专题01 集合中的含参数问题八类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与逻辑含参数问题，构建“通法-题型-挑战”三阶训练体系，提炼五大核心解法与四底线原则，以推理能力为核心实现从概念到压轴的逻辑进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|五大核心（元素关系等）+四底线原则（空集优先等）|概念原理→方法原则| |题型归纳|8题型（1典例+3变式）|题型特征+解题步骤（如元素互异性检验、集合包含关系数轴分析）|基础题型→变式拓展| |压轴挑战|15道综合题|多考点交汇（集合运算与逻辑关系综合）|单一知识点→综合应用|

专题01 集合与逻辑中的含参数问题八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合中元素的互异性求参数 题型二、根据集合相等关系求参数 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型四、根据交集运算结果求参数 题型五、根据并集运算结果求参数 题型六、根据交、并、补混合运算结果求参数 题型七、利用充分条件、必要条件求参数 题型八、根据命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与逻辑中的含参数问题是高中数学入门阶段的重难点，所有题型均围绕集合元素与集合关系、集合包含关系、集合交并补运算、充分必要条件、命题真假判定五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是涉及子集关系必须优先讨论空集情况，二是求出参数取值后要检验集合元素的互异性，三是利用充分、必要条件求参数可转化为集合的包含关系求解，四是根据命题真假求参数问题要准确写出命题为假时对应的反面条件，连续数集范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 典例1 设a是实数，集合，若，则__________. 题型模版 1.特征：题目给出某一个元素属于已知集合的条件，集合内含有待求参数，需要求出参数的取值，解题时极易忽略集合元素互异性的检验步骤. 2.方法：先把已知元素代入集合当中对应的方程，解出参数的候选结果，再将所得参数逐一回代，检验集合当中的元素是否满足互异性，把会造成元素重复的参数舍去，保留合规的答案. 变式1-1已知，则实数的取值集合为___________. 变式1-2设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 变式1-3设集合，，已知且，则的取值集合为________. 类型二、根据集合相等关系求参数 典例2 若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 题型模版 1.特征：已知两个集合相等，集合内部含有待求参数，集合中的元素顺序并不固定，需要分情况讨论元素之间的对应关系求解参数，解题时极易漏掉集合元素互异性的检验环节. 2.方法：依据集合相等则元素完全相同的性质，列出元素之间所有可能的对应组合，解方程求出参数候选值，再将参数回代原题，检验所得集合的元素是否满足互异性，剔除造成元素重复的结果 变式2-1已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 变式2-2已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 变式2-3集合，，若，则______． 题型三、根据集合的包含关系求参数 典例3 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 题型模版 1.特征：题目给出两个集合之间子集、真子集的包含关系，集合当中含有待求参数，连续数集类题型居多，学生极易遗漏被包含集合为空集的特殊情况 2.方法：优先讨论子集为空集的情况，再分析子集非空时的范围，画出数轴标注两个集合对应的区间端点，列出端点对应的不等式组求解参数，最后检验端点取值能否取等号 变式3-1集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 变式3-2已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 变式3-3设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型四、根据交集运算结果求参数 典例4 已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 题型模版 1.特征：给出两个含参集合的交集结果，已知交集为空集、交集等于某个给定集合或是交集含有指定元素，求解参数范围，解题时容易忽略集合为空集的特殊情形以及区间端点能否取等的判断. 2.方法：先解读交集条件对应的集合关系，优先讨论集合为空集的情况，连续数集借助数轴画出两个集合的范围，列出对应的不等式组求解参数，最后单独检验端点取值是否符合题意 变式4-1，若，由实数的取值构成的集合为，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 变式4-2已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 变式4-3已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 题型五、根据并集运算结果求参数 典例5 设集合，，若，则实数a的取值范围为________． 题型模版 1.特征：题目给出两个含参集合的并集结果，已知并集等于某个指定集合，以此条件求解参数范围，解题容易遗漏含参集合为空集的情况，端点处能否取等也是高频易错点 2.方法：先转化并集条件得到集合之间的包含关系，优先分析含参集合为空集的情形，连续数集借助数轴标出区间，列出对应的不等式组，求出参数范围之后单独检验端点取值 变式5-1设集合，若，求实数的取值范围. 变式5-2已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 变式5-3设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 题型六、根据交、并、补混合运算结果求参数 典例6 已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 题型模版 1.特征：题干同时给出交集、并集、补集两种及以上混合运算的结果，集合含有待求参数，条件关系相对复杂，容易看错运算顺序、漏掉空集情况或是端点取值出错. 2.方法：先借助韦恩图梳理清楚交并补之间的逻辑关系，转化出集合间的从属关系，优先讨论含参集合为空集的情形，连续数集搭配数轴分析区间范围，列出不等式求解后检验端点是否成立 变式6-1设集合，，，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-2已知全集且，，，且，则的值为_____________． 变式6-3已知全集，集合，，或都是U的子集．若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型七、利用充分条件、必要条件求参数 典例7 已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：题目给出两个命题之间充分、必要或者充要的逻辑关系，命题对应的解集含有参数，核心难点在于分清推导方向，极易颠倒充分性与必要性 2.方法：先把两个命题分别转化成对应的解集，再根据充分、必要条件得出两个集合之间的包含关系，借助数轴列出不等式求解参数范围，最后检验区间端点是否满足题意 变式7-1设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 变式7-2已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 变式7-3已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 题型八、根据命题的真假求参数 典例8 设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 题型模版 1.特征：题干给出全称量词命题或者存在量词命题的真假，表达式当中含有参数，解题时容易忽略变量本身隐含的取值范围，混淆全称与特称命题的否定形式 2.方法：先根据命题真假列出对应的不等式，区分恒成立与存在有解两类问题，转化为最值问题求解参数范围，求解结束后检验变量隐含限制条件 变式8-1已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式8-2若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 变式8-3已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 4．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．设集合，若，则的值的集合为__________. 7．已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 8．已知全集，集合，若，则________. 9．已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________． 10．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为_________． 11．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 12．已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 13．已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 14．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 15．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑中的含参数问题八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用集合中元素的互异性求参数 题型二、根据集合相等关系求参数 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型四、根据交集运算结果求参数 题型五、根据并集运算结果求参数 题型六、根据交、并、补混合运算结果求参数 题型七、利用充分条件、必要条件求参数 题型八、根据命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合与逻辑中的含参数问题是高中数学入门阶段的重难点，所有题型均围绕集合元素与集合关系、集合包含关系、集合交并补运算、充分必要条件、命题真假判定五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是涉及子集关系必须优先讨论空集情况，二是求出参数取值后要检验集合元素的互异性，三是利用充分、必要条件求参数可转化为集合的包含关系求解，四是根据命题真假求参数问题要准确写出命题为假时对应的反面条件，连续数集范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用元素与集合的关系求参数 典例1 设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为：． 题型模版 1.特征：题目给出某一个元素属于已知集合的条件，集合内含有待求参数，需要求出参数的取值，解题时极易忽略集合元素互异性的检验步骤. 2.方法：先把已知元素代入集合当中对应的方程，解出参数的候选结果，再将所得参数逐一回代，检验集合当中的元素是否满足互异性，把会造成元素重复的参数舍去，保留合规的答案. 变式1-1已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 变式1-2设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：． 变式1-3设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 类型二、根据集合相等关系求参数 典例2 若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义，可推出的值，得解. 【详解】由题意可知且， ，， ，， 故. 故选：C． 题型模版 1.特征：已知两个集合相等，集合内部含有待求参数，集合中的元素顺序并不固定，需要分情况讨论元素之间的对应关系求解参数，解题时极易漏掉集合元素互异性的检验环节. 2.方法：依据集合相等则元素完全相同的性质，列出元素之间所有可能的对应组合，解方程求出参数候选值，再将参数回代原题，检验所得集合的元素是否满足互异性，剔除造成元素重复的结果 变式2-1已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【详解】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C 变式2-2已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 【答案】C 【分析】根据，所以集合中元素相同，由此可知，且，，再根据元素的互异性，即可求出结果. 【详解】由，得，且，， 解得，． 又，. 故选：C． 变式2-3集合，，若，则______． 【答案】或/或 【分析】由元素互异性可得，即且，可得，再由可得，，在讨论、时，根据元素的确定性列方程组可得的值即可求解. 【详解】因为，所以即， 所以且，可得， 因为，所以，， 当时，，， 当时，可得：， 当时，，可得：， 所以或， 故答案为：或． 题型三、根据集合的包含关系求参数 典例3 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故． 题型模版 1.特征：题目给出两个集合之间子集、真子集的包含关系，集合当中含有待求参数，连续数集类题型居多，学生极易遗漏被包含集合为空集的特殊情况 2.方法：优先讨论子集为空集的情况，再分析子集非空时的范围，画出数轴标注两个集合对应的区间端点，列出端点对应的不等式组求解参数，最后检验端点取值能否取等号 变式3-1集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，不等式，即为不成立，即，满足； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故选：D． 变式3-2已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以． 变式3-3设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 题型四、根据交集运算结果求参数 典例4 已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、两种情况讨论； （2）结合第（1）问，根据且分类讨论即可. 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或． 题型模版 1.特征：给出两个含参集合的交集结果，已知交集为空集、交集等于某个给定集合或是交集含有指定元素，求解参数范围，解题时容易忽略集合为空集的特殊情形以及区间端点能否取等的判断. 2.方法：先解读交集条件对应的集合关系，优先讨论集合为空集的情况，连续数集借助数轴画出两个集合的范围，列出对应的不等式组求解参数，最后单独检验端点取值是否符合题意 变式4-1，若，由实数的取值构成的集合为，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】先求出集合，根据，可得，再分和两种情况讨论求出，即可得出集合，进而可得出答案. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，则， 所以或，解得或， 所以，即 所以集合的子集个数为. 故选：D． 变式4-2已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【分析】(1)直接运算即可得解; (2)根据，分与两类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以，. （2）因为，所以， 情况1:若，则，所以； 情况2:若，则，解得； 综上所述，的取值范围为． 变式4-3已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 题型五、根据并集运算结果求参数 典例5 设集合，，若，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．． 题型模版 1.特征：题目给出两个含参集合的并集结果，已知并集等于某个指定集合，以此条件求解参数范围，解题容易遗漏含参集合为空集的情况，端点处能否取等也是高频易错点 2.方法：先转化并集条件得到集合之间的包含关系，优先分析含参集合为空集的情形，连续数集借助数轴标出区间，列出对应的不等式组，求出参数范围之后单独检验端点取值 变式5-1设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 变式5-2已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是． 变式5-3设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）确定中元素个数，由（1）即可确定. 【详解】（1） 若，则此时 若则，当时；当且时 ，即，解得或，， 由若可知有或或 （2）若集合的非空真子集有6个，则，可得， 即中的元素只有3个，又 由（1）知，且且即且且 故实数的取值所构成的集合为 题型六、根据交、并、补混合运算结果求参数 典例6 已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解. 【详解】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为：． 题型模版 1.特征：题干同时给出交集、并集、补集两种及以上混合运算的结果，集合含有待求参数，条件关系相对复杂，容易看错运算顺序、漏掉空集情况或是端点取值出错. 2.方法：先借助韦恩图梳理清楚交并补之间的逻辑关系，转化出集合间的从属关系，优先讨论含参集合为空集的情形，连续数集搭配数轴分析区间范围，列出不等式求解后检验端点是否成立 变式6-1设集合，，，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据列不等式组，由此化简求得的最小值. 【详解】、， 由于， 所以，， 所以，即的最小值为. 故选：C． 变式6-2已知全集且，，，且，则的值为_____________． 【答案】66 【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设为 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66． 变式6-3已知全集，集合，，或都是U的子集．若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】存在这样的实数a，且a的取值范围是． 【分析】将分为空集和非空集两种情况分类讨论，结合列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】因为，所以应分两种情况． （1）若，则，因此，即． （2）若，则，即． 又，或， 所以， 又，所以或， 即或，即． 又，故此时不存在． 综上，存在这样的实数，且的取值范围是． 题型七、利用充分条件、必要条件求参数 典例7 已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，由条件得到，列出不等式求解即可； （2）由条件得到，通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围． 题型模版 1.特征：题目给出两个命题之间充分、必要或者充要的逻辑关系，命题对应的解集含有参数，核心难点在于分清推导方向，极易颠倒充分性与必要性 2.方法：先把两个命题分别转化成对应的解集，再根据充分、必要条件得出两个集合之间的包含关系，借助数轴列出不等式求解参数范围，最后检验区间端点是否满足题意 变式7-1设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B． 变式7-2已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为：． 变式7-3已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 题型八、根据命题的真假求参数 典例8 设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出的取值范围即得. （2）由命题为真命题求出的范围，再结合（1）求出答案. 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由p为假命题，得，为真命题，即，， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 由（1）知，，则， 所以实数m的取值范围是． 题型模版 1.特征：题干给出全称量词命题或者存在量词命题的真假，表达式当中含有参数，解题时容易忽略变量本身隐含的取值范围，混淆全称与特称命题的否定形式 2.方法：先根据命题真假列出对应的不等式，区分恒成立与存在有解两类问题，转化为最值问题求解参数范围，求解结束后检验变量隐含限制条件 变式8-1已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 变式8-2若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 变式8-3已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解； （2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解. 【详解】（1）由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. （2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 2．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 3．“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 4．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 5．（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 6．设集合，若，则的值的集合为__________. 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： ． 7．已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据，分是空集和不是空集分别列不等式计算求参数. 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 8．已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2． 9．已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________． 【答案】, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 10．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： ． 11．已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为． 12．已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 13．已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【详解】（1）对于，等价于或，解得或， 所以或， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，且等号不同时成立，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：． 14．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或． 15．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $