若，则______． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为___________m． 11．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为_______． 12．（2026·北京昌平·二模）如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 13．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，于点F．于点G．若，，则是________． 14．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．当为________秒时，与相似． 15．（25-26八年级下·北京·期末）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 16．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则______ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 18．（5分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 19．（6分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 20．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 21．（6分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 22．（8分）（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 23．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 24．（8分）（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 25．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． 26．（10分）（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $