专题01 指数（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-公式应用”为逻辑主线，系统整合根式与指数幂的6类核心题型，通过“典例+变式”提炼可迁移的解题方法，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根式的含义|1典例+3变式|根式定义、性质及符号法则|从n次方根概念到根式性质，建立数与式的抽象表达| |根式化简求值|1典例+3变式|根式乘除、乘方运算法则|性质应用到化简，培养代数变形推理意识| |分数指数幂与根式互化|1典例+3变式|分数指数幂定义及运算性质|实现根式与指数幂的转化，构建统一运算体系| |指数幂化简求值|1典例+3变式|整体代换、负指数转化技巧|综合运算性质，提升复杂式化简能力| |完全平方公式应用|1典例+3变式|配方与整体设元法|代数公式与指数运算结合，强化逻辑推理| |立方和/差公式应用|1典例+2变式|公式因式分解与方程思想|高阶公式应用，培养数学思维的严谨性|

专题01 指数 （题型突破·举一反三） 题型01 根式的含义 1 题型02 根式的化简求值 2 题型03 分数指数幂与根式的互化 3 题型04 指数幂的化简求值 4 题型05 指数运算中完全平方公式的应用 5 题型06 指数运算中立方和/立方差公式的应用 6 ▌题型01 根式的含义 1． n次方根 如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示； 2．根式 式子叫做根式，这里叫做 ，叫做 ．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． 3．根式的性质 ；当为奇数时，；当为偶数时， 【典例1】（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 【变式1-1】（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式1-2】（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ ▌题型02 根式的化简求值 1. 根式乘除 ； 2．根式乘方 【典例2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（22-23高一上·江苏徐州·阶段检测）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】化简（   ） A． B． C． D． ▌题型03 分数指数幂与根式的互化 1． 正数的正分数指数幂 且．0的正分数指数幂等于0． 2．正数的负分数指数幂 且．0的负分数指数幂没有意义 3．分数指数幂的运算性质 ②③ 【典例3】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 【变式3-1】 （25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． ▌题型04 指数幂的化简求值 指数幂化简求值的方法技巧 1.混合运算统一化为分数指数幂，再利用五条运算性质合并. 2.多重括号从内向外逐层化简，负指数全部转化为分式. 3.已知整体值，采用整体代换求值，不单独求. 【典例4】（多选）（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【变式4-3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） ▌题型05 指数运算中完全平方公式的应用 方法技巧 1.已知，直接平方求. 2.已知，反向配方求，开方注意符号判断. 3.多步求值先整体设元，简化式子结构. 【典例5】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____. 【变式5-3】若 ，求下列各式的值：(1)； (2) ▌题型06 指数运算中立方和/立方差公式的应用 1. 立方和公式 2. 立方差公式 【典例6】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 【变式6-1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知，计算：__________. 【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数 （题型突破·举一反三） ▌题型01 根式的含义 【典例1】 【答案】C 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 【变式1-1】 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 【变式1-2】 【答案】D 【详解】指数6是偶数，故当时，． 【变式1-3】 【答案】4 【详解】． ▌题型02 根式的化简求值 【典例2】 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 【变式2-1】 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 【变式2-2】 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 【变式2-3】 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． ▌题型03 分数指数幂与根式的互化 【典例3】 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 【变式3-1】 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 【变式3-2】 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式分析判断即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 【变式3-3】 【答案】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. ▌题型04 指数幂的化简求值 【典例4】 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 【变式4-1】 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 【变式4-2】 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 【变式4-3】 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． ▌题型05 指数运算中完全平方公式的应用 【典例5】 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【变式5-1】 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 【变式5-2】 【答案】2 【分析】利用完全平方公式及指数运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. 【变式5-3】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. ▌题型06 指数运算中立方和/立方差公式的应用 【典例6】 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 【变式6-1】 【答案】/2.5 【分析】平方得到，再运用完全平方公式、立方差公式变形代入即可. 【详解】平方得，即， . 【变式6-2】 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数 （题型突破·举一反三） 题型01 根式的含义 1 题型02 根式的化简求值 2 题型03 分数指数幂与根式的互化 4 题型04 指数幂的化简求值 5 题型05 指数运算中完全平方公式的应用 7 题型06 指数运算中立方和/立方差公式的应用 9 ▌题型01 根式的含义 1． n次方根 如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示； 2．根式 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． 3．根式的性质 ；当为奇数时，；当为偶数时， 【典例1】（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 【变式1-1】（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 【变式1-2】（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数6是偶数，故当时，． 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． ▌题型02 根式的化简求值 1. 根式乘除 ； 2．根式乘方 【典例2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 【变式2-2】（22-23高一上·江苏徐州·阶段检测）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 【变式2-3】化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． ▌题型03 分数指数幂与根式的互化 1． 正数的正分数指数幂 且．0的正分数指数幂等于0． 2．正数的负分数指数幂 且．0的负分数指数幂没有意义 3．分数指数幂的运算性质 ②③ 【典例3】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 【变式3-1】 （25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式分析判断即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 【变式3-3】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. ▌题型04 指数幂的化简求值 指数幂化简求值的方法技巧 1.混合运算统一化为分数指数幂，再利用五条运算性质合并. 2.多重括号从内向外逐层化简，负指数全部转化为分式. 3.已知整体值，采用整体代换求值，不单独求. 【典例4】（多选）（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 【变式4-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 【变式4-3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． ▌题型05 指数运算中完全平方公式的应用 方法技巧 1.已知，直接平方求. 2.已知，反向配方求，开方注意符号判断. 3.多步求值先整体设元，简化式子结构. 【典例5】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____. 【答案】2 【分析】利用完全平方公式及指数运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. 【变式5-3】若 ，求下列各式的值：(1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. ▌题型06 指数运算中立方和/立方差公式的应用 1. 立方和公式 2. 立方差公式 【典例6】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 【变式6-1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知，计算：__________. 【答案】/2.5 【分析】平方得到，再运用完全平方公式、立方差公式变形代入即可. 【详解】平方得，即， . 【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $