第4章 指数与对数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 该单元卷聚焦指数与对数，通过基础运算、创新定义及文化科技情境，实现知识巩固与素养提升，适配高中第四章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数对数运算与性质（如第1题辨析运算式）|注重概念辨析，基础巩固| |多选|3/18|方程根与对数式转化（如第9题方程根关系）|考查综合判断，能力提升| |填空|3/15|实际应用（第13题《劝学》进步率计算）|融入文化传承，情境创新| |解答|5/77|综合推理与应用（如16题糖水不等式证明、19题对数性质推导及AlphaGo情境）|突出运算能力与推理意识，体现数学语言表达|

第四章 指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 4．已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，则__________. 13．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 14．已知，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）化简与计算 (1)； (2)． 16．（15分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 17．（15分）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 18．（17分）设均为正数，且. (1)试求之间的关系. (2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）. (3)比较，，的大小. 19．（17分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12.36 13.230 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】()原式=1+×9 g×4 34 +√2-1=-2+√2 2原tg3+号g,3儿e2+g2+0e2+ls0e2+es+g,3 3×1og2+(1g2+lg5)2- +1、1 -2 6 4 16.(15分) 【详解】(1)由题意可得：b>a>0,m>0时，b<b+m a_a+m_a(b+m)）-b(a+m）_ab+am-ba-bm_m(a-b) 证明如下：bb+m b(b+m) b(b+m) b(b+m)' b>a>0,m>0,∴a-b<0,b+m>0 115 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 m(a-b<0, aa+m b(b+m) …bb+m aa+m bb+m (2)由(1)知b>a>0,m>0时，bb+m,即a>a+m: 9 则og3=g3、 1g3+g2 1g2 3 1g3 1g3 1g2+1g2 ..l0g2 3>log;4 4 16 又log,4-g4 1g4+le_1，g=1oe,5 41g41lg4 1g3+g3 ∴.log,4>log45 log2 3>l0g:4>log 5 综上所述， 17.(15分) ax.=!.by-Lc2=! 【详解】(1)证明：令ar3=by3=cz3=t,则 x y Z x y z (2)解：由2.1og,4-2=0,得20g,42=0. 11 2少24 ∵y>0.log,4= ,则y=16 由Vlog:5x·log,x=-1,得 Vlog,V5x =-1 -=-log.5>0 logs 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以2og:5+)=0og.5,解得og.5=2或10g,5=1(舍去)x=5得：25 1 从而P --y=V25-16=3 所以存在P=3 18.(17分) 【详解】(1)设3=4=62=t,由x、y、z均为正数得t>1. xlog,3=ylog,4=zlog,6=1 故取以为底的对数，可得 1 1 1 og,3,=d x= 2= log,4,21og,6. 11-1log,6-1og,3=log,2=2log,4= Z x 2y, 11.1 .x、少、2之间的关系为zx2y. 2x2 (2)py10g,3 log,4=2·log,4=1og316 由9<16<27，符oe,9<1oe,16<1og,27 2<p<3 从而 而p-2=bg,6-bg,9=g.5-p=g,27-lbg,16=bg7名 27 16.27256. 1627 由g*6249>1知9>16， 16 27 .p-2-log,>log,16=3-p. 从而所求正整数为3. ..3x-4y =3log,(-4log,(=3lgl_4lgt (3) Ig3 1g4 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -得gge- 1g3.1g4 而g>0,lg3>0,lg4>0.lg4<1g3.3x<4y 又-4y-6:=22g,1-3g,)=220-3g%=2E2g6-3g9_2g0g6-1g4 1g41g61 1g4.1g6 1g4.1g6, 而8>0.lg4>0,g6>0,lg6<4.4y<6e 故有3x<4y<6z 19.(17分) 【详解】(1)如果a>0,且a≠1，M>0, 那么a“=(a%"=M og,M"=nlog.M(n∈R) 化为对数式得 (2)设2019200=1，所以l1gt=2020lg2019, 因为lg2019≈3.305，所以lgt=20201g2019≈6676.1， 所以/*101e0%,107） 所以20192020的位数为6677： M3361 (3)根据题意得，N=10, 3361 所以g从=g0=g301-g10”=361g3-80≈92.24 所以N≈102∈(102,10). M 因为18(2x3)=lg2+361lg3≈172.54<173=1g10 所以2×3361<1073<1073+1053， 415 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2×3361 所以10<10+10， M 所以甲同学的近似值更接近N· 515 第四章 指数与对数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 2．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 3．已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分析可知，利用对数的运算可得出，化简得出，即可求出的值. 【详解】因为实数、满足，则，可得， 由可得，所以， 即，等式两边同时除以可得， 解得（舍去）或. 故选：D. 4．已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 5．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 6．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简得出，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，， 令，则， 则， 因为，所以，即，等号成立时， 则，， 则的最大值为，故的最大值是. 故选：B 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 8．已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】举出反例得到①②③错误，对于④，对的正负分类讨论，结合基本不等式可得④正确. 【详解】对于①，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于②，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于③，若，则， 故不成立，错误； 对于④，显然，若均为非正数，显然， 满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，，满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，， 则 ，故， 若，则，， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，综上，，④正确. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 10．已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 11．已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，， ，，   13．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 【答案】230 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的100倍， 则，即， ． 14．已知，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】根据题目条件使用基本不等式求出的最小值. 【详解】， 由基本不等式得：， 又，故， 所以。 当且仅当时取等． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）化简与计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 16．（15分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可． （2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小. 【详解】（1）由题意可得：，时，． 证明如下：， ，，，， ，． （2）由（1）知，时，，即； 则， ， 又 综上所述，. 17．（15分）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【分析】（1）根据条件直接从左向右证明可得； （2）根据条件分别解得和，进而可得所求结果. 【详解】（1）证明：令，则. ，. . （2）解：由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 18．（17分）设均为正数，且. (1)试求之间的关系. (2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）. (3)比较，，的大小. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）令，利用指对数互化求出、、，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值； （2）由换底公式求出，由对数函数的性质判断的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简与这2个整数的差，即可得到答案； （3）由（1）得、、，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系． 【详解】（1）设，由、、均为正数得. 故取以为底的对数，可得. ∴，，. ， ∴、、之间的关系为. （2）. 由，得，从而. 而，. 由知， ∴. 从而所求正整数为3. （3）∵ . 而，，，，∴. 又∵， 而，，，，∴. 故有. 19．（17分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【分析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【详解】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $