27.3 实际问题与反比例函数 第2课时教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的实际应用，通过风扇转速、台灯亮度等生活实例导入，承接一次函数、二次函数实际应用基础，搭建“抽象函数—物理生活模型”学习支架，巩固图象与性质，落实建模核心技能。 资料亮点在于跨学科融合物理功、电路功率等素材，分层设计情境建模到综合拓展的探究流程，特色作业“纯电出行创编”培养数学眼光与应用意识。通过数形结合分析行程问题等实例，提升学生推理能力与模型观念，为教师提供系统教学资源，助力高效课堂。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第2课时  一、教材分析 本节课是人教版九年级上册第二十七章反比例函数实际应用课时，承接反比例函数定义、图象与性质的基础理论，是函数知识落地现实场景的核心载体. 此前学生已学习一次函数、二次函数实际应用，本节打通“抽象函数—物理生活模型”的桥梁，既是对反比例函数图象、增减性的巩固深化，也是汇总梳理数形结合、数学建模的通用解题范式，为后续各类函数综合应用题夯实方法基础. 同时融合物理功、电路功率、行程、光学镜片度数跨学科素材，体现数学工具性，在整个函数单元起到承上启下、理论联系实际的关键作用. 教材先以力做功物理模型引入，依托W=Fs建立s与F反比例关系，结合图象讲解定值下反比例函数的增减性应用；再以客车行程问题进阶，限定自变量取值范围，求解因变量取值区间；最后配套光学、电学两道随堂练习，由浅入深分层设计：从直接求定值、写解析式，到利用增减性求解变量范围，遵循“情境建模—图象分析—性质运用—综合拓展”逻辑，层层递进落实“建立反比例函数模型解决实际问题”核心技能，完成从纯函数理论到现实问题解决的转化.   二、教学目标 1.掌握实际问题中反比例函数建模方法，能根据图象、现实公式求函数解析式，会代入数值完成基础计算. 2.结合反比例函数增减性与因变量实际取值限制，逆向推导自变量的取值区间，规范书写解题逻辑. 3.经历“生活情境—提取变量—建立模型—图象分析—解决问题”的完整流程，强化数形结合数学思想. 4.感受反比例函数在物理、光学、生活中的广泛应用，体会数学工具价值，培养主动用数学解决现实问题的意识.   三、教学重难点 重点：掌握实际问题中反比例函数建模方法，能根据图象、现实公式求函数解析式，会代入数值完成基础计算. 难点：结合反比例函数增减性，结合因变量实际取值限制，逆向推导自变量的取值区间，规范书写解题逻辑.   四、教学过程 · 情境导入 生活里有很多熟悉场景：风扇转速、台灯亮度、收音机音量均可调节，踩充气气球会使其炸裂. 大家想一想：这些现象中藏着怎样的变量变化规律？ 调节电器时，电压保持恒定，电阻与功率反向变化；挤压气球时，气体质量一定，温度不变时，气体体积与压强此消彼长，二者乘积为定值.这正是我们学习的反比例关系：总量固定，两个变量反向变化. 本节课我们将结合生活、物理实例，借助反比例函数的图象与性质搭建数学模型，解决这类真实情境中的实际问题. 师生活动：教师展示生活实例与踩气球图片提问，学生交流风扇、气球等场景变量变化规律；师生共同提炼电压、气体总量不变时两变量反向变化特征，引出反比例函数应用课题. 设计意图：依托生活化物理情境，唤醒学生反比例旧知，建立数理联系，激发探究实际应用的兴趣. · 探究新知 活动一：探究反比例函数在做功问题中的应用 问题1：在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 师生活动：教师出示做功物理情境与函数图象，引导学生读取图象坐标；学生独立完成三道计算题，上台讲解取值范围推理过程；师生对照图象分析增减性，共同归纳由图象求反比例函数解析式的四步解题流程. 解：(1)由图可知，当力F为10 N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). (2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系. 由(1)可知其解析式为s=. (3)将s=100代入s=，可得F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m，力F要大于5 N. 思路梳理：很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观，需数形结合，通过图象直观解读实际问题的变化规律. 总结： 设计意图：融合物理做功实例，巩固反比例函数图象应用，渗透数形结合思想，提炼标准化解题步骤，提升学生解决实际应用题的能力. 活动二：探究反比例函数在行程问题中的应用 问题2：一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位：km/h)与行驶全程所用时间t(单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 师生活动：教师出示行程问题与图象，引导学生结合路程公式思考；学生自主求解析式、换算行驶时间，小组交流取值范围推导逻辑；师生借助函数增减性互化变量范围，共同整理反比例实际应用题四步解题流程. 分析：基本公式：平均速度=路程÷行驶全程所用时间 思考：怎样确定t的取值范围？ 答：根据函数值取值范围确定自变量取值范围，由60≤v≤120，结合函数图象的增减性质确定. 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图可知， 当t=2时，v=120，于是有v=. ① 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间为t=2h，代入①，可得v=90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间为t=3 h，代入①，可得v=80(km/h).因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 总结：利用反比例函数图象解决实际问题的解题步骤： 1.看图找点：读取图象关键点坐标，确定变量取值范围； 2.求解析式：代入点坐标，用待定系数法确定反比例函数关系式； 3.互化范围：利用反比例函数增减性，完成两个变量取值范围的转化； 4.实际检验：结合生活场景验证结果是否符合现实意义. 设计意图：结合出行行程实例，训练图象读图、范围转化能力，深化数形结合思想，归纳通用解题步骤，规范解决反比例实际问题的思路. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示潜水、课堂注意力两道例题，引导学生思考纯反比例、一次与反比例分段模型；学生独立列式求解，互相交流增减性判断范围、分段函数分界点处理方法，师生总结两类实际问题解题关键. 例1 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短. 经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t(分钟)是潜水深度h(米)的反比例函数，其部分图象如图所示. (1)当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； (2)为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 解：(1)设t关于h的函数解析式为t=， 将点(10，60)代入t=，得60=，解得k=600，∴t= 将h=30代入t= ，得t==20 ∴当潜水深度为30米时，气瓶可用时间为20分钟. (2)将t=15代入t=，得15=，得h=40； 将t=40代入t= ，得40=，得h=15. ∵t随h的增大而减小， ∴潜水深度应控制在15≤h≤40的范围内. 例2 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x(分钟)的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内y是x的一次函数；10分钟以后y与x成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 解：(1)设前10分钟内y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)， 将(0，30)和(2，40)代入解析式， 得 ， 解得 ， ∴前10分钟内y与x的函数关系式为y=5x+30， ∵5>0，∴y随着x的增大而增大， ∵当x=10时，y=5×10+30=80， ∴上课10分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是80； (2)由(1)可得前10分钟内的函数解析式为y=5x+30， 当y=50时，5x+30=50，解得x=4， 设10分钟后y与x的函数关系式为y=(m≠0)，将(10，80)代入解析式得80=， 解得m=800，∴10分钟后y与x的函数关系式为y=， 当y=50时，=50，解得x=16， ∴注意力指数不低于50的持续时间为164=12(分钟)， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为12分钟． 设计意图：结合户外、课堂真实情境，分层巩固反比例应用，拓展分段函数综合题型，强化数形结合，提升学生分类建模、转化取值范围的解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.近视眼镜镜片的度数y(单位：度)是关于镜片焦距x(单位：m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 解： (1) 设 y 关于 x 的函数解析式为y = (k≠0). 由图象知，点(0.25，400)在函数图象上. 将(0.25，400)代入，得 400，解得 k=100. 因此，近视眼镜镜片的度数 y 关于镜片焦距 x 的函数解析式为 y=(x>0). (2)将y=500代入y=中，得： 500=，解得：x=0.2. 答：若某近视眼镜的镜片为500度，则其焦距为0.2 m. 2.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节.某用电器内置可变电阻R的范围为110～220Ω，电压U为220 V.已知功率P=，回答下列问题： (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？ (2)这个用电器的功率P的范围是多少？ 解：(1)∵功率P=，电压U为220 V， ∴P=，即功率P是电阻R的反比例函数. (2) 由 P 可知，当 R>0 时，P 随 R 的增大而减小. 因为 110≤R≤220，所以当 R=110 Ω 时，P最大 440(W)； 当R=220 Ω 时，P最小220(W). 故功率 P 的范围是 220 W≤P≤440 W. 师生活动：教师出示眼镜、调电器两道教材习题，学生自主读题看图列式求解；同桌互查反比例解析式求解、取值范围推导过程，教师巡视纠错，师生结合物理公式梳理利用反比例增减性确定变量范围的方法. 设计意图：紧扣课本习题，结合光学、电学生活场景巩固新知，检验学生建模、读图、范围推算能力，落实本节课数形结合解决实际问题的核心方法. 【限时训练】 1.一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与满足关系式，它的图象如图所示，则该气体的质量为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  2.已知某品牌量子器的使用寿命为定值，这种量子器可工作的天数与平均每天工作的小时数满足反比例函数关系，图象如图所示．如果这种量子器至少要用天，那么量子器平均每天工作的小时数应控制在  (     ) A. B. C. D. 【答案】A  3.经统计，某段高架桥上车辆的行驶速度随高架桥上每百米车的数量辆的变化而变化，其关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，要使车速不低于，则高架桥上每百米车的数量的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  4.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是(    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】C  【解析】解：设反比例函数关系式为：， 将代入得， ， 将代入，解得； 水温从降到所用的时间是分钟， 故选C． 5.某辆汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示． 这辆汽车的功率是多少？写出汽车行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数解析式． 当它所受的牵引力为时，汽车的速度为多少？ 如果汽车的速度不超过，那么牵引力应在什么范围内？ 【答案】(1)由题意，可设v与F之间的函数解析式为．将（3000，20）代入，得，解得 P＝60000．∴这辆汽车的功率是60000 W，汽车行驶时的速度v与它所受的牵引力F之间的函数解析式为  (2)将F＝1200代入，得．∴汽车的速度为50 m/s  (3)将v＝30代入，得，解得 F＝2000．∵v≤30，∴F≥2000，即牵引力应不小于2000 N   师生活动：教师出示气体、交通、机械等综合练习题，学生独立完成选择与解答题；小组交流图象读取、增减性判断范围的方法，教师针对分段、物理综合题型点拨，全班订正错题，梳理同类题通用解题思路. 设计意图：融合多学科生活情境综合训练，分层巩固反比例函数建模、数形转化知识，查漏补缺，提升学生灵活解决复杂实际应用题的综合能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.利用反比例函数解决实际问题时的解题步骤是什么？ 3.在利用反比例函数解决实际问题时有哪些注意事项？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：纯电出行中的反比例应用创编 任务：周末爸爸驾驶纯电SUV带家人短途出游，全程不走高速公路，出发前在家充满电，途中不再补电。受道路限速与车辆能耗影响，全程平均车速需满足：30km/h≤平均车速≤80 km/h.经实测：车辆以60km/h匀速行驶时，满电状态可连续行驶6小时(忽略天气、路况等其他干扰因素). 请基于上述真实情境，自主设计2~3个数学问题并完整解答： 可参考方向(鼓励创新)：①求续航时间的取值范围；②给定车速，求满电可行驶时长；③若要按时抵达目的地，车速至少为多少；④对比两种不同车速对应的可行驶时间…… 探究：1.函数关系分析：该情境中，行驶速度与行驶时间存在怎样的函数关系？为什么？请写出你的分析思路. 2.范围与增减性：如何求续航时间范围？这和反比例函数的增减性有什么联系？如果忽略车速的上限或下限，会得到哪些不符合现实的结论？请举例说明. 3.学习反思：通过解决这个纯电出行问题，你觉得用反比例函数解决实际问题时，最需要注意哪些方面？请结合你曾经做错的题目说说体会. 学科网（北京）股份有限公司 $