第一章 空间向量与立体几何02（单元分层自测·培优冲刺卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学选择性必修一空间向量与立体几何单元培优冲刺卷，以核心素养为导向，覆盖向量概念、线面关系、空间角与距离等知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习与培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量基本概念、共线共面判定、基底性质|聚焦概念辨析，如第3题考查投影向量与线面角公式，体现数学思维的严谨性| |多选|3/18|直三棱柱体积、线线角、动态翻折|第11题结合翻折二面角考查空间距离，培养空间观念与推理能力| |填空|3/15|点面距离、四点共面、向量投影性质|第14题创新定义向量投影性质，发展创新意识与抽象能力| |解答|5/77|平行六面体运算、翻折证明、球面三角应用|第17题探究混合积与体积关系，第19题融合球面三角学，体现数学语言表达与跨学科应用|

2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A A A C D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BCD ABC ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14． 三、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分） (1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【详解】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 16．（15分） (1)设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以．     又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【详解】（1）略 （2）连接，可得，又， 所以平面，则，     在中，， 所以，    设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． （3）如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，，   所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以．    设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．（15分） (1)因为，所以， 而，，，故， 证得． (2)向量分别与向量，垂直， 且的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积. (3)设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线， 所以是向量，所成平面的一个法向量， 又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 且为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值， 所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【分析】（1）利用给定的向量外积的定义求解即可. （2）利用向量外积的定义和数量积的定义得到，，再结合平行四边形的面积公式求解即可. （3）利用给定的向量混合积的定义并结合六面体的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）不妨设， 所以有 ， ， 所以，，得到，，向量分别与向量，垂直． 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，， 夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． （3）略 18．（17分） (1)证明：因为分别为边的中点，所以为的中线，且， 所以为的重心，则， 在中，，， 则，，即， 又因为，所以∽，则， 在中，， 则，故， 又因,则,即为的中点， 故为的中线，且，则为的重心，即， 则，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）利用两个三角形的重心性质证明，再由对应边成比例推出，从而得到平面， （2）由面面垂直的性质推论将平面垂直关系转化为向量垂直方程，结合基向量分类求解t即可. （3）建立空间直角坐标系，用参数表示点P，求平面AEM的法向量，再将二面角余弦表示成单变量函数，通过单调性求最小值. 【详解】（1）略 （2）当平面平面时，因， 则平面或平面， 设，，， 则，，， 因为，所以， 在中，，， 则由余弦定理，， 所以， 设，在中，，， 则， 又，， ，， 情况一： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，满足， 情况二： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，不满足， 综上所述，当平面平面时，. （3）依题意，以点为坐标原点，以所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，则，， 两式相减得，代回原式得，则， 则，将代入得， 即，由于，则， 易得平面的法向量为， 因，则，， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐二面角， 则， 将代入得， 设，因为，则，此时恒为负数， 则，则， 因为在上单调递减，则在上 单调递减， 所以，则， 即二面角的余弦值的最小值为.    19．（17分） (1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 3．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 4．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 5．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 6．如图，长方体中为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）    A．当时，直线与平面所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 7．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（   ） A．直三棱柱的体积为4 B．与所成角的正弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 10．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 11．已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（    ） A．当时，为钝角 B．当时， C．当时，的最小值为 D．翻折过程中，不存在某个位置，使得 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    14．记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 16.（15分） 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 17.（15分） 设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 18.（17分） 在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接．      (1)证明：平面； (2)当平面平面时，求的值； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分） 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】举特例否定①；利用向量共线的定义否定②；依据共面向量基本定理否定③. 【详解】当，时，，不能说与方向相同或相反，①不正确； 当时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确； 当，不共线时，当且仅当共面时才满足(). 故③不正确. 故选：A 2．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D. 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 3．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 4．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 5．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 6．如图，长方体中为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）    A．当时，直线与平面所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 【答案】A 【分析】构建空间直角坐标系，根据各项给定条件，应用向量的坐标运算求相关线段对应向量，应用向量法求线面角、二面角判断A、C，由向量数量积的坐标运算判断B、D. 【详解】在长方体中，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 当时，为的中点，则，故， 而为平面的一个法向量，若直线与平面所成角为， 则，故A错误； 当时，， 设平面的一个法向量为，则，令，则， ， 所以，故B正确； 当时，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 又平面，则是平面的一个法向量，所以 由图知：二面角的平面角为锐角，则其余弦值为，故C正确； 设，故， 若，故，故D正确； 故选：． 7．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． 8．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的方程，点关于平面的对称点坐标，结合对称求出最小值. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（   ） A．直三棱柱的体积为4 B．与所成角的正弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据长度不确定即可判断A，建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，进而可求解法向量，根据向量的夹角公式，即可判断BCD. 【详解】对于A,由于没有给长度，所以三棱柱的体积无法确定，A错误， 建立空间直角坐标系如图：设, 则, ， 对于B，设与所成角为，则， 故，B正确， 对于C, 平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则，则，C正确， 对于D,设平面的一个法向量为，, 则令，则，而平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则，故D正确， 故选：BCD 10．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误．    11．已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（    ） A．当时，为钝角 B．当时， C．当时，的最小值为 D．翻折过程中，不存在某个位置，使得 【答案】ABC 【分析】把 ， 分别分解为沿 方向的分量和垂直于 的分量，可得到 ，， 之间的关系，再逐项判断． 【详解】 设沿 方向的单位向量为 ．在两个半平面内，分别取垂直于 的单位向量 ，其中 指向 所在一侧， 指向 所在一侧，则 . 只需考虑方向，令 ． 因为 ，且 ， 在直线 上位于 的两侧，则， 所以 ，． 又因为 ，，所以 ． 对于 A，当 时，因，则，所以 为钝角，A 正确． 对于 B，当 时，．因为 ，所以 ， 从而 ．又余弦函数在上单调递减，则 ，即 ，故B 正确． 对于 C，当 时，设 ，则 ， ， 所以 ． 因，则 ．当 ，即 ， 时取等，即 的最小值为 ，故C 正确． 对于 D，若存在 ，则有 ，．把 代入关系式，需满足 ． 令 ，则 ，． 由零点存在定理，存在 ，使 ，即存在位置满足 ，故 D 错误． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 14．记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【详解】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 16. （15分） 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以．     又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【详解】（1）略 （2）连接，可得，又， 所以平面，则，     在中，， 所以，    设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． （3）如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，，   所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以．    设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. （15分） 设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【答案】(1)因为，所以， 而，，，故， 证得． (2)向量分别与向量，垂直， 且的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积. (3)设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线， 所以是向量，所成平面的一个法向量， 又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 且为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值， 所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【分析】（1）利用给定的向量外积的定义求解即可. （2）利用向量外积的定义和数量积的定义得到，，再结合平行四边形的面积公式求解即可. （3）利用给定的向量混合积的定义并结合六面体的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）不妨设， 所以有 ， ， 所以，，得到，，向量分别与向量，垂直． 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，， 夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． （3）略 18.（17分） 在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接．      (1)证明：平面； (2)当平面平面时，求的值； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明：因为分别为边的中点，所以为的中线，且， 所以为的重心，则， 在中，，， 则，，即， 又因为，所以∽，则， 在中，， 则，故， 又因,则,即为的中点， 故为的中线，且，则为的重心，即， 则，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）利用两个三角形的重心性质证明，再由对应边成比例推出，从而得到平面， （2）由面面垂直的性质推论将平面垂直关系转化为向量垂直方程，结合基向量分类求解t即可. （3）建立空间直角坐标系，用参数表示点P，求平面AEM的法向量，再将二面角余弦表示成单变量函数，通过单调性求最小值. 【详解】（1）略 （2）当平面平面时，因， 则平面或平面， 设，，， 则，，， 因为，所以， 在中，，， 则由余弦定理，， 所以， 设，在中，，， 则， 又，， ，， 情况一： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，满足， 情况二： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，不满足， 综上所述，当平面平面时，. （3）依题意，以点为坐标原点，以所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，则，， 两式相减得，代回原式得，则， 则，将代入得， 即，由于，则， 易得平面的法向量为， 因，则，， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐二面角， 则， 将代入得， 设，因为，则，此时恒为负数， 则，则， 因为在上单调递减，则在上 单调递减， 所以，则， 即二面角的余弦值的最小值为.    19.（17分） 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 3．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 4．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 5．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 6．如图，长方体中为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）    A．当时，直线与平面所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 7．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（   ） A．直三棱柱的体积为4 B．与所成角的正弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 10．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 11．已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（    ） A．当时，为钝角 B．当时， C．当时，的最小值为 D．翻折过程中，不存在某个位置，使得 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    14．记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 16.（15分） 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 17.（15分） 设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 18.（17分） 在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接．      (1)证明：平面； (2)当平面平面时，求的值； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19.（17分） 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $