专题02 集合中的新定义问题三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合新定义问题，构建“通法引领-题型突破-压轴提升”三阶训练体系，提炼翻译转化与规则验证核心方法，系统培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心通法|定义翻译转化为集合语言，规则严格验证|统领三类题型的底层逻辑| |题型归纳|3类题型（各含1典例+3变式）|新概念：定义拆解逐项对照；新运算：代入规则计算去重；新性质：条件翻译验证推理|从概念到运算再到性质，形成递进逻辑链| |压轴挑战|15道综合题|综合应用通法与题型技巧，突破复杂情境|整合三类问题，提升创新思维与模型意识|

专题02 集合中的新定义问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中的定义新概念问题 题型二、集合中的定义新运算问题 题型三、集合中的定义新性质问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中新定义问题是高中数学集合板块难点题型，所有题型均围绕新概念、新运算、新性质三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是读懂题干文字，精准翻译陌生定义，转化为熟悉的集合语言，二是严格遵循定义规则逐项验证，不可套用固有集合结论，所有推理结果最终均需对照定义复核检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中的定义新概念问题 典例1 含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 【答案】32 【分析】根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解． 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32.． 题型模版 1.特征：题目给出教材没有见过的集合新概念、新记号，读懂题目给出的文字或者符号定义，按定义做题. 2.方法：严格照搬题干的定义，拆解条件，逐个元素对照判断；不要凭固有集合知识主观臆断概念含义. 变式1-1定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 【答案】1012 【分析】由好集的定义得且，化简可解得或，由P是集合M的三元子集可排除，结合的元素特征可得，，，即可求得好集的个数. 【详解】由好集的定义得，消去可得， 整理可得，则或， 因为可得，则，， 可得，且. 又因为，则且，得， 故集合P为“好集”的个数为. 故答案为：1012． 变式1-2已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2) 若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）略． 变式1-3若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 【答案】(1)不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）利用定义，判断集合B不是“好集”； （2）由，若，，则，从而得出； （3）先证：若，则，同理，最后根据性质②可得，即可判断命题为真. 【详解】（1）集合不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，，则”为真命题，理由如下： 先证明：若，则. 对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即.所以. 由（2）可得：，即.同理. 根据性质②若，，则，可得. 所以命题“若，，则”为真命题.． 类型二、集合中的定义新运算问题 典例2 定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【分析】由集合新定义结合交集的运算可得. 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：.． 题型模版 1.特征：给题目自定义集合运算符号（☉，•，Ф，▽，⊕等），给出运算规则，求集合、元素或者参数. 2.方法：①读懂新运算的表达式，把集合中每一组元素代入规则计算； ②计算完成后根据集合元素互异性去重； ③再完成后续求值、求参数，做完核对一遍. 变式2-1定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，分类讨论结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，， 由集合中元素的互异性可得且， 此时的可能值为，其中， 若即时，，所以， 此时集合的真子集个数为； 若即且时，， 此时集合的真子集个数为； 综上所述：集合的真子集个数的可能取值是3或7. 故答案为：3或7.． 变式2-2（多选）定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，通过题意得到；BCD选项，通过韦恩图进行推理求解. 【详解】A选项，由题意得，， 故，，A正确； B选项，由题意，表示的运算为集合与的并集中去掉与的交集部分， 不妨设均有交集，如图所示，    故表示①②⑥⑦部分的并集，表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集， 表示②③⑤⑥部分的并集，表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集，故，B正确； C选项，通过推理均表示⑤⑥部分的并集，C正确； D选项，通过推理得到表示①②③④⑤⑥部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，表示①③④⑤⑥⑦部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即②③部分的并集，D错误. 故选：ABC 变式2-3定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为.． 题型三、集合中的定义新性质问题 典例3 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】(1) 当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2) 将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； (3)110个 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个.． 题型模版 1.特征：给出集合的全新性质（封闭集、和谐集、理想集等），给出文字描述的判定条件，依据该性质求解集合、参数，或者做判断证明； 2.方法：① 准确读懂题干给出的新性质，把文字条件翻译成数学式子； ② 取出集合内元素代入性质条件进行验证、推理； ③ 若是求参数，列出满足新性质的等式或不等式，求解之后回代检验是否符合定义。 变式3-1若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B.． 变式3-2对于数集，其中，，定义点集.若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.例如：具有性质，则下列两个命题（    ）. ①若集合具有性质，则；②已知集合具有性质，若，则. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【分析】利用新定义，取，则有，然后再根据是中唯一负数，则中一个为，另一个必为1，即可判断选项①，由选项①可得，所以，然后再利用反证法，假设，选取进行分析，得出矛盾，从而可判断选项②. 【详解】由题意，取，则有， 因为，所以，即异号， 因为是中唯一负数，则中一个为，另一个必为1，故，故选项①正确； 因为，又由选项①可得，所以，假设， 选取，则， 因为由选项①证明知，所以中一个必为，一个必为1， 若，则，即与矛盾， 若，则矛盾，故假设不成立，所以，故选项②正确. 所以①真②真. 故选：A.． 变式3-3对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质． (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若具有孪生性质，求的最小值； (3)设集合，若，求证：． 【答案】(1)不具有孪生性质，具有孪生性质． (2)676 (3)集合， 则0，，，，，，都属于集合， 又因为，且， 由于0一定是中的元素，且为最小元素，结合，可知， 此时，故0，，，，，，都属于集合， 由于，且，故必然，，与，，中的某一个元素相等， 又因为，所以是，，三者中的最大值，故只能与或相等，又，， 因此只能，且 所以． 【分析】（1）直接根据集合的孪生性质可判断结果； （2）求出，由它们的交集为空集即可得出所求的答案； （3）求出中的可能元素，结合即可得出所求的结论． 【详解】（1）由题意可得：,4,，,， ,6,7,10,11,，,1,4,， 而,，， 所以不具有孪生性质，具有孪生性质． （2）由题意可得：,1,2，,， ,,,，，， 因为，所以，即， 又因为，所以的最小值是676． （3）略. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 2．已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A中元素个数及新定义得或，分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解a的取值集合． 【详解】由题意得，，所以，从而或． 方程的根由的根共同构成． 当时， 方程可化为， 因为恒成立，所以方程的根为，此时，满足条件． 当时， 方程的根为，方程的根为，方程的判别式， 当时，方程只有一个实根， 则必有，解得， 此时方程的判别式，方程无实根， 此时，满足条件． 当时，方程有3个不等的实根， 上面已经考虑了的情形，以下只需考虑的情形，此时， 所以方程有两个相等的实根且不为1和， 则，解得， 当时，方程即有两个相等的实根1， 此时，不符合题意； 当时，方程即有两个相等的实根， 此时方程有3个不等的实根：， 此时，符合题意， 综上，a的所有可能取值为，即所求集合为． 故选：D． 3．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 4．（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 5．（多选）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，推出“完美集”中含有所有的整数，由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确；C选项，实数集R满足三个性质，C正确；D选项，先得到，又，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 6．定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 【答案】9 【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9.．． 7．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________. 【答案】2 【解析】由已知中集合，，，，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，，1，2，3，分别分析取，，，时，式子的值，并与进行比照，即可得到答案． 【详解】当时， 当时， 当时， 当时， 则满足关系式的的个数为：2个． 故答案为：2．． 8．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 【答案】14 【分析】根据新定义列不等式组求解即可. 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14.． 9．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为___________． 【答案】/0.5 【分析】分析题干可知当最大且最小时，取得最小值，由此可算得答案. 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：． 10．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤． 11．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）当时，或，当时，，代入新定义计算即可得； （2）当，，代入新定义计算即可得； （3）求出A的补集，根据分和讨论，由此求得m的取值范围． 【详解】（1）， 当时，或，此时或； 当时，，此时，所以； （2）， 时，，此时，即； （3）因为，当时，即， 当时，方程无实根，，解得； 当时，则有，即且且， 综上所述，实数m的取值范围是且.． 12．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1) ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. (2)且 (3) 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）略 13．定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以.． 14．设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）通过举例判断不是数环，整数集Z是数环，不是数域，有理数集Q是数环也是数域； （2）直接由数环、数域的定义证明可得； （3）根据数域的定义证明A中的元素满足①②③④即可. 【详解】（1）自然数集不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集、复数集C是数环也是数域. （2）若，且M是一个数环，则，即； 若，，且S是一个数域，则，即 （3）设，，则，，（，，，）， 则， 因为，，，，所以，， 所以，满足条件①. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件②. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，，，，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域.． 15．对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 【答案】(1)不是“2-强可分集合”，理由如下： 因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合”. (2) 不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”. (3) ①设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”． 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②7. 【分析】（1）根据强可分集合分析求解即可； （2）根据强可分集合分析求解即可； （3）根据强可分集合分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④． 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”； 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合中的新定义问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中的定义新概念问题 题型二、集合中的定义新运算问题 题型三、集合中的定义新性质问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合中新定义问题是高中数学集合板块难点题型，所有题型均围绕新概念、新运算、新性质三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是读懂题干文字，精准翻译陌生定义，转化为熟悉的集合语言，二是严格遵循定义规则逐项验证，不可套用固有集合结论，所有推理结果最终均需对照定义复核检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中的定义新概念问题 典例1 含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 题型模版 1.特征：题目给出教材没有见过的集合新概念、新记号，读懂题目给出的文字或者符号定义，按定义做题. 2.方法：严格照搬题干的定义，拆解条件，逐个元素对照判断；不要凭固有集合知识主观臆断概念含义. 变式1-1定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 变式1-2已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 变式1-3若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 类型二、集合中的定义新运算问题 典例2 定义集合运算：.若集合，，则_____. 题型模版 1.特征：给题目自定义集合运算符号（☉，•，Ф，▽，⊕等），给出运算规则，求集合、元素或者参数. 2.方法：①读懂新运算的表达式，把集合中每一组元素代入规则计算； ②计算完成后根据集合元素互异性去重； ③再完成后续求值、求参数，做完核对一遍. 变式2-1定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 变式2-2（多选）定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 题型三、集合中的定义新性质问题 典例3 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 题型模版 1.特征：给出集合的全新性质（封闭集、和谐集、理想集等），给出文字描述的判定条件，依据该性质求解集合、参数，或者做判断证明； 2.方法：① 准确读懂题干给出的新性质，把文字条件翻译成数学式子； ② 取出集合内元素代入性质条件进行验证、推理； ③ 若是求参数，列出满足新性质的等式或不等式，求解之后回代检验是否符合定义。 变式3-1若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 变式3-2对于数集，其中，，定义点集.若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.例如：具有性质，则下列两个命题（    ）. ①若集合具有性质，则；②已知集合具有性质，若，则. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 变式3-3对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质． (1)判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； (2)设集合且，若具有孪生性质，求的最小值； (3)设集合，若，求证：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 4．（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 5．（多选）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 6．定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 7．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________. 8．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 9．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为___________． 10．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 11．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 12．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 13．定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 14．设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 15．对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $