第1章空间向量与立体几何章末练习-2026-2027学年高二数学上学期人教版A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦空间向量与立体几何，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，适配高二单元复习，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量模、投影向量、空间位置关系|如第5题结合正方体判断线线位置，强化空间观念| |多选题|3题|法向量、四棱锥动态问题|如第10题以动点参数化探究垂直与距离，体现数学思维| |填空题|3题|共面定理、空间向量垂直|如第13题用坐标法求棱上动点，培养数学语言表达| |解答题|6题|向量表示、模长计算、二面角范围|如第19题探究二面角与锐角关系，突出创新应用|

第1章空间向量与立体几何章末练习 一、单选题 1．已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 6．已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 7．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 10．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A．四棱锥的外接球表面积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 11．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 三、填空题 12．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 13．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 14．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 16．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 17．如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 19．如图，在四面体中，，，，．点为的中点． (1)证明：平面，且． (2)点，分别在线段，上，且． （ⅰ）设平面与平面所成的锐二面角为，求的取值范围． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设平面与平面的夹角为．设锐角满足，证明：，并求等号成立时与的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章空间向量与立体几何章末练习-2026-2027学年高二数学上学期人教版A版2019选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D B D C A BD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 2．B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 3．A 【详解】G是的中点，所以. 4．D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 5．B 【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以。 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 6．D 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题可知，质点与质点的运动速度相等.所以可设，，根据空间两点间的距离公式，将表示为的函数，根据函数性质求其最小值即可. 【详解】   如上图所示，连接交于点，则由正六边形的性质知，且. 正六边形的棱长均为4，，所以， 所以，所以. . 如下图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由题可知质点与质点的运动速度相等. 设，则． 因为，所以当时，取得最小值，最小值为． 故选：D.    7．C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 8．A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 9．BD 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量点积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 则. 动点在线段上，设，则. 选项 A：将四棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长，， 故， 外接球表面积.故 A 正确. 选项 B：，，. 令 ， 得，故存在点使.故 B 正确. 选项 C：，， 故，. 二次函数在时取最小值， 故.故 C 错误. 选项 D：直线即轴，点到的距离为. 二次函数在时取最小值， 故.故 D 正确. 11．ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 12．4 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 13．1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 14． 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 16．(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 17．(1) (2)11 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【详解】（1）由题可得向量； （2）由题，， 由（1）得， 所以． 18．(1)证明: 法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）略； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 19．(1)由题意知，，，且为的中点， 则， 因为平面，所以平面. 而，则， 即，， 又，则，故. (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 则， 设，，则， 所以原式，令， 化简变形得，， 由，可得. 要证，因为均为锐角，故只需证. 即证， 由于当，恒成立， 所以只要证， 只要证， 设， 只要证 即 只要证 因为，所以只要证, 整理可得只要证, 利用因式分解，只要证，因为， 所以对恒成立. 所以只要证，显然成立，当时取等号，此时. 因为，所以解得或. 当等号成立时,，. 或，. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面即可.根据勾股定理，可证. （2）（ⅰ）设，，再利用平面向量的坐标运算得出，求出右侧函数的值域即可得到.（ⅱ）要证，只需证，然后通过分析法得到恒成立，进而得到等号成立条件为，或，. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知，平面，且， 以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，，即， 由于，则，即， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 设， 则， 设， 则， 所以函数在上单调递增，又， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，所以， 则. （ⅱ）略 【点睛】本题的关键是将三角函数范围问题，转化为变量的值域问题.在解决最后一问时， 将证明，转化为证明，然后利用分析法进行证明，其中对于代数结构的整体代换是证明的关键. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $