专题02 对数五大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数五大常考题型，以题串联概念互化、运算性质、换底应用、实际建模及创新理解，形成从基础到应用的逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数式与对数式互化|10题（选择/填空/解答）|考查互化规则及简单应用|对数概念生成基础，连接指数与对数关系| |对数运算性质应用|13题（化简/求值/最值）|综合性质化简与条件求值|基于互化规则，延伸运算技能，培养推理能力| |换底公式应用|11题（转换/证明/最值）|不同底数对数转换与证明|运算性质拓展，解决跨底数问题，提升数学思维| |实际问题|12题（冷却/增长/浓度模型）|建立对数模型解决现实问题|体现应用意识，用数学语言表达现实世界| |阅读理解问题|8题（新定义/复杂情境）|结合新信息考查知识迁移|培养抽象能力与创新意识，深化数学眼光|

专题02 对数五大常考题型 题型一 指数式与对数式的互化及应用 题型二 对数运算性质的综合应用 题型三 运用换底公式化简与求值 题型四 利用对数解决实际问题 题型五 对数中的阅读理解问题 题型一：指数式与对数式的互化及应用 1．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 6．（多选）已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 7．若，则_______． 8．已知，则__________. 9．把下列指数式化为对数式，把对数式化为指数式（且）： （1）；      （2）；    （3）；     （4）. 10．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型二：对数运算性质的综合应用 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（多选）若，则的值可以为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（多选）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设且，记中较大的数为，则的最小值为______． 9．化简：． 10．计算下列式子 (1) (2) 11．化简求值： (1) (2)． 12．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 13．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：运用换底公式化简与求值 1．若，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，且，则的值为___________. 8．若，则_____． 9．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 10．（1）； （2）已知，用表示. 11．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 题型四：利用对数解决实际问题 1．在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 2．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 3．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．7 D．6 4．目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（    ） A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟 5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．根据国际标准，室内二氧化碳浓度不超过1000ppm时，室内空气质量为良好，人体健康不受影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2500ppm，开窗通风6分钟后的二氧化碳浓度降为1500ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则再需要开窗通风的时长至少为（    ） （参考数据：，） A．2分钟 B．4分钟 C．6分钟 D．8分钟 7．某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（） A．5 B．6 C．7 D．8 8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 10．（多选）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（   ） A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D．记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 11．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 12．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 题型五：对数中的阅读理解问题 1.我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 2.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 3.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 4．（多选）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 5．一个正整数可以表示成的形式，其中，为非负整数，则的位数为.运用上述方法，可得的位数为__________ 6．19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 7.某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． (1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； (2)已知径流量，证明：． 8．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断的位数．（注：） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对数五大常考题型 题型一 指数式与对数式的互化及应用 题型二 对数运算性质的综合应用 题型三 运用换底公式化简与求值 题型四 利用对数解决实际问题 题型五 对数中的阅读理解问题 题型一：指数式与对数式的互化及应用 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】BD 6．【答案】BC 7．【答案】15 8．【答案】36 9．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 10．【答案】（1）27；（2）；（3）；（4） 题型二：对数运算性质的综合应用 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】BCD 7．【答案】BD 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1)(2)640 11．【答案】(1)4(2)8 12．【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 13．【答案】(1)(2)(3)1(4) 题型三：运用换底公式化简与求值 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】ACD 6．【答案】BC 7．【答案】18 8．【答案】0 9．【答案】(1)①；②(2) 10．【答案】（1）4；（2） 11．【答案】（1）；（2）；（3）. 题型四：利用对数解决实际问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 11．【答案】230 12．【答案】(1)(2)72.9%(3) 题型五：对数中的阅读理解问题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A 4．【答案】AC 5．【答案】66 6．【答案】507 7.【答案】(1)63； (2)当时，， 而， 又 ， 所以，即原等式成立. 8．【答案】(1)(2)(3)610． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对数五大常考题型 题型一 指数式与对数式的互化及应用 题型二 对数运算性质的综合应用 题型三 运用换底公式化简与求值 题型四 利用对数解决实际问题 题型五 对数中的阅读理解问题 题型一：指数式与对数式的互化及应用 1．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式与指数的互化可得出的值. 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 4．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 5．（多选）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算及指数与对数的转化判断各选项即可. 【详解】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 6．（多选）已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和. 【详解】由得到， 则，即， 整理得， 解得或， 当时，，则 当时，，则. 故选：BC. 7．若，则_______． 【答案】15 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 8．已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，， ，，   9．把下列指数式化为对数式，把对数式化为指数式（且）： （1）；      （2）；    （3）；     （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】直接利用指数式与对数式的互化 ，写出结果即可． 【详解】（1），则化为对数式为. （2）, 则化为对数式为. （3），则化为指数式为. （4），则化为指数式为. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题. 10．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）27；（2）；（3）；（4） 【解析】将对数式化为指数式,结合指数幂的运算即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型二：对数运算性质的综合应用 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 2．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 4．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 5．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 由得， 因为实数，为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 此时的最小值为6. 6．（多选）若，则的值可以为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BCD 【分析】先根据对数运算进行化简，然后根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以. 所以，由基本不等式得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以的值可以是. 故选：BCD. 7．（多选）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 8．设且，记中较大的数为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】应用对数的运算性质得，，由题意有并应用对数运算、基本不等式求最小值. 【详解】，， ， 故，当且仅当时等号成立. 故答案为： 9．化简：． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】原式． 故答案为：. 10．计算下列式子 (1) (2) 【答案】(1) (2)640 【分析】（1）利用对数运算的运算法则、对数恒等式化简求解可得； （2）以“5”为底与以“2”为底分两组分别进行同底数幂运算化简，然后再利用指数、对数运算性质及对数恒等式求值可得. 【详解】（1） ． （2）由，， 且，， 则 . 11．化简求值： (1) (2)． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 12．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用对数的运算性质，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 13．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型三：运用换底公式化简与求值 1．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意 根据指数式与对数式的转化可得 由换底公式可得 由对数运算化简可得 故选:A 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解. 【详解】因为，所以，即，所以．因为，则，所以，， ， 则，， 当且仅当时，等号均成立． 故选：D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算. 【详解】由换底公式得：，，其中，，故 故选：C 4．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由换底公式和基本不等式即可求解. 【详解】由知, 结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，， 即时等号成立， 即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 5．（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可. 【详解】设，则，，， 因为，故选项A正确． 因为，，所以，即，故选项B不正确． 因为，故选项C正确． 因为，故选项D正确． 故选：ACD. 6．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A：使用换底公式化简可判断a的范围；对B：使用换底公式化简证明；对C：根据基本不等式证明；对D：根据函数在上的单调性判断. 【详解】选项A：，故A错误． 选项B：，故B正确． 选项C：，（，，所以，所以不能取等号）,故C正确． 选项D：易知函数在上单调递增，所以，故D错误． 故选：BC 7．已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 8．若，则_____． 【答案】0 【分析】首先进行指对互化，再由换底公式得出、、的值，代入求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 所以. 故答案为：. 9．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 10．（1）； （2）已知，用表示. 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据对数恒等式，对数的换底公式的推论及对数运算法则化简求值； （2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示. 【详解】（1） ； （2）因为，故， 故. 11．（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. 题型四：利用对数解决实际问题 1．在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . 2．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 【答案】C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 3．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值. 【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加， 那么经过年后，猪血木的数列为， 该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年， 所以可列出不等式， 即，两边同时取对数，则， 因为， 所以，即， 又，所以. 故选：A. 4．目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（    ） A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟 【答案】C 【分析】根据题意得，利用指对转换解不等式即可. 【详解】设充电时间为分钟，所以，即， 同时取自然对数，因此最少需要约32分钟， 故选：C 5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，利用对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，， 由，可得， 所以. 故选：. 6．根据国际标准，室内二氧化碳浓度不超过1000ppm时，室内空气质量为良好，人体健康不受影响．已知某室内二氧化碳浓度y（ppm）与开窗通风的时长t（分钟）之间的关系式为．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2500ppm，开窗通风6分钟后的二氧化碳浓度降为1500ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则再需要开窗通风的时长至少为（    ） （参考数据：，） A．2分钟 B．4分钟 C．6分钟 D．8分钟 【答案】C 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，解得，，即， 由，得，解得， 则，， 所以再需要开窗通风的时长至少为6分钟. 故选：C 7．某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依题意列出不等式，再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设过滤次后杂质含量为， 初始杂质含量为，每次过滤后杂质含量变为过滤前的， ，要求， 列不等式：变形得： 两边取对数： ， ， 代入不等式：，化简得：为整数，故. 故选：B 8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案. 【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，， 两式相减得，解得. 故选：D 9．（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确. 故选：ACD． 10．（多选）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（   ） A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D．记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 【答案】ABD 【分析】由地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系可得答案. 【详解】A因地震释放的能量为，则，故A正确； B八级地震释放的能量满足， 七级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍，故B正确； C六级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为六级地震释放能量的倍，故C错误； D.，则，则，故D正确. 故选：ABD 11．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 【答案】230 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的100倍， 则，即， ． 12．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1) (2)72.9% (3) 【分析】（1）根据条件可计算即得的值； （2）结合（1）可得的值，进而得出答案； （3）令，根据指数运算性质求出的值； 【详解】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 题型五：对数中的阅读理解问题 1.我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 【答案】D 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】∵， ∴，∴是31位数. 故选：D. 2.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：C． 3.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指对数的关系及指数的运算性质求值即可. 【详解】由题意：，根据题设及指对数关系有， 所以，所以. 故选：A 4．（多选）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（    ） （参考数据：） A．的个位数是3 B．的个位数是1 C．是173位数 D．是172位数 【答案】AC 【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD. 【详解】对于AB,由， 个位数分别为以4为周期循环往复， 因为的余数为1， 故的个位数与的个位数相同， 即的个位数为3，故A正确，B错误； 对于CD，因为， 所以， 因为， 所以为173位数，故C正确，D错误. 故选：AC. 5．一个正整数可以表示成的形式，其中，为非负整数，则的位数为.运用上述方法，可得的位数为__________ 【答案】66 【分析】设 ，根据对数的运算可得 ，再由位数的定义可得结果. 【详解】设 ，又， 则 ， 所以， 则其位数为，即为66位数. 故答案为：66. 6．19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 【答案】507 【分析】根据对数的运算性质及裂项相消法求解即可. 【详解】， ， 所以，解得. 7.某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量． (1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值； (2)已知径流量，证明：． 【答案】(1)63； (2) 当时，， 而， 又 ， 所以，即原等式成立. 【分析】（1）根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系求出值. （2）利用对数运算法则推理论证即得. 【详解】（1）当时，，扩大，即， 因此，即， 则，所以. （2）略 8．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断的位数．（注：） 【答案】(1) (2) (3)610． 【分析】指数式与对数式的互化运用换底公式化简对数运算性质的应用 （1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数式与指数式的互化可得 ，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果． 【详解】（1）原式． （2）令，则，所以， 所以． （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $