第十八章 相似形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册相似形单元基础通关卷，以真实情境与梯度设计为特色，覆盖比例性质、相似判定及应用，适配单元复习巩固与创新思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|比例性质（第1题）、相似多边形面积比（第2题）|基础概念辨析，结合北京多区期末真题| |填空题|8/24|投影计算（第10题）、黄金分割（第5题）|生活情境应用，如贝壳俯视图、路灯树影| |解答题|10/72|河宽估算（第18题）、祈年殿测量（第22题）、动点探究（第25题）|综合实践与逻辑推理，体现数学眼光与应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B D C A B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．/2.5 10． 11． 12． 13．/ 14． 15． 16．/ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．根据合比的性质，当时，则有，即可求解． 【详解】解：∵， ∴．···························5分 18．（5分） 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米．··························5分 19．（6分） 【答案】(1) ，证明：， ， 平分， ， ， ． (2) 【分析】（1）由得，由平分得，故，可证； （2）由得，代入，解出的长即可； 本题主要考查了角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 【详解】（1）略··························3分 （2）解：，， ， ， ， ， ．·························6分 20．（6分） 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）略·························3分 （2）解：， ， ，， ， 解得， （）．·························6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似解答． （1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似； （2）根据相似比为，故面积比为． 【详解】（1）证明：、E、F分别是三边的中点， ，，， ， ；·························3分 （2）解：，， ．·························6分 22．（8分） 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C．·························3分 （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米．·························8分 23．（8分） 【答案】(1)证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形； (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可知，，，可证，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； （2）连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：略；·························3分 （2）解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ．·························8分 24．（8分） 【答案】教材呈现： 证明：∵点D、E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴且． 结论应用：； 拓展延伸：． 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理解三角形，利用相似三角形证明三角形的中位线定理是解题关键． （1）证推出，即可求证； （2）由题意得，推出，即可求解； （3）取的中点，连接，推出且．且．根据，推出即可求解； 【详解】教材呈现：略；·························4分 结论应用：∵点P是对角线的中点，M是中点，N是中点， ∴， ∴； ∵， ∴；·························6分 拓展延伸：取的中点，连接，如图所示： ∵点H、Q分别为的中点， ∴且．且． ∵， ∴，即； ∴；·························8分 25．（10分） 【答案】(1)； (2)①； ②函数图像如下： ③ 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）①根据矩形的性质，结合，易证明，进而得到，即，据此解答即可；②根据表格信息，在坐标系中描点，画出图象即可；③将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，在、的长度这两个量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；·························2分 （2）解：①四边形是矩形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即；·························5分 ②略·························7分 ③由①知，， 当时，， 解得或（舍去）， ．·························10分 26．（10分） 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)猜想：， 证明：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由结合等角的余角相等可得，从而证明，因此； （2）作于点，容易证明四边形是矩形，则，仿照（1）的解法容易证明，则，结合等量代换可得； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设，容易证明，则，进而可证明，则，计算得，从而得到，由（2）的结论可得． 【详解】（1）略·························3分 （2）略·························6分 （3）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 同理（2）可得，．·························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京石景山·期末）图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·期末）如图，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，在三角形中，，，，分别以点B、C为圆心，长为半径作弧交于点D、E（点D在下方），连接交于点F，则的长为（     ） A． B．9 C． D． 8．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知，那么________． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度是______m． 11．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________． 12．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 13．（2026·北京门头沟·一模）如图，在矩形中，点在上，连接并延长，交的延长线于点．如果，，那么的长是________． 14．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，，，点为延长线上一点，且．连接交边于点，过点作于点，则线段的长为______． 15．（2026·北京东城·二模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 16．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）已知，求的值 18．（5分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 19．（6分）（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，中，平分，，，． (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)求的长． 20．（6分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上．    (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，求的长． 21．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 22．（8分）（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 23．（8分）（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 24．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：    如图①，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 25．（10分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 26．（10分）（2026·北京·模拟预测）探究证明： (1)如图1，矩形中，点、分别在边，上，，求证：． (2)如图2，矩形中，点在边上，，分别交，于点、，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想． 拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例性质，熟记比例性质恒等变形验证选项是解决问题的关键． 通过比例性质，恒等变形逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：A：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论错误，不符合题意； B：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论正确，符合题意； C：由比例性质，题目中式子交叉相乘得到，与选项中的式子不一致，选项结论错误，不符合题意； D：由比例性质，题中式子，不一定等于、不一定等于，比如取，也满足，但，选项中的结论不一定正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意； D、因为，，所以，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·北京石景山·期末）图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，即可得到，从而求得的长． 【详解】解：，， ，， 是的高，是的高， ， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 6．（25-26九年级上·北京·期末）如图，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，首先确定相似三角形的相似比，然后利用相似比的平方等于面积的比求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴相似比为， ∴， 故选：C． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，在三角形中，，，，分别以点B、C为圆心，长为半径作弧交于点D、E（点D在下方），连接交于点F，则的长为（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与的交点为，由作图可知：，，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，设与的交点为，如图所示： 由作图可知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及其性质．连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，先证四边形为平行四边形，从而得，进而可证点为的中点，从而得，则，设，则，则，再证，然后证，最后根据相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图所示：   点为的重心， ，分别为的中线， 点为的中点，点为的中点， ， 又， 四边形为平行四边形， ，即， 又点为的中点，由平行线分线段成比例可知，即点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 相似比为， 与的周长之比为， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知，那么________． 【答案】/2.5 【分析】根据已知比例关系变形，再将所求分式拆分，代入计算即可得到结果． 【详解】解：由可得，且， 则． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度是______m． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据“两角相等的两个三角形相似”说明，可得，再代入数值得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得 故答案为：． 11．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，进而解答． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 解得． 故答案为． 12．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 13．（2026·北京门头沟·一模）如图，在矩形中，点在上，连接并延长，交的延长线于点．如果，，那么的长是________． 【答案】/ 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出长，证明，则，据此求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ， 、， ， ， 即， 解得：． 14．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，，，点为延长线上一点，且．连接交边于点，过点作于点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】利用求出的长，得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 15．（2026·北京东城·二模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 【答案】 【分析】先求出，再得出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在等腰中，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据矩形的性质得出，根据角的和差关系得出，即可证明，可得，设，，得出，根据可证明，可得，得出，解方程求出的值即可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）已知，求的值 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．根据合比的性质，当时，则有，即可求解． 【详解】解：∵， ∴．···························5分 18．（5分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米．··························5分 19．（6分）（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，中，平分，，，． (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)求的长． 【答案】(1) ，证明：， ， 平分， ， ， ． (2) 【分析】（1）由得，由平分得，故，可证； （2）由得，代入，解出的长即可； 本题主要考查了角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 【详解】（1）略··························3分 （2）解：，， ， ， ， ， ．·························6分 20．（6分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上．    (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）略·························3分 （2）解：， ， ，， ， 解得， （）．·························6分 21．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似解答． （1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似； （2）根据相似比为，故面积比为． 【详解】（1）证明：、E、F分别是三边的中点， ，，， ， ；·························3分 （2）解：，， ．·························6分 22．（8分）（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C．·························3分 （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米．·························8分 23．（8分）（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形； (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可知，，，可证，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； （2）连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：略；·························3分 （2）解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ．·························8分 24．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：    如图①，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 【答案】教材呈现： 证明：∵点D、E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴且． 结论应用：； 拓展延伸：． 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理解三角形，利用相似三角形证明三角形的中位线定理是解题关键． （1）证推出，即可求证； （2）由题意得，推出，即可求解； （3）取的中点，连接，推出且．且．根据，推出即可求解； 【详解】教材呈现：略；·························4分 结论应用：∵点P是对角线的中点，M是中点，N是中点， ∴， ∴； ∵， ∴；·························6分 拓展延伸：取的中点，连接，如图所示： ∵点H、Q分别为的中点， ∴且．且． ∵， ∴，即； ∴；·························8分 25．（10分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 【答案】(1)； (2)①； ②函数图像如下： ③ 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）①根据矩形的性质，结合，易证明，进而得到，即，据此解答即可；②根据表格信息，在坐标系中描点，画出图象即可；③将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，在、的长度这两个量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；·························2分 （2）解：①四边形是矩形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即；·························5分 ②略·························7分 ③由①知，， 当时，， 解得或（舍去）， ．·························10分 26．（10分）（2026·北京·模拟预测）探究证明： (1)如图1，矩形中，点、分别在边，上，，求证：． (2)如图2，矩形中，点在边上，，分别交，于点、，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想． 拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)猜想：， 证明：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由结合等角的余角相等可得，从而证明，因此； （2）作于点，容易证明四边形是矩形，则，仿照（1）的解法容易证明，则，结合等量代换可得； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设，容易证明，则，进而可证明，则，计算得，从而得到，由（2）的结论可得． 【详解】（1）略·························3分 （2）略·························6分 （3）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 同理（2）可得，．·························10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京石景山·期末）图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·期末）如图，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京·模拟预测）如图，在三角形中，，，，分别以点B、C为圆心，长为半径作弧交于点D、E（点D在下方），连接交于点F，则的长为（     ） A． B．9 C． D． 8．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知，那么________． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度是______m． 11．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________． 12．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 13．（2026·北京门头沟·一模）如图，在矩形中，点在上，连接并延长，交的延长线于点．如果，，那么的长是________． 14．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在矩形中，，，点为延长线上一点，且．连接交边于点，过点作于点，则线段的长为______． 15．（2026·北京东城·二模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 16．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025九年级上·北京·专题练习）已知，求的值 18．（5分）（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 19．（6分）（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，中，平分，，，． (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)求的长． 20．（6分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上．    (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，求的长． 21．（6分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 22．（8分）（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 23．（8分）（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 24．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：    如图①，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 25．（10分）（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 26．（10分）（2026·北京·模拟预测）探究证明： (1)如图1，矩形中，点、分别在边，上，，求证：． (2)如图2，矩形中，点在边上，，分别交，于点、，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想． 拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $