27.3 实际问题与反比例函数 第2课时教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章 反比例函数

27.3 实际问题与反比例函数

第2课时

本节课是人教版九年级上册第二十七章反比例函数实际应用课时，承接反比例函数定义、图象与性质的基础理论，是函数知识落地现实场景的核心载体. 此前学生已学习一次函数、二次函数实际应用，本节打通“抽象函数—物理生活模型”的桥梁，既是对反比例函数图象、增减性的巩固深化，也是汇总梳理数形结合、数学建模的通用解题范式，为后续各类函数综合应用题夯实方法基础. 同时融合物理功、电路功率、行程、光学镜片度数跨学科素材，体现数学工具性，在整个函数单元起到承上启下、理论联系实际的关键作用.

教材先以力做功物理模型引入，依托W=Fs建立s与F反比例关系，结合图象讲解定值下反比例函数的增减性应用；再以客车行程问题进阶，限定自变量取值范围，求解因变量取值区间；最后配套光学、电学两道随堂练习，由浅入深分层设计：从直接求定值、写解析式，到利用增减性求解变量范围，遵循“情境建模—图象分析—性质运用—综合拓展”逻辑，层层递进落实“建立反比例函数模型解决实际问题”核心技能，完成从纯函数理论到现实问题解决的转化.

1.掌握实际问题中反比例函数建模方法，能根据图象、现实公式求函数解析式，会代入数值完成基础计算.

2.结合反比例函数增减性与因变量实际取值限制，逆向推导自变量的取值区间，规范书写解题逻辑.

3.经历“生活情境—提取变量—建立模型—图象分析—解决问题”的完整流程，强化数形结合数学思想.

4.感受反比例函数在物理、光学、生活中的广泛应用，体会数学工具价值，培养主动用数学解决现实问题的意识.

重点：掌握实际问题中反比例函数建模方法，能根据图象、现实公式求函数解析式，会代入数值完成基础计算.

难点：结合反比例函数增减性，结合因变量实际取值限制，逆向推导自变量的取值区间，规范书写解题逻辑.

         情境导入

生活里有很多熟悉场景：风扇转速、台灯亮度、收音机音量均可调节，踩充气气球会使其炸裂. 大家想一想：这些现象中藏着怎样的变量变化规律？

调节电器时，电压保持恒定，电阻与功率反向变化；挤压气球时，气体质量一定，温度不变时，气体体积与压强此消彼长，二者乘积为定值.这正是我们学习的反比例关系：总量固定，两个变量反向变化.

本节课我们将结合生活、物理实例，借助反比例函数的图象与性质搭建数学模型，解决这类真实情境中的实际问题.

师生活动：教师展示生活实例与踩气球图片提问，学生交流风扇、气球等场景变量变化规律；师生共同提炼电压、气体总量不变时两变量反向变化特征，引出反比例函数应用课题.

设计意图：依托生活化物理情境，唤醒学生反比例旧知，建立数理联系，激发探究实际应用的兴趣.

         探究新知

活动一：探究反比例函数在做功问题中的应用

问题1：在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示.

(1)当力F为10 N时，求F所做的功W；

(2)写出s关于F的函数解析式；

(3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围.

师生活动：教师出示做功物理情境与函数图象，引导学生读取图象坐标；学生独立完成三道计算题，上台讲解取值范围推理过程；师生对照图象分析增减性，共同归纳由图象求反比例函数解析式的四步解题流程.

解：(1)由图可知，当力F为10 N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J).

(2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.

由(1)可知其解析式为s=.

(3)将s=100代入s=，可得F=5(N). 

因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m，力F要大于5 N. 

思路梳理：很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观，需数形结合，通过图象直观解读实际问题的变化规律.

总结：

设计意图：融合物理做功实例，巩固反比例函数图象应用，渗透数形结合思想，提炼标准化解题步骤，提升学生解决实际应用题的能力.

活动二：探究反比例函数在行程问题中的应用

问题2：一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位：km/h)与行驶全程所用时间t(单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.

(1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；

(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围.

师生活动：教师出示行程问题与图象，引导学生结合路程公式思考；学生自主求解析式、换算行驶时间，小组交流取值范围推导逻辑；师生借助函数增减性互化变量范围，共同整理反比例实际应用题四步解题流程.

分析：基本公式：平均速度=路程÷行驶全程所用时间

思考：怎样确定t的取值范围？

答：根据函数值取值范围确定自变量取值范围，由60≤v≤120，结合函数图象的增减性质确定.

解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图可知，

当t=2时，v=120，于是有v=.   ①