专题02 常用逻辑用语8大重点题型归纳（必考40题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 常用逻辑用语8大重点题型归纳（必考40题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 充分、必要条件的判定及探索 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）在下列所示电路图中，下列说法正确的是__________.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，， ； (2)对于实数，，，或； (3)，. 5．（26-27高一上·全国·单元测试）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 题型2 充要条件的证明 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是___________. 9．（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 10．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 题型3 充分、必要条件中的参数问题 11．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 14．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型4 全称、存在量词命题的真假判断 16．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 17．（25-26高一上·陕西西安·期中）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（    ） A． B．任意两个无理数之和仍是无理数 C． D．至少存在两个质数的平方是偶数 18．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为___________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 19．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 20．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 题型5 全称、存在量词命题的否定 21．（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·河北衡水·期末）命题“”的否定为___________． 24．（25-26高一上·青海海东·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 25．（25-26高一·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)，； (2)，一次函数的图象经过原点； (3)每一个素数都是奇数； (4)某些平行四边形是菱形； (5)可以被5整除的数，末位上是0． 题型6 全称、存在量词命题中的含参问题 26．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为___________. 29．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 30．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型7 充分、必要条件与集合交汇 31．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是___________. 34．（25-26高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 35．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型8 全称、存在量词命题与集合交汇 36．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 37．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 38．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 39．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 40．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语8大重点题型归纳（必考40题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 充分、必要条件的判定及探索 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】解绝对值不等式，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【解答过程】因为或， 所以，但成立推不出， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）在下列所示电路图中，下列说法正确的是__________.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【解题思路】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【解答过程】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，， ； (2)对于实数，，，或； (3)，. 【答案】(1)是的充分必要条件. (2)是的充分不必要条件. (3)是的必要不充分条件. 【解题思路】根据充分、必要条件条件的定义判断即可. 【解答过程】（1）在中，显然有 ，所以是的充分必要条件. （2）由，则或； 当时，满足或，但， 所以是的充分不必要条件. （3）由得或； 所以是的必要不充分条件. 5．（26-27高一上·全国·单元测试）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【解题思路】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系； （2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系； （3）根据数的性质即可判断出与的关系； （4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案； （5）根据交集含义即可判断出与的关系. 【解答过程】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 题型2 充要条件的证明 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【解题思路】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质定理，结合集合交集的性质、等腰三角形的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例， 当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意； C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意， 故选：B. 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【解答过程】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 8．（25-26高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是___________. 【答案】 【解题思路】首先写成充要条件，再证明即可. 【解答过程】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为：. 9．（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析 【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】证明：充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】证明：必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 题型3 充分、必要条件中的参数问题 11．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简命题，再利用必要不充分条件的定义求出范围. 【解答过程】命题，命题，由是的必要不充分条件，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 12．（25-26高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题意可得，求解即可. 【解答过程】因为是的必要不充分条件，所以且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）令，，由条件得到，列出不等式求解即可； （2）由条件得到，通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围. 15．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件 (2) (3) 【解题思路】（1）由集合的包含关系即可确定； （2）由是的充分条件得，列不等式组进行求解； （3）若是的充分不必要条件得是的真子集，列不等式组进行求解． 【解答过程】（1）若，则， 所以是的真子集，所以是的必要不充分条件． （2）因为是的充分条件，所以， 因此有， 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 因此有或， 解得或． 所以实数的取值范围为． 题型4 全称、存在量词命题的真假判断 16．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【解题思路】根据全称命题及真假分别判断各个选项即可. 【解答过程】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A正确； 当时，满足，原命题为真命题且是存在量词命题，B错误； 存在，原命题为全称量词命题且为假命题，C错误； 对于任意一个负数，都有，原命题为存在量词命题且为假命题，D错误． 故选：A. 17．（25-26高一上·陕西西安·期中）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（    ） A． B．任意两个无理数之和仍是无理数 C． D．至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题、存在量词命题以及真假命题的定义即可求解. 【解答过程】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题， C，存在使得，故C正确； 对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误. 故选：C. 18．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为___________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【解题思路】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【解答过程】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0. 19．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【解题思路】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【解答过程】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 20．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【解答过程】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 题型5 全称、存在量词命题的否定 21．（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解． 【解答过程】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：. 故选：C. 22．（25-26高一上·湖南湘潭·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到答案. 【解答过程】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 原命题的否定为“”，故C正确. 故选：C. 23．（25-26高一上·河北衡水·期末）命题“”的否定为___________． 【答案】 【解题思路】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【解答过程】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是：. 故答案为：. 24．（25-26高一上·青海海东·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【解题思路】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【解答过程】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 25．（25-26高一·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)，； (2)，一次函数的图象经过原点； (3)每一个素数都是奇数； (4)某些平行四边形是菱形； (5)可以被5整除的数，末位上是0． 【答案】(1)，；是假命题 (2)，一次函数图象不经过原点；是假命题 (3)存在一个素数不是奇数；是真命题 (4)每一个平行四边形都不是菱形；是假命题 (5)存在一个被5整除的数，末位上不是0；是真命题 【解题思路】根据存在量词命题与全称量词命题的否定逐一写出结果. 【解答过程】（1）命题的否定：，，是假命题． （2）命题的否定：，一次函数图象不经过原点，是假命题． （3）命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题，比如2是素数但不是奇数． （4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． （5）命题的否定：存在一个被5整除的数，末位上不是0，是真命题． 题型6 全称、存在量词命题中的含参问题 26．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【解答过程】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B. 27．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【解答过程】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 28．（25-26高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【解答过程】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 29．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 30．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型7 充分、必要条件与集合交汇 31．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 32．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【解答过程】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 33．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围. 【解答过程】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以，所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：. 故答案为：. 34．（25-26高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【解答过程】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 35．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 题型8 全称、存在量词命题与集合交汇 36．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【解题思路】（1）由补集运算即可求解； （2）由和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以或； （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意， 当时，而，， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 37．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 38．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【解答过程】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 39．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 40．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，得出，从而得解； （2）根据集合交集为空集，判断集合中元素满足的条件，列出不等式，求出结果即可； （3）根据命题甲和乙为真时的取值范围，求出参数范围. 【解答过程】（1）根据题意，， 由于，所以，得， 所以实数的取值范围为； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以， 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得， 由（2）可知命题乙是真命题时，， 命题甲和乙中至少有一个真命题，得， 综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $