第十九章 二次函数和反比例函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册二次函数与反比例函数，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，融合生活实际与跨学科情境，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次函数定义（第1题）、反比例函数图像性质（第3题）|结合多地期末/模拟真题，注重概念辨析| |填空题|8/24|抛物线平移（第10题）、二次函数最值（第12题）|设置开放探究（第15题面积与比值），强化几何直观| |解答题|10/72|实际应用（第5题利润问题）、函数综合（第21题图像交点与面积）、创新定义（第26题有上界函数）|融入物理实验情境（第22题液体压强），贴合中考命题趋势，突出模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十九章 二次函数和反比例函数 ·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D C D D B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分） 9．3 11． 11． 12．或 13． 14． 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上；···············2分 （2）略················5分 18．（5分） 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：.················3分 （2）描点连线绘制函数图像如下： ················5分 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即；················3分 （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即．················6分 20．（6分） 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为；················3分 （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．················6分 21．（6分） 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为；················2分 （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ；················4分 （3）解：观察图象得：不等式的解集为或．·············6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴．················3分 （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴．················8分 23．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点，再由待定系数法求解反比例函数解析式； （2）先求出设平移后的直线与x轴交于点D，连接．由得到，则根据求解点，即可求解直线的函数表达式． 【详解】（1）当时， 解得， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数的表达式为；················3分 （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴ 设平移后的直线与x轴交于点D，连接． ， ． 的面积为10， ， ∴， ∴ ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为．················8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴．················3分 （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且．················8分 25．（10分） 【答案】(1)①；②点的坐标为或或 (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键． （1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答； （2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解； （3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为；················2分 ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或；················5分 （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得；················7分 （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或．················8分 26．（10分） 【答案】(1)； (2) (3)的值为0或 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ①无上确界； ②， ， ②有上确界，且上确界为1；················2分 （2）解：，随值的增大而减小， 当时，， 上确界是， ， 函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， 的取值范围为：；················6分 （3）解：的对称轴为直线，开口向上， 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 同理，或， 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为0或．················10分 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 4．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 5．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 6．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数配方确定对称轴与开口方向，结合二次函数增减性与对称性，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当或时，，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小，离对称轴越远，函数值越小． 对于选项A： ∵，∴，此区间在对称轴左侧，随增大而增大 ∴，A正确． 对于选项B： ∵，∴，由得 ∴， ∴， ∵开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，B正确． 对于选项C： ∵，∴，抛物线在该区间内的最小值为（在或处取得） ∴，C正确． 对于选项D： 对于的情况，我们通过举反例来说明该选项错误 当时，取，（满足），到对称轴距离为，到对称轴距离为 ∵，开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，与“”矛盾，D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 10．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 11．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二次函数对称轴为直线，分和两种情况讨论取得最小值的点，分别代入求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当 时，开口向上，最小值在 处取得， 代入得， 令，解得； ②当时，开口向下，最小值在 处取得（因距离对称轴较远）， 代入得， 令，解得． 故答案为：或． 13．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 14．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设点D的坐标为，可得点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上得到，再根据点在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】解：设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴点A的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，由反比例系数的几何意义，即可求解； （2）过作轴交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，可求即可求解． 【详解】解：（1）由条件可知，轴，， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故答案为：； （2）过作轴交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， ，，，， ∵ ，整理得：， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上；···············2分 （2）略················5分 18．（5分）（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：.················3分 （2）描点连线绘制函数图像如下： ················5分 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 19．（6分）（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即；················3分 （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即．················6分 20．（6分）（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为；················3分 （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．················6分 21．（6分）（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为；················2分 （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ；················4分 （3）解：观察图象得：不等式的解集为或．·············6分 22．（8分）（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴．················3分 （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴．················8分 23．（8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点，再由待定系数法求解反比例函数解析式； （2）先求出设平移后的直线与x轴交于点D，连接．由得到，则根据求解点，即可求解直线的函数表达式． 【详解】（1）当时， 解得， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数的表达式为；················3分 （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴ 设平移后的直线与x轴交于点D，连接． ， ． 的面积为10， ， ∴， ∴ ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为．················8分 24．（8分）（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴．················3分 （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且．················8分 25．（10分）（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①；②点的坐标为或或 (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键． （1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答； （2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解； （3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为；················2分 ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或；················5分 （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得；················7分 （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或．················8分 26．（10分）（24-25九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为0或 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ①无上确界； ②， ， ②有上确界，且上确界为1；················2分 （2）解：，随值的增大而减小， 当时，， 上确界是， ， 函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， 的取值范围为：；················6分 （3）解：的对称轴为直线，开口向上， 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 同理，或， 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为0或．················10分 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 4．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 5．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 6．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 7．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 10．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 11．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 13．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 14．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 15．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 16．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 18．（5分）（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 19．（6分）（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 20．（6分）（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 21．（6分）（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 22．（8分）（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 23．（8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 24．（8分）（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 25．（10分）（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 26．（10分）（24-25九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 4．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 5．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 6．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 7．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 10．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 11．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 13．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 14．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 15．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点是反比例函数图象第四象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为，过点作的平行线交轴于点，交图象第二象限分支于点．则 （1）四边形的面积为__________（用含的式子表示）； （2）的值为__________． 16．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 18．（5分）（25-26九年级上·全国·课后作业）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 19．（6分）（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 20．（6分）（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 21．（6分）（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 22．（8分）（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 23．（8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 24．（8分）（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 25．（10分）（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 26．（10分）（24-25九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $