江苏泰州市兴化市2026-2027学年九年级上学期期初数学试卷

2026年秋学期九年级学生素养调研 数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等 其他位置上一律无效． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1．下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（ ▲ ） A．检测一条河流的水质情况 B．检查某载人飞船的零部件质量 C．了解某市中学生的课外阅读时间 D．调查一批玉米种子的发芽率 2．袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（ ▲ ） A．两个球都是红球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是黑球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 3．计算：（ ▲ ） A． B． C． D． 4．若是分式方程的解，则的值是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的倍与个位数字的倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 6．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图所示的图形．若图中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ▲ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ▲ ． 8．因式分解： ▲ ． 9．比较大小： ▲ （填“”“”或“”）． 10．如图，，两点被池塘隔开，在外选择一点，连接和，分别取和中点，，测得米，则，两点间的距离是 ▲ 米． 11．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是 ▲ ． 12．某校为了了解学生参与节水宣传活动情况，随机抽取名学生进行调查，结果显示有名学生参与了活动．已知全校共有名学生，估计全校参与这项活动的学生约有 ▲ 名． 13．若是一元二次方程的一个根，则的值为 ▲ ． 14．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，，，于点，的长为 ▲ ． 15．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ▲ ． 16．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为 ▲ ． 三．解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）计算 （1）； （2）． 18．（本题满分10分）解方程 （1）． （2）． 19．（本题满分8分）某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动．学校从全校学生中随机抽取了名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图：请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的值； （2）若该校有学生人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数． 20．（本题满分8分）某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B两种生日系列花束．已知A种花束每束的价格比B种花束每束的价格少元，用元购买A种花束的数量与用元购买B种花束的数量相同．求每束A种花束的价格． 21．（本题满分8分）求证：当为整数时，能被整除． 22．（本题满分10分）如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 23．（本题满分10分）关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24．（本题满分10分）为庆祝长征胜利周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 25．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）①求的值； ②关于的不等式的解集为________； （2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； （3）如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 26．（本题满分14分）点、分别在正方形的边、上，． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若点为中点，，求的面积； （3）如图，过点作交于点，过点交于点，与相交于点，记矩形的面积为，矩形面积为，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 一．选择题 1．B． 2．C． 3．A． 4．C． 5．D． 6．A． 二．填空题 7．x≠2． 8．x（x－y）． 9．＝． 10．200． 11．1（答案不唯一，k＜2即可）． 12．1440． 13．2029． 14．． 15．a＜5且a≠3． 16． ＝8或72. 三．解答题 17．解：（1）原式 ．……………………………………………………………………………………6分 （2）原式 ＝x－3．……………………………………………………………………………………12分 18．（1）解：x（x－1）＝8x－8， 整理得：x（x－1）－8（x－1）＝0， 因式分解得：（x－8）（x－1）＝0， 则x－8＝0或x－1＝0， 解得：x1＝8，x2＝1．…………………………………………………………………………5分 （2）解：， 2（x－1）＝x（x＋1）－（x＋1）（x－1）， 2x－2＝x2＋x－x2＋1， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，（x＋1）（x－1）≠0， ∴x＝3是原分式方程的根．……………………………………………………………………10分 19．解：（1）由条形统计图可得：n＝36＋24＋32＋18＋40＝150；…………………………4分 （2）1500360（人）， 答：估计该校学生最想参加唱歌活动的人数有360人．………………………………………8分 20．解：设每束A种花束的价格是x元，则每束B种花束的价格是（x＋8）元， 根据题意得：， 解得：x＝48， 经检验，x＝48是所列方程的解，且符合题意． 答：每束A种花束的价格是48元．……………………………………………………………8分 21.（（n＋2）2－（3n＋4） ＝n2＋4n＋4－3n－4 ＝n2＋n ＝n（n＋1）， 因为n为整数， 所以n、n＋1是相邻两个连续整数， 所以两数一共是一奇一偶， 所以n（n＋1）是偶数， 所以（n＋2）2－（3n＋4）能被2整除．………………………………………………………8分 22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形；…………………………………………………………………5分 （2）解：过A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵∠ABC＝60°，∴AH2， ∵BC＝6，F是边BC的中点，∴CFBC＝3， ∴▱BFDE的面积＝CF•AH＝3×26．…………………………………………………10分 23．（1）证明：∵原方程为x2－（2k＋1）x＋k2＋k－2＝0， ∴Δ＝[－（2k＋1）]2－4×1×（k2＋k－2） ＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＋8 ＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．…………………………………………………………………5分 （2）解：由条件可知x1＋x2＝2k＋1，， ∵x1＝2x2， ∴2x2＋x2＝2k＋1， ∴， ∴， 代入得：， 整理得k2＋k－20＝0， 解得k＝4或k＝－5．………………………………………………………………………………10分 24.解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 把（30，40），（40，30）代入得：，解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝－x＋70；…………………………………………………………5分 （2）由题意得：（x－20）（－x＋70）＝525， 整理得：x2－90x＋1925＝0， 解得：x1＝35，x2＝55， ∵尽可能的让利于顾客， ∴x2＝55不符合题意，舍去， 答：该款文创产品每件的售价为35元．………………………………………………………10分 25.（1）①将A代入中，得y=6，所以A（1，6） 再代入y＝－x＋b中，得b=7…………………………………………………………………………4分 ②0<x<6或x>6 （2） 令x=0,则y=7，所以D（0,7) 因为△ABC的面积为5,CD×6－CD×1=5， 所以CD=2，所以C（0,5）或（0,9）………………8分 （3） 如图，易证△AMP≌△PNA' ∴AM=PN=1－m MP=A'N=4 ∵A'（m+4，1+m）同理B'（m－1，m－4） ∵有交点 ∴将A'，B'分别代入中， ∴m2+5m－2=0,或m2－5m－2=0, ∴或 ∵在第三象限 ∴…………………………………………………………………………12分 26． (1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA, 在Rt△ABE和Rt△ADF中,，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF ∴BC－BE=CD－DF，∴EC=FC，∴∠FEC=∠EFC=45° ∵∠EAF=45°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=67.5° ∴∠AEB=180°－67.5°－45°=67.5°………………………………………………………4分 （2） 延长FD至G，使得DG=BE，连接AG，在△ADE和△ADG中 在△ABC和△DEF中， ，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴∠BAE=∠GAD ∵∠EAF=45°，∠BAC=90°，∴∠BAE＋∠DAF=90°－45°=45° ∴∠GAD＋∠DAF=90° ∴∠GAF=45° 在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（AAS）． ∴EF=FG ∴设DF=x，FC=6－x，EF=GF=3＋x， 在Rt△EFC中，CE2＋CF2＝EF2 （6－x）2＋32＝（3＋x）2，x＝2， △AEF的面积=正方形ABCD的面积－△ABE的面积－△EFC的面积－△ADF的面积 =36－×6×3－×6×2－×4×3=36－9－6－6=15…………………8分 G F A B C D E （3）设GP=m，HP=n，AB=x 则S1=(x－m)(x－n)，S2=mn由（2）知△AEF≌△AGF， ∴EF=GF=m＋n 在Rt△EFC中，(x－m)2＋(x－n)2＝(m＋n)2， x2－2mx＋m2＋x2－2nx＋n2＝m2＋2mn＋n2， ∴x2－2mx＋x2－2nx＝2mn，x2－mx－nx＝mn ∴S1=(x－m)(x－n)=x2－mx－nx＋mn=2mn ∴=2………………………………………………………14分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $