27.3实际问题与反比例函数（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与反比例函数的应用，核心是结合反比例函数图象与性质解决实际问题，包括求解析式及变量取值范围。通过复习回顾上节课解题步骤与函数性质，搭建学习支架，衔接前后知识，为新课探究做铺垫。 资料特色在于以跨学科问题情境（如物理功与位移、行程问题）驱动教学，引导学生经历“观察图象→求解析式→转化范围”过程，发展几何直观与模型意识。通过师生互动分析图象关键点、利用增减性转化变量范围，落实数学思维与表达，助力学生提升应用能力，为教师提供可操作的数形结合教学范例。

27.3 实际问题与反比例函数（第2课时）教学设计 一、课标要求 能结合反比例函数的图象与性质，从实际问题中获取信息并建立反比例函数模型，利用图象和函数解析式求解变量的取值范围，体会数形结合思想在解决实际问题中的作用。 二、教学目标 1. 会结合反比例函数的图象与性质，求解实际问题中变量的取值范围； 1. 进一步熟练用反比例函数解决实际问题的一般步骤，能准确根据实际意义确定自变量的取值范围； 1. 经历“观察图象→求解析式→利用增减性求范围”的过程，发展数形结合思想。 三、教学重点 结合反比例函数的图象与性质，利用待定系数法求函数解析式，并根据增减性求解变量范围。 四、教学难点 从图象中获取关键信息，将一个变量的取值范围转化为另一个变量的取值范围。 五、教学过程 （一）复习回顾 【师生活动】 教师提问，学生口答： 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 答：审（审清题意）→ 建（建立反比例函数解析式）→ 定（确定自变量取值范围）→ 解（代入求值或结合性质求解）→ 验答（检验并规范作答）。 1. 反比例函数 （）的图象和性质是什么？ 答：图象是双曲线，两个分支分别在第一、三象限；在第一象限内（）， 随 的增大而减小。 【设计意图】 回顾上节课的解题步骤和反比例函数的性质，为本节课“结合图象解决问题”做好铺垫。 （二）探究新知——例3：力、位移与功的问题 【问题情境】 在力 （单位：）的作用下，若物体会在力 的方向上发生位移 （单位：），则力 所做的功 （单位：）满足 。当 为定值时， 与 之间的函数关系如图所示。 （1）当力 为 时，求 所做的功 ； （2）写出 关于 的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于 ，求力 的范围。 【师生活动】 教师引导学生观察图象： · 图象是一条在第一象限内的双曲线（，）； · 图象经过关键点 ，即当 时，； · 与 成反比例关系。 学生思考第（1）问：先利用图象上的关键点求出功 的值，再计算 时的位移。 【解题过程】 由图象可知， 与 成反比例关系，且图象经过点 。 由 ，得 所以力 所做的功 。 当 时， 答：当力 为 时， 所做的功 为 ，此时位移 。 （2）由 ，得 答： 关于 的函数解析式为 （）。 （3）由题意，，即 因为 ，两边同乘 ，得 答：要使位移小于 ，力 的范围为 。 【设计意图】 本题从物理中的“功”切入，让学生经历“从图象中读取关键点→求定值→写解析式→利用不等式求范围”的完整过程。第（3）问利用反比例函数的增减性（ 越大， 越小），帮助学生理解数形结合的思想。 （三）探究新知——例4：客车行程问题 【问题情境】 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 （单位：）与行驶全程所用时间 （单位：）的函数关系如图所示，其中 。 （1）写出 关于 的函数解析式，并求 的取值范围； （2）若客车上午 时从甲地出发，需在当天 时 分至 时之间到达乙地，求客车平均速度 的范围。 【师生活动】 教师引导学生观察图象： · 图象是反比例函数 在第一象限内的一段曲线； · 图象经过关键点 ，即 时，； · 由 ，可确定 的范围。 学生独立思考，教师巡视指导。重点关注学生能否正确将“到达时间范围”转化为“行驶时间范围”。 【解题过程】 （1）由图象可知， 关于 的函数为反比例函数，设 由图象经过点 ，代入得 所以 关于 的函数解析式为 由 ，得 解左边不等式：，因为 ，所以 ； 解右边不等式：，因为 ，所以 。 所以 的取值范围为 答： 关于 的函数解析式为 ， 的取值范围为 。 （2）客车上午 时出发，需在 时 分至 时之间到达乙地。 从 时到 时 分，行驶时间为 小时 分 ； 从 时到 时，行驶时间为 。 所以行驶时间 满足 由 ，且 ， 当 时， 随 的增大而减小。 当 时，； 当 时，。 因为 随 的增大而减小，所以当 时， 答：客车平均速度 的范围为 （单位：）。 【设计意图】 本题是典型的“结合图象求范围”问题。第（1）问训练学生从图象中获取关键点坐标、用待定系数法求解析式、再由函数值的范围反推自变量范围的能力。第（2）问需要将“到达时间”转化为“行驶时间”，再利用反比例函数的增减性将时间范围转化为速度范围，综合考查数形结合思想。 （四）课堂小结 【师生活动】 教师引导学生总结本节课“结合图象解决反比例函数实际问题”的一般步骤。 结合图象解决反比例函数实际问题的步骤： 1. 观察图象：获取关键点坐标和变量的初步范围； 2. 求解析式：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 3. 转化范围：根据函数的增减性，将一个变量的范围转化为另一个变量的范围； 4. 检验结果：检验结果是否符合实际意义。 【设计意图】 通过归纳解题步骤，帮助学生形成“看图→求式→转范围”的规范思路，强化数形结合思想。 （五）当堂检测 A组（基础巩固） 1. 某电路中的电压为定值，电流 （单位：）与电阻 （单位：）之间的函数关系如图所示，图象经过点 。 （1）写出 关于 的函数解析式； （2）当电阻 不超过 时，电流 至少为多少安？ 【解题过程】 （1）由题意， 与 成反比例关系，设 由图象经过点 ，代入得 所以 关于 的函数解析式为 （2）由题意 ，因为 ，且 ， 当 时， 随 的增大而减小。 当 时，。 因为 随 的增大而减小，所以当 时，。 答：当电阻 不超过 时，电流 至少为 。 B组（综合提升） 2. 某校科学小组在探究实验中记录了以下数据：在温度不变的条件下，一定质量气体的压强 （单位：）与体积 （单位：）之间满足反比例函数关系。已知当 时，。 （1）写出 关于 的函数解析式； （2）当气体体积 不小于 时，求压强 的范围； （3）若压强不超过 ，求气体体积 的最小值。 【解题过程】 （1）设 （，）。 当 时，，代入得 所以 关于 的函数解析式为 （2）由题意 ，因为 ，且 ， 当 时， 随 的增大而减小。 当 时，。 因为 随 的增大而减小，所以当 时，。 又因为 ，所以 。 综合得 。 答：当气体体积不小于 时，压强 的范围为 。 （3）由题意 ，即 因为 ，两边同乘 ，得 答：若压强不超过 ，气体体积 的最小值为 。 【设计意图】 A组以欧姆定律为背景，巩固“从图象获取信息→求解析式→利用增减性求范围”的基本方法；B组以气体压强与体积的关系（波义耳定律）为背景，综合考查求解析式、利用增减性求范围、利用不等式求最小值三个环节，检测学生灵活运用反比例函数图象与性质解决实际问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $